2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在过去年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过公顷用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  用一个平面去截正方体如图，剩余几何体的主视图不可能是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，为的外心，四边形为正方形以下结论：是的外心；是的外心；直线与的外接圆相切其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  计算： ______ ； ______ ．

8.  若式子有意义，则的取值范围是______．

9.  计算的结果是______ ．

10.  已知扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为______ ．

11.  设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______ ．

12.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，，交轴于点，则的长为______ ．

13.  如图，在▱中，点在上，，射线交的延长线于点，若，则的值为______ ．

14.  如图，点是的内心若，，则的度数是______

15.  某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为______ 答案请按同一形式书写．

16.  要使反比例函数的图象经过点，以下对该图象进行变化的方案中可行的是______ 只填序号．
向上平移个单位长度；
先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度；
沿直线轴对称；
先沿直线轴对称，再向右平移个单位长度．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组，并写出该不等式组的整数解．

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
某车间加工个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少该车间技术革新前每小时加工多少个零件？

20.  本小题分
如图，为矩形的对角线的中点，过作分别交，于点，．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

21.  本小题分
张卡片上分别写有数字，，，，除标记数字外它们完全相同从这张卡片中随机抽取张．
求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；
下列事件中，概率小于的是______ 填写正确说法的序号．
抽取的两个数乘积为负数；
抽取的两个数乘积为正数；
抽取的两个数之和为负数；
抽取的两个数之和为正数．

22.  本小题分
某水果店过去天苹果的日销售量单位：从小到大记录如下：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，．
估计该水果店本月按天计算的销售总量；
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上地满足顾客需求即将天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第个数据，则苹果的日进货量应为多少千克？

23.  本小题分
已知二次函数的图象经过点．
求该二次函数的表达式；
当时，的取值范围为______ ；
已知点，点在该二次函数的图象上若，直接写出的取值范围．

24.  本小题分
为测量建筑物的高度，小明从建筑物的处测得处的仰角为，处的俯角为，从处测得处的仰角为已知，，在同一直线上，高为求建筑物的高度．
参考数据：，，

25.  本小题分
如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，．
用“、、”号填空： ______ ， ______ ；
用直尺和圆规作出下列函数的图象保留作图痕迹
；
；
．

26.  本小题分
过上一点，可以用尺规按以下方法作出的切线：
另取上一点，以为圆心，为半径作圆，将与的另一个交点记为点；
以为圆心，为半径作弧，将与的另一个交点记为点，作直线．
直线即为的切线．
如图，小明已经完成了作图步骤．
用尺规完成作图步骤；
连接，，，，求证：平分；
求证：直线为的切线．

27.  本小题分
已知函数为常数，且的图象是中心对称图形用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象图，观察并思考

函数的图象如图所示，指出常数，，的正负．
你同意“函数的图象的对称中心的横坐标为”吗？判断并说明理由．
已知，直接写出关于的不等式的解集用含，的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据算术平方根的定义进行化简即可．
本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、和不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：．
将四个选项分别进行分析．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟悉运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，用一个平面去截正方体如图，剩余几何体的主视图不可能是．
故选：．
根据几何体的主视图是从正面所看到的图形进行判断即可得出答案．
本题主要考查截一个几何体，几何体的主视图，理解主视图的概念是解答的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：延长交于点，交于点，连接、、、，如图，
为折叠后的中点，
，
，
，
垂直平分，
，
在中，，
，
沿折叠得到，垂直，
点和点关于对称，
，
．
故选：．
延长交于点，交于点，连接、、、，如图根据圆心角、弧、弦的关系由得到，则可判断垂直平分，则，再利用勾股定理计算出，所以，然后利用点和点关于对称得到，最后计算即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和解直角三角形．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接、、，
为锐角三角形的外心，
，
四边形为正方形，
，
，
，是的外心，故本选项符合题意；
，即不是的外心，故本选项不符合题意；
，，
直线与的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：．
根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
 

7.【答案】   

【解析】解：，．
故答案为：，．
根据绝对值的性质和零指数幂的定义解答．
本题考查了零指数幂、绝对值，熟悉绝对值的性质和零指数幂的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

9.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
根据二次根式乘法法则计算．
本题考查了二次根式的乘法法则，灵活转化是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：扇形面积．
故答案为：．
扇形面积计算公式：扇形的半径为，扇形的弧长是，，由此即可计算．
本题考查扇形面积的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．
 

11.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根与系数的关系确定出与的两根之积与两根之和的值，再代入变形后的代数式即可解答．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
轴，
，
，
．
故答案为：．
根据轴，得，所以，即可求出．
本题考查了坐标与图形性质，平行线分线段成比例的应用，熟练掌握坐标与图形性质，得出轴是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，，，
∽，∽，
，，
，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，则可判定∽，∽，有，从而得到，利用相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是求得．
 

14.【答案】 

【解析】解：点是的内心．，，
，，
，
．
故答案为：．
根据点是的内心．，，推出，，所以，推出．
本题考查了三角形的内切圆和内心，正确利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设老师在黑板上写的文字大小应约为，
由题意可得：，
解得，，
即老师在黑板上写的文字大小应约为，
故答案为：．
先设设老师在黑板上写的文字大小应约为，然后根据题意和相似三角形的性质，可得，从而可以得到、的值．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象向上平移个单位长度得到，
时，则，
方案不可行；
反比例函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
时，，
方案可行；
把代入得，，
点在反比例函数的图象上，
点关于直线的对应点为，
反比例函数的图象沿直线轴对称得到的图象经过点，
方案可行；
把代入得，，
点在反比例函数的图象上，
点关于直线的对应点为，再向右平移个单位长度得到，
把代入得，
反比例函数的图象先沿直线轴对称，再向右平移个单位长度得到的图象不经过点，
方案不可行；
故答案为：．
根据平移规律得到平移后的函数表达式，把代入即可判断；
根据平移规律得到平移后的函数表达式，把代入即可判断；
求得时的函数值，根据平移的性质得出点关于直线的对应点为，即可判断；
求得时的函数值，根据平移的性质得出点关于直线的对应点为，再向右平移个单位长度得到，把代入得，即可判断．
本题考查了反比例函数图象与几何变换，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化平移，坐标与图形的变化对称，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
解得，
解得．
则不等式组的解集是：．
则整数解是：，． 

【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

18.【答案】解：



． 

【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：设车间技术革新前每小时加工个零件，则技术革新后每小时加工个零件，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：该车间技术革新前每小时加工个零件． 

【解析】设车间技术革新前每小时加工个零件，则技术革新后每小时加工个零件，由题意：当再加工同样多的个零件时，用时比以前少列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：点是的中点，，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形．
解：设，则，
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，，
即，
，
菱形的面积矩形的面积的面积的面积． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，易证得≌，则可得，继而证得结论；
由勾股定理可求，的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得≌是关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取两张卡片的数字都是正数的结果有：，，，，，，共种，
抽取两张卡片的数字都是正数的概率为．
由树状图可知，抽取的两个数乘积为负数的结果有：，，，，，，共种，
抽取的两个数乘积为负数的概率为，
故不符合题意；
由树状图可知，抽取的两个数乘积为正数的结果有：，，，，，，共种，
抽取的两个数乘积为正数的概率为，
故不符合题意；
由树状图可知，抽取的两个数之和为负数的结果有：，，，，共种，
抽取的两个数之和为负数的概率为，
故符合题意；
由树状图可知，抽取的两个数之和为正数的结果有：，，，，，，，，共种，
抽取的两个数之和为正数的概率为，
故不符合题意．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片的数字都是正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
根据树状图分别求出满足的结果数，再根据概率公式求出相应的概率，即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：

，
答：估计该水果店本月按天计算的销售总量约；
，样本中的数从小到大排列，排在第个数是，
苹果的日进货量应为千克． 

【解析】用这天苹果的日平均销售量乘即可；
根据百分数的定义求出第位数，即可得出答案．
本题考查了用样本估计总体，解决本题的关键是掌握用样本估计总体的方法．
 

23.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象经过点，
，
解得，
该二次函数的表达式为；
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，的最小值为，
当时，，
当时，，
时，的取值范围为，
故答案为：；
点，点且，对称轴为直线，
，
解得，
的取值范围为．
把代入解析式求出即可；
根据二次函数的性质求解即可；
根据已知条件结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
 

24.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：
，，，，
，
在中，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
建筑物的高度约为． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，设，则，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：由函数图象可知，，，
故答案为：，；
在轴正半轴上截取，过点作直线，则直线即为所求，如图所示：

在点下方的轴上，截取，连接，则直线即为所求，如图所示：

在轴负半轴上，截取，在点下方的轴上截取，连接，则直线即为所求，如图所示：

根据一次函数的图象即可确定答案；
在轴正半轴上截取，过点作直线，则直线即为所求；
在点下方的轴上，截取，连接，则直线即为所求；
在轴负半轴上，截取，在点下方的轴上截取，连接，则直线即为所求．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，尺规作图等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，直线为所作；

证明：在和中，
，
≌，
，
平分；
证明：连接交于点，如图，
为和的公共弦，
垂直平分，
，
，
，
，
而，
，
即，
，
为的半径，
为的切线． 

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；
证明≌得到，从而得到结论；
连接交于点，如图，先根据两圆相交的性质得到垂直平分，则，再利用等角代换得到，即，然后根据切线的判定定理得到为的切线．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质和相交两圆的性质．
 

27.【答案】解：通过观察图象可得，的图象如图，则，，；
不同意“函数的图象的对称中心的横坐标为”，理由如下：
对任意实数，
当时，，
当时，，
，
若函数图象的对称中心的横坐标为，则的值与无关，
而的值与有关，
函数的图象的对称中心的横坐标不是；
令，则，
或，
，
的解为，，
与轴交点横坐标分别是，和，
当时，即的解集为或；
当时，即的解集为或． 

【解析】观察已知函数图象可得答案；
当时，，当时，，可得，故的值与有关，即可得到答案；
令，则，可得与轴交点横坐标分别是，和，分当和，写出的解集即可．
本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是读懂题意，观察已知函数的图象特征，类比解决问题．