四川阆中东风中学2021届高三11月月考数学(理)试卷 Word版含答案
展开www.ks5u.com东风中学高三11月月考数学试题(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题(共12小题,每小题5分)
1.设集合,则等于( )
A. B. C. D.
2.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=( )
A. B. C. D.2
3.命题“,”的否定为( )
A.“,” B.“,”
C.“,” D.“,”
4.已知的展开式的二项式系数和为32,则展开式中的系数为( )
A.20 B.15 C.10 D.5
5.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,是的前项和,则等于( )
A. B. C.10 D.0
6.曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1)处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
7.体育品牌Kappa的LOGO为可抽象为:如图背靠背而坐的两条优美的曲线,下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是( )
A. B. C. D.
8.已知 ∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα= ( )
A. B. C. D.
9.如图示,三棱锥的底面是等腰直角三角形,,且,,则与面所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
10.已知函数,若,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
11.已知、是双曲线的左、右焦点,关于双曲线的一条渐近线的对称点为,且点在抛物线上,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
12.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡中横线上)
13.已知向量,若),___________.
14.设,满足,则的取值范围为__________
15.记为数列的前项和,若,则_____.
16.关于函数有如下命题,其中正确的有_____
的表达式可改写为
是以为最小正周期的周期函数;
的图象关于点对称;
的图象关于直线对称.
三、解答题
17.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,且,,成等差数列,.
(1)求的外接圆面积; (2)求的最大值.
18.(12分)东中随机调查了80位学生,以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系,得到下面的数据表:
| 爱好 | 不爱好 | 合计 |
男 | 20 | 30 | 50 |
女 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 50 | 80 |
(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查了本校的3名学生、设这3人中爱好羽毛球运动的人数为,求的分布列和期望值:
(2)根据表中数据,能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联?若有,有多大把握?
附:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
19.(12分)如图,在直角梯形中,,,,为的中点,沿将折起,使得点到点位置,且,为的中点,是上的动点(与点,不重合).
(Ⅰ)证明:平面平面垂直;
(Ⅱ)若点是BC的中点,求二面角的余弦值。
20.(12分)已知椭圆的离心率,左顶点到右焦点的距离是,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于两点,若以为直径的圆经过坐标原点,证明:到直线的距离为定值.
21.(12分)已知函数,.
(1)求函数在上的最小值;
(2)若存在(是自然对数的底数,),使不等式成立,求实数的取值范围.
22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建极坐标系.
(1)求的极坐标方程;
(2)直线,的极坐标方程分别为,,直线与曲线的交点为,直线与曲线的交点为,求线段的长
答案
- C 解析:故。
- C. 解析:,由复数求模的法则可得,则
- A .解析:命题“,”的否定为,.
- D . 解析:由题意解得,则二项式的展开式中的项为,所以的系数为5。
5.D. 解析:∵a1,a3,a4成等比数列,∴=a1a4,∴=a1•(a1+3×2),
化为2a1=-16,解得a1=-8. ∴则S9=-8×9+ ×2=0。
6.C. 解析:当时,,即点在曲线上.则在点处的切线方程为,即.
7.A .解析:因为、两个函数均是奇函数,故不符合题意;
对D:当趋近于0,且足够小时,,不符合题意;
对A:因为,满足趋近于0,且足够小时函数值.
8.B. 解析:,.
,又,,又,.
9.A 解析:由题知是等腰直角三角形且,是等边三角形,设中点为,连接,,可知,,同时易知,,所以面,故即为与面所成角,有,
故.
10.D.解析:函数的定义域为,
且,即,
所以函数是上的奇函数,
又由,所以函数为上的单调递减函数,
又因为,且,即,
所以,可得,
又由函数是上的奇函数,可得,
所以,即.
11.D. 解析:由题意可得过一三象限的渐近线方程为,则点到的距离为
所以在中,,,
∴
由抛物线的定义可知,点到准线的距离等于点到的距离
∴,∴
即 ∴,∴(负值舍去).
12。D.解析:要使函数有两个极值点,
求导得,
则转化为有两个不同的实根,
即和在上有两个交点,令,∴.
记,
在上单调递减,且,
所以当时,,,
所以在上单调递增;
当时,,,
所以在上单调递减,
故.
当时,;当时,,
所以,当,即时,
和在上有两个交点,
- 2.解析:,则,因为,所以,解得,
14 . 解析:可行域如图中阴影部分,将目标函数转化为,在图中作出平行直线,在可行域范围内平行移动直线,则当移到顶点处时,有.
15 -63.解析:为数列的前项和,,①,当时,,解得,当时,,②,由①②可得,,是以为首项,以2为公比的等比数列,.
16.解析:,正确;
的最小正周期,错误;
,则的图象关于点对称,正确;
由不为最值,错误.
17.解:1),,成等差数列
又,
由正弦定理可得:
的外接圆面积为;
(2)由正弦定理得:
,
当时,取得最大值.
18解:(1)的可能取值为,随机变量服从二项分布,
任一学生爱好羽毛球运动的概率为,故
,,
,,
的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
(2),
故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联.
19(Ⅰ)证明∵,,,∴平面.
,
由,知,
又平面,∴平面平面.
(Ⅱ)解:过作于,由知,
易证平面,所以平面,
过作于,连接,则(三垂线定理),
即是二面角的平面角,
不妨设,则,
在中,,由得,
即,得,∴,
,所以二面角的平面角的余弦值为.
20解:(1)∵椭圆的离心率,
∴,∴,
∴,,
∴椭圆的方程为.
(2)设,
①当直线的斜率不存在时,由椭圆的性质可得:,,
∵当直线的斜率不存在时,以为直径的圆经过坐标原点,
∴,即,也就是,
又∵点在椭圆上, ∴,
∵以为直径的圆经过坐标原点,且平行于轴,
∴,∴,解得:
此时点到直线的距离
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
与椭圆方程联立有,消去,得
∴,,
同理:,消去,得,
即,∴
∵为直径的圆过坐标原点,所以,∴
∴
∴
∴
∴点到直线的距离
综上所述,点到直线的距离为定值.
21解:(1)由已知可得函数的定义域为,
当,,单调递减,
当,,单调递增,
当,即时,;
当,即时,;
综上所述,.
(2)不等式成立,即
,
设,则
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
,
由题意可得:
22解:(1)由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为:,
所以极坐标方程为即.
(2)将代入中有,即,
将代入中有,即,
,
余弦定理得
,
.
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