上海市七宝中学2020届高三下学期4月月考数学试题 Word版含解析

这是一份上海市七宝中学2020届高三下学期4月月考数学试题 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1.设全集U＝R，若A＝{x|1}，则∁UA＝_____．
【答案】{x|0≤x≤1}
【解析】
【分析】
先解得不等式,再根据补集的定义求解即可
【详解】全集U＝R,若A＝{x|1},
所以,整理得,解得x＞1或x＜0,
所以∁UA＝{x|0≤x≤1}
故答案为：{x|0≤x≤1}
【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义
2.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________.
【答案】17
【解析】
分析】
由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了 人，则有，求出的值即可
【详解】解：设高三年级的学生抽取了 人，则由题意得
，解得
故答案为：17
【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.
3.过点且到原点距离最大的直线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
若设点的坐标为，则所求的直线为过点且与垂直的直线，先求出直线的斜率，则可得所求直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程.
【详解】解：设点的坐标为，则过点且到原点距离最大的直线方程为与垂直的直线，
因为，所以所求直线的斜率为，
所以所求的直线方程为，即
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，直线方程的求解，属于基础题.
4.设无穷等比数列的公比为，首项，则公比的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
利用无穷等比数列极值的运算法则、化简，即可求解，得到答案．
【详解】因为，又且，
解得．
【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的极限，以及数列极限运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.满足约束条件的目标函数的最大值是_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
作出可行域，再作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出约束条件所表示的平面区域如图所示(阴影部分), 易知在点(-2，0)上取得最大值，此时，
故答案为：2.
【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．本题可行域不是直接用二元一次方程组给出，而是由绝对值不等式给出，因此要由绝对值定义转化得到．
6.若复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆，则复数满足的条件是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可知，，从而得到复数满足的条件是复数在以为圆心，4为半径的圆的内部.
【详解】解：因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆，
所以，
根据复数差的几何意义可知表示复数到的距离小于4，即复数满足的条件是复数在以为圆心，4 为半径的圆的内部，如图所示
故答案为：
【点睛】此题考查了椭圆的定义，以及复数的几何意义，属于中档题.
7.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_____________.
【答案】４．
【解析】
试题分析：函数的图象与的图象都关于点对称，所以它们四个交点横坐标也分别成对关于点对称，每对和为2，所以总和为4．
考点：函数图像与性质
8.函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．
【详解】因为
设，
所以 ；
则是奇函数，
所以在区间上的最大值为，即，
在区间上的最小值为，即，
∵是奇函数，
∴， 则 .
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
9.已知，若数列、、、是一个单调递增数列，则的最大值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
先由展开式通项求得，根据可得最大，由此求得的最大值.
【详解】，
展开式通项为，，
由于数列、、、是一个单调递增数列，
，即，解得，
因此，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题．
10.设，满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，将用表示，转化为求关于函数的最值.
【详解】，令，
则
，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为:.
【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.
11.在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.
【答案】（或C或边上的任意一点）
【解析】
【分析】
因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.
【详解】解：因为点P满足，其中，且，
所以点三点共面，
因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，
所以,
连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，
故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）
故答案为：（或C或边上的任意一点）
【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.
12.设、的定义域都为R，且是周期为4的奇函数，当时，，的周期为2，且，其中.若关于x的方程在区间上有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知函数解析式结合周期性作出图像，数形结合即可.
【详解】解：作出函数与的图像如图，
由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于的方程有8个不同的实数根，
则，与的图像有2个不同的交点，
由到直线距离为1，得，解得，
因为两点连线的斜率，所以
即k的取值范围为，
故答案为：
【点睛】此题考查函数零点的判断，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，属于中档题.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13.在中，内角、、所对应的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（ ）.
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到或，再判断充分必要性.
【详解】，根据正弦定理得到：
故或，为等腰或者直角三角形.
所以“”是“是以、为底角的等腰三角形”的必要非充分条件
故选B
【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到或是解题的关键，漏解是容易发生的错误.
14.已知函数为上单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图像上，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由给出的已知两点确定单调性，再由与的对应关系进一步求解即可
【详解】由和为上的单调函数，可得为上的单调递减函数，
则在定义域内也为单调递减函数；
原函数过点和点，则过
则，解得
故选A
【点睛】本题考查原函数与反函数的性质，原函数若单调，则原函数与反函数单调性相同，原函数定义域（值域）与反函数值域（定义域）相同，属于中档题
15.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有( )
A. 24种B. 48种C. 72种D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】
由排列组合及简单的计数问题得，将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有.
【详解】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，
当两个红色球相邻共有种不同的排法，
当两个黄色球相邻共有种不同的排法，
当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，
则将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有种，
故选：B
【点睛】此题考查了排列组合及简单的计数问题，属于中档题.
16.如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到运动过程中，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，得到点在的边上沿逆时针方向运动，设正方体的棱长为，取线段的中点为，根据题意确定当动点运动到点时，，同理得到动点运动到线段或的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果.
【详解】由题意可知：点在的边上沿逆时针方向运动，
设正方体的棱长为，取线段的中点为，
则当动点运动到点时，
，
同理，当动点运动到线段或的中点时，
计算得.
符合C选项的图像特征.
故选C
【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤
17.如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.
（1）求该圆锥的体积：
（2）求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)运用圆锥的体积公式求解；
(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解.
【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为，高为，
由题意，∴，
底面圆周长，∴，
∴，
因此，该圆锥的体积；
（2）如图所示，取弧的中点，则，
因为垂直于底面，所以、、两两垂直
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
计算得，，，，
所以，，
设与所成角的大小为，
则，
所以，
即异面直线与所成角的大小为.
【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.
18.已知函数（，为常数且），函数的图像关于直线对称.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的最大值.
【答案】（1）； （2）
【解析】
【分析】
(1)利用降幂公式及两角和与差的正弦公式化简函数得，由正弦型函数的对称性即可求出，最后代入周期计算公式即可得解； (2)由 求出角A，利用余弦定理及均值不等式求出，利用与bc有关的面积公式求得的面积的最大值.
【详解】(1)
因为函数的图像关于直线对称，所以，
，即，又，所以，
，最小正周期为；
(2) 因为，所以，
因，则，所以，，
，代入得，
即，当且仅当时取等号，所以，
所以的面积的最大值为.
【点睛】本题考查了三角恒等变换化简函数，涉及降幂公式及两角和与差的正弦公式，正弦型函数的对称性，考查了余弦定理与均值不等式，属于中档题.
19.某工厂在制造产品时需要用到长度为698mm的A型和长度为518mm的B型两种钢管，工厂利用长度为4000mm的钢管原材料，裁剪成若干A型和B型钢管。假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.
（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%，请说明这两种方案并计算它们的废料率；
（2）工厂现有100根原材料钢管，一根A型和一根B型钢管为一套毛胚。按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？
【答案】（1）方案一：，废料率最小为，方案二：，废料率第二小为；（2）最多可裁剪320套毛胚，最终的废料率为2.72%
【解析】
【分析】
（1）设每根原材料可裁剪成根A型钢管和根B型钢管，则，得到方案再计算废料率得到答案.
（2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，得到时，，再计算废料率得到答案.
【详解】（1）设每根原材料可裁剪成根A型钢管和根B型钢管，则，
方案一：，废料率最小为；
方案二：，废料率第二小为；
（2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，
则，
当，套，废料率为
综上：最多可裁剪320套毛胚，最终的废料率为2.72% .
【点睛】本题考查了方案问题，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.
20.已知椭圆：的右焦点为，短轴长为2，过定点的直线交椭圆于不同的两点、（点在点，之间）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若射线交椭圆于点（为原点），求面积的最大值.
【答案】(1) ;(2) ;(3)
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的基本量之间的关系求解即可.
(2)分直线斜率存在于不存在两种情况,当斜率存在时,联立方程利用韦达定理与从而找到韦达定理与的不等式再求解即可.
(3) 的面积为的两倍,故求得面积最值即可.
【详解】(1)因为右焦点为,故.又短轴长为2,故,解得
故椭圆的方程：
(2)当直线斜率不存在时, 直线,此时,故,此时,
当直线斜率存在时,设直线,.联立直线与椭圆
有,此时,.
.
又,即 ,故
又即,
又因为,故,即,故
有基本不等式,故计算得
,又,故
综上
(3) ,
令 ,则
故面积的最大值为
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,联立方程列出韦达定理再表示题中所给的信息计算求解.其中用去建立与韦达定理之间的关系,的面积利用两倍的面积去代换,属于难题.
21.对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“折叠数列”.
（1）若，，判断数列，是否是“ 折叠数列”，如果是，指出m的值；如果不是，请说明理由；
（2）若，求所有的实数q，使得数列是3-折叠数列；
（3）给定常数，是否存在数列使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，证明你的结论.
【答案】（1）是“折叠数列”，不是“折叠数列”，理由见解析；（2）或或；（3）存在，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由给的定义进行求解；
（2）根据题中所给定义，列方程讨论q的取值可得出结果；
（3）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列的图象有无数条对称轴，可联想三角函数求解.
【详解】解：（1）若数列为“ 折叠数列”，则，
所以，
所以，得，
所以为“ 折叠数列”， ；
若数列是“ 折叠数列，则，
所以，得，
所以数列不是“ 折叠数列；
（2）要使通项公式为的数列是3-折叠数列，只需，
当时， ，显然成立，
当时，由，得，，（），
所以或，
综上，或；
（3）对给定的，都是折叠数列，故有多条对称轴，其中都是数列的对称轴，设，由（）得对称轴为，且的周期为，
满足给定常数，使得对所有，都是折叠数列，是周期函数，周期为，在这个周期内，为对称轴，故对应函数值的个数与对应的函数值个数相等，即时，
所以在上单调递增，
因为，所以各项中共有个不同的值，
综上，给定常数，存在数列，使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值
【点睛】此题考查了数列，三角函数等知识，用到了分类讨论思想，函数思想，属于难题.