2023年江苏省无锡市苏锡常镇高考数学三模试卷-普通用卷

这是一份2023年江苏省无锡市苏锡常镇高考数学三模试卷-普通用卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省无锡市苏锡常镇高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为(    )A.
B.
C.
D. 2.  已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是(    )A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则4.  “青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步假设我们每天进步，则一年后的水平是原来的倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长如果将我们每天的“进步”率从目前的提高到，那么大约经过天后，我们的水平是原来应达水平的倍参考数据：，，(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知，为两个随机事件，，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知点在双曲线：上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  设，，则(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  在中，若，则(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则(    )A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称11.  已知函数的部分图象如图所示，则(    )A.
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有且仅有个极小值点
D. 在区间上有且仅有个极大值点
 
 12.  用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台如图，在正三棱台中，已知，则(    )A. 在上的投影向量为
B. 直线与平面所成的角为
C. 点到平面的距离为
D. 正三棱台存在内切球，且内切球半径为
 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知函数满足：为偶函数；的图象过点；对任意的非零实数，，请写出一个满足上述条件的函数 ______ ．14.  已知是一组平面向量，记，若，则满足的的值为______ ．15.  已知，是抛物线上的动点异于顶点，过作圆：的切线，切点为，则的最小值为______ ．16.  定义：若函数图象上存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称是“重切函数”，，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
记为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
记，数列的前项和为，求除以的余数．18.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别是，，，且_____．
在；；这三个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答．
求；
若，，点为的中点，点满足，且，相交于点，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
 19.  本小题分
如图，已知在平面四边形中，，，，现将沿翻折到的位置，使得．
求证：平面平面；
点在线段上，当二面角的大小为时，确定点的位置．
20.  本小题分
为调查学生数学建模能力的总体水平，某地区组织名学生其中男生名，女生名参加数学建模能力竞赛活动．
若将成绩在的学生定义为“有潜力的学生”，经统计，男生中有潜力的学生有名，女生中有潜力的学生有名，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生是否有潜力与性别有关？ 是否有潜力性别合计男生女生有潜力   没有潜力   合计   经统计，男生成绩的均值为，方差为，女生成绩的均值为，方差为．
(ⅰ)求全体参赛学生成绩的均值及方差；
(ⅱ)若参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在的学生人数．
参考数据：
若，则，，．
参考公式：，．21.  本小题分
已知，，为椭圆：上三个不同的点，满足，其中记中点的轨迹为．
求的方程；
若直线交于，两点，交于，两点，求证：．22.  本小题分
已知函数，．
求的极值；
求证：

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
或，
，
则图中阴影部分表示的集合为．
故选：．
由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
 2.【答案】 【解析】解：设，
则，
又，
则，
故，
则，
故虚部为．
故选：．
设，则，又，则，从而可解出．
本题考查复数的模相关知识，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：若，，则或，故A错误；
若，，则，故B正确；
若，，则或，又，则，故C正确；
若，，，在内取不在两平面交线上的一点，在平面内分别过作交线的垂线，
可得交线垂直于平面，即可得到交线与垂直，由线面垂直的判定可得，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
 4.【答案】 【解析】解：设大约经过天后，我们的水平是原来应达水平的倍，
可得，
两边取对数得，
，
，
又因为，
，
所以．
故选：．
利用对数的运算性质结合估算即可求得结果．
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，，
，，
，，
当为偶数时，，
，，
当为奇数时，，
，，则不成立舍去．
故选：．
先根据平方关系得，再分情况讨论求角．
本题主要考查两角和查的正切公式，利用同角的关系式进行转化以及利用正切函数的性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 6.【答案】 【解析】解：由全概率公式得，
，
，
．
故选：．
利用全概率公式求解即可．
本题考查全概率公式的运用，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：双曲线：的两条渐近线的方程为或，
点到两条渐近线的距离之积为，恒成立，
即，又点满足双曲线的方程，
，
，
即，
则．
．
故选：．
根据双曲线方程可得它的渐近线方程为，利用点到直线的距离，以及满足双曲线的方程，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．
本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：，，则，
令，则，又，又，
在上单调递减，，
则，在上单调递减，
，，，
，
又，
，
令，，，
在上单调递增，，
即时，，，
，，
故选：．
令，，求导可得的单调性，从而可得，进而可得，令，求导可得的单调性，进而可得，可得结论．
本题考查利用单调性比较数的大小，考查运算求解能力，属中档题．
 9.【答案】 【解析】解：在中，已知，
对于选项A，因为，所以，又，所以，即选项A正确；
对于选项B，不妨令，，又，即，即选项B错误；
对于选项C，因为在为减函数，又，则，即选项C正确；
对于选项D，因为，所以，则，即选项D正确．
故选：．
由正弦定理，结合三角函数的性质逐一判断即可得解．
本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的性质，属基础题．
 10.【答案】 【解析】解：为奇函数，
，即关于点中心对称，故D正确，C错误．
又由为偶函数，则有，用替换上式中，
则，即关于对称，故A正确，B错误．
故选：．
根据函数奇偶性和对称性的关系分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和对称性的判断，利用奇偶性的定义和性质建立方程进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：根据函数的部分图象，可得，
求得，故A正确；
在区间上，，
而，在区间上不单调递增，故B错误；
在区间上，，而，
故在区间上有且仅有个极小值点，
有个或个极大值点，故C正确、D错误．
故选：．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：在上的投影向量即为在上的投影向量，
即为，故A错误；
过作直线的垂线，交直线于点，过作直线的垂线，交直线于点，连接，
所以，，所以，
由余弦定理得，所以，所以，
同理可得，又，所以平面，
所以直线与平面所成的角为，故B正确；

取中点，因为，所以，所以，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为，又且平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离等于，故选项C正确；

取中点，中点，的外心为，的外心为，过作垂线交于点，
所以，，
所以，所以，
所以，即，故选项D正确．
故选：．
根据正三棱台的性质，结合每个选项的条件计算可判断其正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查线面角的求法，考要点到面的距离的求法，考查内切球关径的求法，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为函数满足：为偶函数；的图象过点；对任意的非零实数，，，
故满足条件的一个函数为．
故答案为：．
由已知结合基本初等函数的性质即可判断．
本题主要考查了基本初等函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
 14.【答案】或 【解析】解：已知是一组平面向量，
记，
，
则，
则，
又，
则，
又，
则或．
故答案为：或．
由等差数列前项和的求法，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了等差数列前项和的求法，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
 15.【答案】 【解析】解：设，则，
为到轴的距离，
为到轴的距离与到的距离的和，
的最小值为到轴的距离．
故答案为：．
设，则，为到轴的距离，可求的最小值．
本题考查距离和的最小值，考查转化思想，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：由，得，
函数为偶函数，且在上单调递增，
则必存在两个不相等的实数，，使得，且，
不妨设两切点为，，
函数为奇函数，又，
两切点，关于原点对称，
即此时切线斜率，
即，解得或，
存在两点，满足条件，
此时，两点，确定的直线即为“双切线”，
的“双切线”的方程为．
故答案为：．
由双切函数”的定义，可知函数上存在两个不相等的实数，，使得，由此列式求解得答案．
本题考查导数的几何意义和“双切函数”的定义，考查化归与转化思想，属于中档题．
 17.【答案】解：，
，
，
由可得，
又，
即，
又，
即，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
则；
由可得，
则，
则，
又
，
即除以的余数为． 【解析】由题意可得，即，结合等差数列的定义可得数列是以为首项，为公差的等差数列，然后求解即可；
由，然后结合二项式定理求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了二项式定理的应用，属中档题．
 18.【答案】解：若选择条件：因为，
所以，
由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以．
若选择条件：因为，
所以由正弦定理得，即，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
又因为，
所以．
若选择条件：因为，
所以由余弦定理得，即，
因为，
所以，
又因为，
所以．
以为原点建立平面直角坐标系如图，
则，，，
 由可知，
联立直线，的方程，
解得，
所以． 【解析】若选择条件：由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，又，即可求解的值；
若选择条件：由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，又，即可求解的值；
若选择条件：由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求，又，即可求解的值．
以为原点建立平面直角坐标系，由可知，联立方程，解得，进而即可求解的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及平面向量的运算，考查了方程思想和转化思想的应用，属于中档题．
 19.【答案】证明：在中，由于，所以，故，
在中，，故AD，
故，所以，
所以，
即，
由于平面，
所以平面平面．
由于，，，
以点为坐标原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：

由题意得：，，，，
由于点为上的点，设，，整理得；
设平面的法向量为，所以，
故，整理得，故．
由于平面，故平面的法向量为；
设二面角的大小为，
故，
整理得：，解得舍去．
故点为线段上靠近点的三等分点． 【解析】直接利用几何体中的线段的长和勾股定理的逆定理判断线线垂直，进一步利用面面垂直的判定求出结论；
首先利用直线间的垂直关系，建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，最后利用向量的夹角运算求出点的位置．
本题考查的知识要点：线面垂直和面面垂直的判定和性质，空间直角坐标系，法向量的运算，平面间的夹角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：根据题意填写列联表，如下：是否有潜力性别合计男生女生有潜力没有潜力合计零假设：学生是否有潜力与性别无关，计算，
依据的独立性检验知，不成立，即有的把握认为学生是否有潜力与性别有关．
经统计，男生成绩的均值为，方差为，女生成绩的均值为，方差为．
(ⅰ)全体参赛学生成绩的均值，
因为，
即，
同理，即，
所以方差


；
或直接用分层抽样方差公式计算
(ⅱ)因为服从正态分布，
计算，
所以估计成绩在的学生人数为人． 【解析】根据题意填写列联表，计算，对照临界值即可得出结论．
利用分层抽样的平均数和方差公式计算即可；
(ⅱ)利用正态分布概率公式计算，再求成绩在的学生人数．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了正态分布的概率公式应用问题，是中档题．
 21.【答案】解：设 ，，  ，  ，，
将，代入 ：，得，
将代入  ：，得 ，
即，
又因为，所以，
所以 ，
所以的方程为；
设中点为，中点为，
 当垂直轴时，由对称性可得，
 当不垂直轴时，设 ：，
将直线的方程代入：，得 
 所以 ，即 ，
同理，
由此可知． 【解析】根据向量的坐标计算和椭圆的标准方程即可求解；根据直线和椭圆的方程联立以及中点坐标公式即可求解．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
 22.【答案】解：，
设，，所以在上单调递增．
又，所以当时，；当时，又因为对恒成立，
所以当时，；当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故，没有极小值．
证明：由可知，
所以，当且仅当时，取“”，
由得，，，，
累加得；
由得，，，
累加得．
综上所述，． 【解析】求导数得，设，求导数确定函数的单调性即可确定的正负，从而得的取值情况即可确定的极值；
由可知，结合数列累加求和即可证明结论．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．