2023年湖南省湘西州古丈县中考数学一模试卷-普通用卷

2023年湖南省湘西州古丈县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，分别与相切于，两点，是优弧上一点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，某数学兴趣小组将边长为的正六边形铁丝框变形为以点为圆心，为半径的扇形忽略铁丝的粗细，则所得扇形阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某工程队要铺建一条长米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了，结果比原计划提前天完成任务，设这个工程队原计划每天要铺建米管道，依题意所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  实数，，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数的图象过点且交线段于点，连接，，若，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，正方形的边长为，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿，向终点，移动，当点到达点时，运动停止过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

9.  一次函数向上平移个单位后经过，则______．

10.  对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，例如：已知，，且和为两个连续正整数，则的值为______．

11.  设一元二次方程的两根分别是、，计算 ______ ．

12.  如图，与的边相切、切点为将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点若，则______度．

13.  当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于函数的值，则的取值范围为______ ．

14.  菱形的边长为，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，且一次函数图象交轴于点．
求反比例函数与一次函数的解析式；
求的面积．

16.  本小题分
在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形图中的阴影部分．
求这个扇形的半径；
若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．

17.  本小题分
某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：

求甲、乙两种水果的进价；
销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共千克，且投入的资金不超过元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克元、乙种水果以每千克元的价格销售．若第三次购进的千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于元，求正整数的最大值．

18.  本小题分
若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长；
如图，在四边形中，，对角线平分，求证：是比例三角形；
如图，在的条件下，当时，求的值．

 

19.  本小题分
已知抛物线经过点和，与轴交于另一点，顶点为．

求抛物线的解析式，并写出点的坐标；
如图，点，分别在线段、上点不与、重合，且，设，，求与的函数关系式；
若点在抛物线上，记，若满足条件的点的个数有个，求的取值范围．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点是射线上一点，，点是轴正半轴上一点，，连接，经过点且与相切于点，与边相交于另一点．
若圆心在轴上，求的半径；
若圆心在轴的上方，且圆心到轴的距离为，求的半径；
在的条件下，若，点是经过点，，的抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，若满足的点共有个，求点的横坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【解答】
解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
，分别与相切于，两点，
，，
，
，
．
故选：．
连接、，如图，先根据切线的性质得，，再利用四边形的内角和计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题看了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

3.【答案】 

【解析】解：正六边形的边长为，
，
的长，
扇形阴影部分的面积．
故选：．
由正六边形的性质得出的长，由扇形的面积弧长半径，即可得出结果．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，得：．
故选：．
设这个工程队原计划每天要铺建米管道，根据结果比原计划提前天完成任务，列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设一元二次方程为
当时，原方程化为
所以一元二次方程为有实数根，
所以．
故选：．
根据根的判别式，一元二次方程有实数根时，．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是用特殊值法．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义，根据，得到关于的方程是解题的关键．根据题意设，则，，，然后根据，得到，即可求得的值．
【解答】
解：根据题意设，则，
点为斜边的中点，
，
反比例函数的图象过点，
，
，
的横坐标为，
反比例函数的图象过点，
的纵坐标为，
作轴于，如图，

，，
，即，
，
．  

7.【答案】 

【解析】解：原抛物线开口向上，对称轴为：，
绕原点旋转后得到抛物线的开口向下，对称轴为：，
当时，随的增大而增大，
，
．
故选：．
先确定旋转后抛物线的开口和对称轴，再求的范围．
本题考查二次函数的图象和性质，确定旋转后抛物线的开口和对称轴是求解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设正方形的中心为，可证经过点．
连接，取中点，连接，，则，为定长，
，，，
当，，三点共线时，，
故选：．
设正方形的中心为，可证经过点．连接，取中点，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了正方形的性质，连接，取中点，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知：直线向上平移个单位后，其直线解析式为，
平移后的直线经过点，
，
解得，
故答案为：．
根据“左加右减”的原则得到然后代入点即可求得的值．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，．
，．
，是两个连续的正整数．
，．
．
故答案为：．
根据，的范围，然后再代入求出的值即可
本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根分别是、，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系求出，，再代入整理后的式子即可求解．
本题主要考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
与的边相切，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据切线的性质得到，根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，，
，解得，
一次函数的值都小于函数的值，
．
故答案为：．
先求得时，，当直线与直线的交点在的下方时，一次函数的值都小于函数的值，据此求解即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，作于，

四边形是菱形，
，，
在和中，

≌，
，
当点、、共线时，的最小值为的长，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，作于，利用证明≌，得，当点、、共线时，的最小值为的长，再求出的长即可．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．
 

15.【答案】解：将点代入得：，
，
反比例函数解析式为；
将点，代入一次函数得：，
解得，
一次函数解析式为；
将代入一次函数解析式为得：，
，
． 

【解析】利用待定系数法求解，可得结论；
根据，即可得结论．
本题考查一次函数与反比例函数交点和不规则三角形面积，函数图象上的点可代入解析式求解参数，计算不规则图形面积通常采用割补法．
 

16.【答案】解：如图，连接，，，过点作，垂足为，

，，，
，，是等边三角形，
，，
这个扇形的半径为．
设圆锥底面圆的半径为，
根据题意，得，
解得．
故圆锥底面圆的半径为． 

【解析】连接，，，过点作，垂足为，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，计算即可．
设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得，计算即可．
本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元．
由题意，得，解得，
答：甲两种水果的进价为每千克元，乙两种水果的进价为每千克元．
设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．
由题意，得，解得．
设获得的利润为元，
由题意，得，
，
随的增大而减小，
时，的值最大，最大值为，
由题意，得，
解得，
的最大整数值为． 

【解析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组和不等式的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元．构建方程组求解；
设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．由题意，得，解得设获得的利润为元，由题意，得，利用一次函数的性质求解．
 

18.【答案】解：当时，，
，
，成立；
当时，，
，成立；
当时，，
，成立；
综上所述，满足条件的的长为或或；
证明：，
，
，，
∽，
，
即，
，
，
平分，
，
，
，
，
是比例三角形．
解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
又，
，
，
，，
，
． 

【解析】根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得；
先判断出，得出∽即可；
由∽得出，再由知，即可得出结论；
过点作于点，证∽，得，即，再由推出，据此可得答案．
本题是四边形综合题目，考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：抛物线经过点和，
代入得，
解得：，
抛物线的解析式为，
顶点坐标为．

抛物线对称轴为直线，，顶点，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
代入，，
，
．
连接、、，作于点，

，
当点在线段的右侧时，连、、，
设点，
又，，
，
当时，的面积的取最大值，
当点在的右侧时，的最大值；
要想使满足的点有个，
当点在的左侧时，可为任何值，故必有个点能满足条件，
当点在的右侧时，必有个点能满足条件，此时，
． 

【解析】将点代入解析式求解参数即可得解析式，再根据顶点公式得顶点；
通过角度关系得到相似三角形，得到边长关系，再通过坐标求出各边长，代入相似对应边比例中，即可得与的函数关系式；
先求出面积，再求出当点在右边抛物线上时面积的最大值，根据三角形面积规律得到点在左边一定有个符合比值的位置，得到点在右边抛物线上时也要有个点符合比值，故得面积范围，得到比值的取值范围．
本题考查二次函数综合计算题，与三角形面积综合题．处理代数、几何综合题时，需要结合题目条件得到对应的几何结论，选择恰当的方法计算．在处理二次函数与三角形面积综合题时注意按照题目说法转化为可计算的式子．
 

20.【答案】解：圆心在轴上，经过点且与相切于点，
轴，为直径，
，，
，
在中，．
．
的半径为；
如图所示，过点作轴于点，连接，

是的切线，
，则，
轴，轴，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
设，
，
，
解得：或，
或，
或．
或，
半径为或．

，
，，
，
，设，
，
，
解得：或，
，
设抛物线解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
点可能在点的左边或点的右边，，
则，
设直线：或，
联立，，
得或，
当或，
解得：或，
直线：或，
令，解得：或，
或． 

【解析】圆心在轴上，经过点且与相切于点，得出轴，为直径，由得出，根据勾股定理求得直径，进而即可求解；
构造一线三垂直可得∽，设，继而得出或，即可求解．
先求点，抛物线为，点可能在点的左边或点的右边，直线：或，临界状态为直线与抛物线相切得到或，故或．
本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的相关知识及与圆有关的性质和计算是解题的关键．