2023年四川省广元市剑阁县中考数学二模试卷（含解析）

2023年四川省广元市剑阁县中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点在上，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一组数据，，，，中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差

5.  如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，甲、乙、丙三人分别对该几何体的三视图进行了描述，其中正确的是(    )
甲：主视图是轴对称图形；
乙：左视图是轴对称图形；
丙：俯视图是中心对称图形．

A. 只有甲
B. 只有乙
C. 只有丙
D. 乙和丙

6.  如图，是的直径，，是上位于两侧的点，若，则度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时，设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交于点，则与的周长之比为(    )

A. ：
B. ：
C.
D.

10.  如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  据统计，广元市户籍人口约万人将数据万用科学记数法表示为______ ．

13.  在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球共个，它们除颜色外其他都相同小明从中任意摸出一个球，查看色后放回并摇匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑球的频率分别稳定在和，则他估计布袋中白球的个数约是______ 个
 

14.  如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接若，，则的值是______ ．

15.  如图，在中，为直径，是圆上一点，连接，，以为圆心，的长为半径作弧，恰好经过点，将分别沿，向内翻折若，则图中阴影部分的面积是______ ．

16.  如图，在正方形中，，是的中点，是正方形内一个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．

19.  本小题分
如图，在▱中，、分别平分、，交于点、．
求证：，；
过点作，垂足为若▱的周长为，，求的面积．
 

20.  本小题分
某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．

请根据图中的信息，解答下列问题：
本次调查的学生人数为______ ，补全条形统计图，扇形统计图中“科普”类对应的扇形的圆心角度数为______ ；
若全校共有学生人，估计选择参加劳动社团的学生人数；
甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择一种参加，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率．

21.  本小题分
如图，为东西走向的滨海大道，小莉沿滨海大道参加“低碳生活绿色出行”健步走公益活动小莉在点处时，某艘海上观光船位于小莉北偏东的点处，观光船到滨海大道的距离为当小莉沿滨海大道向东步行到达点时，观光船沿北偏西的方向航行至点处，此时，观光船恰好在小莉的正北方向，求观光船从处航行到处的距离结果保留一位小数；参考数据：，，，，，
 

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，已知，．
求的值及直线的解析式；
若点是直线上的一动点，将直线向下平移个单位长度，平移后直线与轴、轴分别交于点、，当的面积为时，求的值．

23.  本小题分
学校开展大课间活动，某班需要购买、两种跳绳．已知购进根种跳绳和根种跳绳共需元：购进根种跳绳和根种跳绳共需元．
求购进一根种跳绳和一根种跳绳各需多少元？
设购买种跳绳根，若班级计划购买、两种跳绳共根，所花费用不少于元且不多于元，则有哪几种购买方案？
在的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

24.  本小题分
如图，为的直径，点在直径上点与，两点不重合，，点在上且满足，连接并延长到点，使．
求证：是的切线；
若，试求的值．

25.  本小题分
已知和都是等腰三角形，，，．

当时，
如图，当点在上时，请直接写出与的数量关系：______ ；
如图，当点不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由．
当时，
如图，探究线段与的数量关系，并说明理由；
当点在外部，且时，的长为______ ．

26.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点点在抛物线上，设点的横坐标为．
求抛物线的表达式和，的值；
如图，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标；
如图，若点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据负实数的绝对值是它的相反数，求出的绝对值即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确：当是正实数时，的绝对值是它本身；当是负实数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故原题计算错误，不合题意；
B、，故原题计算错误，不合题意；
C、，故原题计算正确，符合题意；
D、，故原题计算错误，不合题意；
故选：．
利用合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则、平方差公式、单项式乘以单项式乘法法则分别进行计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握合并同类项、积的乘方与幂的乘方的运算法则、平方差公式、单项式乘以单项式乘法法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示：

由题意得：，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质和直角三角板的性质可得，，再利用三角形的外角性质即可求解．
本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意，最后一个数字一定是个位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，极差都要知道最后一个数，
故这组数据不受影响的统计量是中位数，
故选：．
根据最后一个数字一定是个位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解．
本题考查了中位数，平均数，众数，极差，掌握以上知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：左视图是轴对称图形．

故主视图不是轴对称图形，故甲说法错误；
左视图是轴对称图形，故乙说法正确；
俯视图是中心对称图形，故丙说法正确．
所以说法正确的有乙和丙．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，再根据轴对称图形和中心对称图形的定义可得答案．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，以及学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是的直径，
，
，

，
故选：．
由是的直径，可得，再根据“同弧所得的圆周角相等”可得，再根据三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”以及“同弧所得的圆周角相等”是正确解答的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：延长至格点，连接，如图，
由题意得：
，，，
，
，
．
故选：．
延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形，，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设型机器人每小时搬运建筑材料，则型机器人每小时搬运的建筑材料，根据题意可得：
．
故选：．
根据型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时得出等式，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，
由作图得：平分，
，，
，
，
，
，，
与的周长之比为：，
故选：．
根据作图知平分，再根据直角三角形的性质求出边长和周长，最后求出比值．
本题考查了基本作图与含度角的直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故错误；
设抛物线对称轴与轴交点为，则，

，
，即点坐标为，
当时，，即，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
当时，函数有最小值，
由，可得，
若为任意实数，则，故正确；
故选：．
分析：
根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据对称轴，，可得点，当时，即可判断；根据对称轴，以及，得与的关系，即可判断；根据函数的最小值是当时，，即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止；首先提公因式，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】
解：
．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：个．
故答案为：．
由红球与黑球的频率确定出白球的频率，用频率估计概率，用摸到白球的概率乘以即可估算出白球数．
此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线与轴交于点，与轴交于点，作轴交于点，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
反比例函数在第一象限内的图象交于点，
．
首先根据直线求得点的坐标，然后根据的面积求得的长，然后利用正切函数的定义求得的长，从而求得点的坐标，求得结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解直角三角形，解题的关键是仔细审题，能够求得点的坐标，难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：为直径，
，
以为圆心，的长为半径作弧，恰好经过点，
，
，
即，
解得，
将分别沿，向内翻折，
，，
．
故答案为：．
先根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据，结合勾股定理求出，根据图形得出，即可得出答案．
本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是根据图形得出．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，，作于，如图，

，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
的最小值为：，
故答案为：．
连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，，作于，利用证明≌，得，再证明≌，得，，求出的长，再利用三角形的三边关系即可得到答案．
本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等着知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．
本题考查实数的混合运算．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

．
解方程，得或．
又，
．
原式． 

【解析】根据分式混合运算的法则化简分式，再把方程的解代入即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解，分式的化简取值，正确地计算是解题的关键．
 

19.【答案】证明：在▱中，，，
，，
、分别平分、，
，
，，
，
；
在和中，

≌，
；
解：过点作于，

平分，，
，
▱的周长为，
，



． 

【解析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得，，由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而可证明；利用证明≌可得；
过点作于，由角平分线的性质可求解，根据平行四边形的性质可求解，再利用三角形的面积公式计算可求解．
 

20.【答案】人   

【解析】解：本次调查的学生人数为：人，
则科普类的学生人数为：人，
补全条形统计图如下：

“科普”类对应的扇形的圆心角度数，
故答案为：人，；
估计选择参加劳动社团的学生人数为人；
把阅读、美术、劳动社团分别记为，，画树状图如下：

由图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种，
甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为．
用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，用求得的总人数减去其余三类的人数即可得科普人数，补全统计图即可，用即可求得“科普”类对应的扇形的圆心角度数；
用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
画出树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种．再根据概率公式即可求解．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：过点作于，

由题意得，，，
在中，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
答：观光船从处航行到处的距离约为． 

【解析】过点作于，根据的正切值可得，则可得的长，再根据的正弦可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．
 

22.【答案】解：反比例函数的图象过点，
则，
故反比例函数的表达式为：；
点在该函数上，
，
解得：，
点；
将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数的表达式为；

设点，平移后直线的表达式为：，
令，则，令，则，
点、的坐标分别为、，
，
的面积，
解得：或． 

【解析】求出点、的坐标，即可求解；
的面积，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
 

23.【答案】解：设购进一根种跳绳需元，购进一根种跳绳需元，
依题意得：，
解得：．
答：购进一根种跳绳需元，购进一根种跳绳需元．
该班级计划购买、两种跳绳共根，且购买种跳绳根，
购买种跳绳根．
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以取，，，
共有种购买方案，
方案：购买根种跳绳，根种跳绳；
方案：购买根种跳绳，根种跳绳；
方案：购买根种跳绳，根种跳绳．
设购买跳绳所需总费用为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值．
答：在的条件下，购买方案需要的总费用最少，最少费用是元． 

【解析】设购进一根种跳绳需元，购进一根种跳绳需元，根据“购进根种跳绳和根种跳绳共需元：购进根种跳绳和根种跳绳共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，利用总价单价数量，结合总价不少于元且不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案；
设购买跳绳所需总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：设的半径为，
，
，
，
，
在中，，
，
，舍去，
，
在中，，
，
，
的值为． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答；
设的半径为，则，在中，利用勾股定理可求出，从而求出，然后在中，根据勾股定理可求出的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

25.【答案】  或 

【解析】解：当时，和均为等边三角形，
，，
又，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
当点不在上时，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由如下：
当时，在等腰直角三角形中：，
在等腰直角三角形中：，
，，

在和中，
，
∽，
，
，
或，理由如下：
当点在外部时，设与交于点，如图所示：

，
由上可知：，，
又，
，
而，
∽，
，
，而，
，
在中：，
又，
或，
在等腰直角三角形中，．
当点在内部时，过点作于

，，
，，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
根据题意当时，和均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出；
通过求证≌，即可找到线段与的数量关系；
根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证∽即可找到线段与的数量关系；
分两种情形：当点在外部，根据已知条件，利用两角对应相等求证∽，再利用相似比结合勾股定理即可算出的长，进而表示出的长即可求出的长．当点在内部时，当点在内部时，过点于点，根据已知条件得出和，在中，根据勾股定理求出的值，综上可得结论．
本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键．
 

26.【答案】解：将代入，
，
，
，
当时，，
解得或舍，
，
在直线上，
，
解得，
；
作轴交于，且点坐标为，
点横坐标为，
，
，，
在和中，
，，
，
∽，
，即，
，
解得舍或，
；  
作轴交于于，过点作轴交于，
，
由∽，
，
，，，
，，
由∽，
，
，
，
当时，的最大值是． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可求解；
作轴交于，可求，，通过证明∽，利用，求的值即可求点坐标；
作轴交于于，过点作轴交于，通过证明∽，求出，，再由∽，求出，则，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．