2023年山东省济南市历下区中考数学三模试卷-普通用卷

2023年山东省济南市历下区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体可能是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为数字用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“红心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丁两位同学的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一次函数与二次函数的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图在中，，分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，点为的中点，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  一般地，对于某个函数，如果自变量在取值范围内任取与时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”例如：，在实数范围内任取时，；当时，，所以是“对称函数”在平面内有一点，将点向右平移三个单位，再向下平移三个单位，得到点，当线段与“对称函数”有个交点时，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  李老师在墙上挂了一幅如图所示的图案，假设可以在图中随意钉钉子，那么这个钉子钉在阴影部分边界忽略不计的概率是______ ．

13.  计算：______．

14.  如图，若将绕点按顺时针方向旋转，得到，那么点的对应点的坐标是______ ．

15.  关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是______ ．

16.  如图，在矩形中，，，是的中点，是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，的延长线交线段于点给出下列判断：；∽；当时，的长度是；线段长度的最小值是；当点落在矩形的对角线上，的长度是或；其中正确的是______ 写出所有正确判断的序号
 

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．

19.  本小题分
如图，平行四边形中，点，在对角线上，且求证：．

20.  本小题分
在大数据时代下，提升初中生的信息素养是一项实施国家信息化战略、参与国际市场人才竞争的基础性工程某校为了解本校学生信息素养情况，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩百分制，按以下六组进行整理得分用表示，没有分以下的同学：：，：，：，：，：，：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩部分数据为：
组：，，，，，，；组的数据为：，，．

请根据以上信息，完成下列问题：
______ ， ______ ， ______ ；
根据统计结果，______ 年级的成绩更整齐；
八年级组测试成绩的中位数是______ ，组所对应的圆心角为______ ；
若、年级各有人，测试成绩不低于分，则认定该学生为一等奖请估计该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有多少人？

 

21.  本小题分
某校无人机兴趣小组为学校“五四青年节庆祝活动”提供空中摄像支持，提前在学校操场上试飞无人机如图，为了测算无人机飞行高度，兴趣小组进行了如下操作：无人机从处垂直上升到处，在此处测得操场两端，的俯角分别为，，且，，在同一水平线上，已知操场两端米．
求无人机飞行的高度结果保留根号；
如图，无人机由点沿水平方向飞行至点，当时，求飞行的距离结果精确到米，

 

22.  本小题分
如图，是的直径，点是上方半圆上的一点不与、重合，，过点作的切线交射线于点，连接．
求证：；
若，，求长．

23.  本小题分
某学校要为科技活动小组提供实验器材，计划购买、两种型号的放大镜若购买个型放大镜和个型放大镜需用元；若购买个型放大镜和个型放大镜需用元．
求每个型放大镜和每个型放大镜各多少元；
学校计划购买型放大镜和型放大镜共个，且型数量不少于型的，则购买，两种类型的放大镜各多少个，才能使总费用最少？

24.  本小题分
如图，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，，菱形对角线交于点，过点的反比例函数与菱形的边交于点．
求点的坐标和反比例函数的表达式；
如图，连接，求出的面积；
点为图象上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，请直接写出点的横坐标．

 

25.  本小题分
在等腰中，，，点为线段的中点点为直线上一动点，连接，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
如图，当点与点重合时， ______ ，线段与线段的数量关系为______ ；
如图，当点在线段上不与点重合移动时，请证明线段与线段的数量关系并求出的大小；
如图，点在直线上移动，作点关于直线的对称点，过点作直线交直线于点，请直接写出线段长度的最小值．

 

26.  本小题分
如图，抛物线：过点，两点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，抛物线交轴的负半轴于点，作直线．
求抛物线的表达式和点的坐标；
如图，过点作，交抛物线于点和，交抛物线于点和，求的面积；
是抛物线上任意一点，作直线，交抛物线于另一点，交抛物线于点和点，已知相邻两交点间的距离为：：，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：该圆柱的主视图和左视图是全等的两个矩形，故本选项不符合题意；
B.该长方体的主视图和左视图是全等的两个矩形，故本选项不符合题意；
C.该三棱柱的主视图是一行两个相邻的矩形，左视图是一个矩形，故本部选项符合题意；
D.该三棱锥的主视图是一个三角形三角形的内部由一条纵向的高线，左视图是一个三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
分别根据各个选项的几何体的主视图和左视图判断即可．
本题考查了由三视图判断几何体，掌握常见的几何体的三视图是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线性质和平角定义的有关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
首先根据平角的定义求得的度数，再利用平行线的性质即可求得的度数．
【解答】
解：如图：

，，
，
，
，
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．
本题考查了单项式乘单项式法则，合并同类项法则，同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方等知识点，能熟记单项式乘单项式法则、合并同类项法则、同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好抽到甲、丁两位同学的结果数为，
所以恰好抽到甲、丁两位同学的概率．
故选：．
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出抽到甲、丁两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，错误；
C、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，正确．
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，错误；
故选：．
可先根据一次函数的图象判断、的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
由作图过程可知：
是的垂直平分线，
，
在中，，，
，
解得，
，点为的中点，
．
故选：．
在中，由三角函数的定义求出，由线段垂直平分线的性质得到，在中，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质即可求出．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法，由线段垂直平分线的性质结合勾股定理求出．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，
点在直线上，
将直线向右平移三个单位，再向下平移三个单位得到，
点在直线上，
点、在直线上，
当直线经过点时，
函数的图象与直线恰有个交点，与线段有两个交点，
；
当直线与函数的图象的右半侧相切时，函数的图象与直线恰有个交点，与线段有两个交点，
即方程组有一个解，
方程有两个相等的实数根．
，
解得：．
综上，函数的图象与线段有个交点，则．
故选：．
先确定、在直线上，然后利用分类讨论的方法结合图象解答，当直线经过点时，利用待定系数法解答即可；当直线与函数的图象的右半侧相切时，利用根的判别式列出等式即可求解．
本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的特征是解题的关键，是基础题．
直接运用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：阴影部分占这个圆的，
所以在图中随意钉钉子，钉在阴影部分边界忽略不计的概率是，
故答案为：．
求出阴影部分占这个圆面积的几分之几即可．
本题考查概率公式，理解几何概率的意义，求出阴影部分占整体的几分之几是正确解答的前提．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】
解：原式

．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为旋转后的三角形，点对应点的坐标为．
故答案为：．
作出将绕点按顺时针方向旋转后得到的，即可得到点对应点的坐标．
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以的最大整数解为．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义得到，再解不等式，然后在的取值范围找出最大的整数即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

16.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，，
，
，故正确；
，，
，
，
∽，故正确；
当时，如图，由折叠可知：，
、、三点共线，
连接，
在中，，
在中，，，故正确；

，
、、三点都在以为圆心，为半径的圆上，
的最小长度为：，即，故正确；
分两种情况：

Ⅰ点在上，
，
，
，
由对称：，
设与交点为点，
在中，，，
，
Ⅱ点在上，
，
设与交点为点，
在中，，
，
但此时中，，故错误．
故答案为：．
利用三角形函数可判断正误；
根据相似三角形的判定方法即可判断；
由折叠性质可得、、三点共线，再由勾股定理即可判断；
根据圆的性质解答判断即可；
分两种情况：点在上，点在上，分别利用三角函数判断即可．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、折叠的性质、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
本题主要考查了实数运算，掌握实数运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以该不等式组的非负整数解为、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进一步得到它的所有非负整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出，解答．
 

20.【答案】      八     

【解析】解：由题意得，，
，
，即．
故答案为：；；；
由题意可知，八年级的方差比七年级的小，
所以八年级的成绩更整齐；
故答案为：八；
把八年级的测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是和，
八年级组测试成绩的中位数；
组所对应的圆心角为：．
故答案为：；；
人，
答：估计该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生大约一共有人．
用八年级组测试的人数除以其人数占比即可求出，进而求出和的值即可；
根据方差的意义解答即可；
根据中位数的定义求解即可；用乘组所占百分百可得答案；
用两个年级各自的总人数乘以其样本中测试成绩不低于分的人数占比，然后相加即可得到答案．
本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
，
米，
，
，
米，
答：无人机飞行的高度为米；

过点作于，
四边形是矩形，
米，
在中，米，，
米，
，
，
，
，
米．
答：飞行的距离约为米． 

【解析】，则米，再由锐角三角函数定义得，即可得出结论；
过点作于，在和中，分别求出，即可得到的值．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题以及等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数定义是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，则，
，
，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
．
解：连接，则，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
或不符合题意，舍去，
，
，
的长是． 

【解析】连接，则，由，得，所以，则，由切线的性质得，则，所以；
连接，则，所以，可证明∽，得，则，，由勾股定理得，则，，所以．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每个型放大镜元，每个型放大镜元，
由题意得：，
解得：，
答：每个型放大镜元，每个型放大镜元；
设购买个型放大镜，则购买个型放大镜，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，最小，
此时，，
答：购买个型放大镜，个型放大镜，才能使总费用最少． 

【解析】设每个型放大镜元，每个型放大镜元，由题意：若购买个型放大镜和个型放大镜需用元；若购买个型放大镜和个型放大镜需用元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购买个型放大镜，则购买个型放大镜，由型数量不少于型的，列出一元一次不等式，解得，再设总费用为元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
 

24.【答案】解：由菱形的性质知，点是、的中点，
由中点坐标公式得，点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数的表达式为：；

由菱形的性质知，，
，，
则，
，即，
即，则，即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
解得：舍去或，
即点，
由、的坐标得，直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，

当时，，则点，
则的面积；

由点、的坐标得，，
当和相似，或，
即或，
设点，，
则，
联立并解得：或或不合题意的值已舍去，
即的横坐标为：或或． 

【解析】由待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
当和相似，或，即或，进而求解．
本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
 

25.【答案】   

【解析】解：，，，
，，，
，
，
，，
．
故答案为：，；

连接，

线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
是的中点，
，
，
，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
设交于点，
，，
，
．

如图中，连接，．

，关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
由可知，
，
点在线段的垂直平分线上运动，
与重合时，的值最小，最小值，
的最小值为．
利用直角三角形度角的性质解决问题即可；
连接，证明∽，推出，，可得结论；
如图中，连接，证明∽，推出，求出的最小值，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，轴对称变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
 

26.【答案】解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
根据图象的对称性抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点；

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
，则直线的表达式为：，
联立和得：，
解得：正值已舍去，
即点的坐标为：，
同理可得，点的坐标为：，
则的面积；

如图：

相邻两交点间的距离为：：，则，
即，
设直线的表达式为：，
联立和得：，
解得：，
同理可得：，
由得：，
解得：，
则或，
则点的坐标为：或，
根据点的对称性，则点的坐标为：或，
由于点、位置可以互换，
则点的坐标为：或或或 

【解析】用待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
由相邻两交点间的距离为：：，则，即，进而求解，
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形的旋转、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．