天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析

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天津开发区第一中学2020-2021学年度第一学期高三年级数学测试（10月）一.选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知全集，集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求函数定义域得集合B，再求B的补集，最后求B的补集与A的交集得结果.【详解】因为所以因此图中阴影部分表示的集合为故选：B【点睛】本题考查函数定义域、集合补集与交集，考查基本分析求解能力，属基础题.2. 设，则“ “是“”（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必条件【答案】B【解析】【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由，得，又由，得，因为集合，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.3. 函数（）的大致图象为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】判断奇偶性，排除两个选项，再根据单调性排除一个选项，得出正确答案．【详解】由已知是偶函数，排除B，D，又时，是减函数，∴是减函数，排除A．故选：C．【点睛】本题考查由函数解析式选择图象，可通过研究的性质如奇偶性、单调性等，研究函数的特殊值，函数值的正负、函数值的变化趋势等利用排除法排除错误选项，得出结论．4. 若，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据，将，利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为求解.【详解】因为，所以．故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5. 设，，，则，，的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的　性质结合中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得，，由对数函数性质得，∴．故选：A．【点睛】本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．6. 当时，函数的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式降幂，然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式，再利用正弦函数性质可得最小值．【详解】，当时，，所以，即时，．故选：B．【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，解题关键是利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式．7. 下列说法正确是（    ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“”的否定是：“”C. 则D. 若为上的偶函数，则的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】分别根据充分不必要条件的定义，命题的否定，举反例，函数的奇偶性与对称性判断各选项．【详解】A．时，，不充分，反之时也不能得出，只能有，不必要，A错；B．命题“”的否定是：“”，B错；C．时．，C错；D．偶函数，即它的图象关于轴对称，把它的图象向右平移1个单位得的图象，关于直线对称，D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题的真假判断，考查了充分不必要条件的定义，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性与对称性等知识，属于中档题．8. 将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再把所得图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在处取得最大值，则函数的图象（    ）A 关于点对称 B. 关于点对称C. 关于直线对称 D. 关于直线对称【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，得到，函数在处取得最大值，求得，再求函数的对称轴和对称中心即可．【详解】由题意得，，由函数在处取得最大值，得，∴，，，，∵，∴，∴，由，，得，，∴函数的图象关于，对称，故A，B选项错误；由，，得，，∴函数的图象的对称轴方程为，，显然当时，函数的图象的对称轴为直线，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，三角函数的最值，三角函数图象的对称性等，考查的数学核心素养是数学运算、直观想象．9. 在R上定义运算，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（  ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】通过定义运算可将问题变为对任意恒成立，进而将问题变为，通过求解的最小值得到的范围.【详解】由题意可得：即：对任意恒成立        设则（当且仅当，即时取等号）即    ，即本题正确选项：【点睛】本题考查根据恒成立求解参数范围的问题，关键是能够通过新定义运算得到函数表达式，进而通过分离变量的方式将问题变为参数与函数最值的关系.10. 函数，若函数恰有个零点，则的取值范围为（    ）A. 或 B. 或 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分、、三种情况讨论，换元，通过函数的零点个数转化为方程的根的个数，结合换元法以及函数的图象，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】令，令，可得.①当时，若，由，可得，解得，不合乎题意；若，由，可得，解得或（舍去）.下面解方程.（i）当时，由，得，解得，不合乎题意；（ii）当时，由，得，解得或（舍去）.所以，当时，函数有且只有一个零点；②当时，则.若，则，此时方程无解；若，由，可得.由上可知，方程只有一解，不合乎题意；③当时，若，若可得，解得，合乎题意；若，由可得，解得，.如下图所示：当时，，由图象可知，直线与曲线有个交点，直线与曲线有个交点，要使得函数恰有个零点，则直线与曲线有个交点，所以，，即，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用复合函数的零点个数求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于难题.二.填空题：（本大题共8小题，共40.0分）11. 函数在处的导数值是________.【答案】．【解析】【分析】求出导函数，令代入即得．【详解】由已知，时，．故答案为：．【点睛】本题考查导数运算，解题关键是函数的导数．属于基础题，12. 设集合，，则__________.【答案】【解析】【分析】解分式不等式得集合，由指数函数性质得集合，再由并集的定义求并集．【详解】由已知，，∴，故答案为：【点睛】本题考查集合的并集运算，考查解分式不等式、指数函数的性质，属于基础题．13. 正弦型函数（，，）的图象如图所示，则的解析式为_______________.【答案】【解析】【分析】由最值求得，由周期求得，由最高点或零点横坐标及的范围求得，得解析式．【详解】由题意，，∴，由正弦函数性质得，，，∵，∴．∴．故答案为：【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握“五点法”作正弦函数的图象是解题关键．14. 在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为_____________.【答案】直角三角形【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想求得的值，可求得角的值，进而可判断出的形状.【详解】，由正弦定理得，即，，则，，，.因此，为直角三角形.故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题.15. 不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】不等式变形为（），然后求出函数的最小值即可得．【详解】∵，∴不等式可化为，设，，当时，，递减，时，，递增，∴，不等式在上恒成立，则．故答案为：．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．16. 函数是定义在上的奇函数，对任意的，满足，且当时，，则__________．【答案】【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R,满足f(x+1)+f(x)=0，∴f(x+1)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：17. 给出下列四个命题正确的是______________：①函数在区间上存在零点；②将函数的图象的横坐标变为原来的倍得到函数；③若，则函数的值域为；④“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；【答案】①③④【解析】【分析】根据零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义判断各选项．【详解】①，，，由零点存在定理得在上有零点，①正确；②函数的图象的横坐标变为原来的得到函数，②错误；③时，，故函数值域为，③正确；④是奇函数，则，，，因此“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，④正确．故答案为：①③④【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义是解题基础．18. 设，，则的最小值为_________.【答案】4【解析】【分析】两次应用基本不等式，，，验证等号能同时成立即得．【详解】由题意，，当且仅当，即时上述不等式中等号同时成立．故答案为：4．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．三.解答题（本大题共4小题，共60.0分）19. 已知函数（）.（1）求函数的最小正周期及在区间上的单调区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）最小正周期是，增区间是，减区间是；（2）．【解析】分析】（1）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解；（2）由（1）求得，再求出，然后用两角差的余弦公式求解．【详解】（1），所以最小正周期为，时，，由，得，由得，所以的增区间是，减区间是；（2）由（1）得，即，因为，所以，所以，所以【点睛】本题考查求三角函数的周期与单调区间，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．20. 已知中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角转化为边，再利用余弦定理求得结果；（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求的取值范围.【详解】（1）由，可得，整理得，所以.（2）由（1）得，,，,，，由正弦定理得，∴，∵,∴，，，∴∴的取值范围是.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.21. 已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）求的极大值；（3）当有极大值，且极大值大于时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）求出导函数，由求得，并验证是极值点；（2）由导函数确定函数的单调性，得极值；（3）由（2）得极大值，从而得关于的不等式，引入新函数，说明新函数是单调函数，有唯一零点，从而得的范围．【详解】（1），由题意，，此时，当时，，当时，，是极大值点．∴；（2），，当时，，单调递增，无极值；当时，时，，当时，，是极大值点．∴极大值．（3）由（2）知时，的极大值为，∴，即，设，易知函数在上是增函数，而，∴由得．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键．本题属于中档题．22. 已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若关于的不等式恒成立，且的最小值是，求证：.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导函数，计算切线斜率后可得切线方程；（2）求出导函数，由确定增区间，确定减区间；（3）分离参数为，引入新函数，求出最大值得出最小值，求最大值时需确定最大值点的性质及范围，由此证明．【详解】（1）时，，，又，所以切线方程为，即；（2）函数定义域是，，时，在时，，在上是增函数；时，，由得，其中舍去，，当时，，时，，的增区间是，减区间是．（3）由，又，得，设，，设，，在时，，单调递减，，，所以存在，使得，且当时，，即，递增，当时，，即，递减，所以，其中满足，所以，，由得，．当时，，所以，即．【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数确定单调性，证明不等式问题，不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值进行讨论，如果最值点（极值点、零点）不易求出，需要虚设零点，整体计算，本题属于难题．