河南省洛阳市第一高级中学2021届高三上学期10月月考数学（文）试题 Word版含答案

洛阳一高2020-2021学年第一学期高三年级10月月考文科数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　　)

A．1     B．0

C．1＋i     D．1－i

2.下列命题中错误的是

  命题“若，则”的逆否命题是真命题

命题“”的否定是“”

若为真命题，则为真命题

使“”是“”的必要不充分条件

3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为(　　)

A.               B．－            C.         D．－

4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)

A．4n－1　　　　　　　　　　 B．4n－1

C．2n－1   D．2n－1

5．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为”的一个函数是(　　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

6. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 　B．－

C．－   D．－1

7. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，＝，         AC，MN交于点P.若＝λ，则λ的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

8．已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋＝2，AB＝1，则·＝(　　)

A.              B．3           C.        D．2

9 .已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(　　)

A.∪(2，＋∞)            B．(2，＋∞)

C.∪(2，＋∞)              D．(－∞，2)

10．若一直线与曲线y＝和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为(　　)

A.2e     B．3

C.      D．2

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为(　　)

A.    B.

C.    D．6

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为(　　)

A．2＋    B．2＋

C．3    D．3＋

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．

14. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.若角β满足sin(α＋β)＝，则cos β的值为________．

15.已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为________．

16．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m, 4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（本小题满分12分）

如图,是直角斜边上一点,．

(1)若，求角的大小；

(2)若，且，求的长．

18．（本小题满分12分）

已知为数列的前n项和.已知，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

19.（本小题满分12分）

     已知向量.

     (1)求的最大值及取得最大值时的取值集合；

     (2)在中，是角的对边，若且，求周长的取值范围.

20．（本小题满分12分）

已知函数．

(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

(2)令，是否存在实数，当是自然常数)时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）

    已知函数．

（1）当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若不等式对于任意x∈[e﹣1，e]成立，求正实数a的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，

请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为

.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线及圆的极坐标方程；

(2)若直线与圆交于两点，求的值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

(1)解不等式；

(2)设函数的最小值为，实数满足，求证：.

已知函数，为不等式的解集.

高三10月月考文科数学参考答案

一、选择题：1-5 DBCDC  6-10 DDBBA  11-12 AA     

二、填空题：13. 2x＋y－3＝0     14. －或

     15.∪         16.[－8，－1]

三、解答题

17.(1)在中,根据正弦定理,有.            ……1分

因为,所以.                ……3分

又        

所以.                                             ……5分

于是,

所以.                                                 ……6分

（2）设,则,,.                   ……7分

于是,,                       ……9分

在中,由余弦定理,得

,

即,                       ……11分

得，故 ．                                       ……12分

18.(1),,

,                                   ……2分

即.                       ……3分

,.

又， ,(舍去),                        ……5分

是首为3，公差为2的等差数列，通项公式为.             ……6分

(2)由,得.      ……9分

设数列的前n项和为，则

.                ……12分

19.解：(1),

              ……2分

，                                                    ……3分

的最大值为，                                       ……4分

此时，即，                        ……5分

.                                      ……6分

(2) .               ……7分

,.                                            ……8分

           ……9分

,                                    ……10分

.

,,即周长的取值范围是.               ……12分

20.解：(1)在上恒成立，       ……2分

令，有得，                      ……4分

得，所以的取值范围是.                          ……5分

(2)假设存在实数，使有最小值3，

.                                           ……6分

①    当时，在上单调递减，

（舍去）.                           ……8分

②    当时，在上单调递减，在上单调递增

∴，满足条件．                   ……10分

③    当时，在上单调递减，

（舍去），                          ……11分

综上，存在实数，使得当时有最小值3．        ……12分

21．已知函数．

（1）当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若不等式对于任意x∈[e﹣1，e]成立，求正实数a的取值范围．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）＝x﹣（a+1）+＝，---------------------------------------2分

若0＜a＜1，

当0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当a＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，--------------------------------3分

若a≤0，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．-------------------------------------4分

综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；

当0＜a＜1时，函数f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a）和（1，+∞）上单调递增．---5分

（2）原题等价于对任意x∈[，e]，有﹣alnx+xa≤e﹣1成立，--------------6分

设g（x）＝﹣alnx+xa，a＞0，所以g（x）max≤e﹣1，

g′（x）＝，-----------------------------------------------------------------7分

令g′（x）＜0，得0＜x＜1；令g′（x）＞0，得x＞1，

所以函数g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，----------------8分

g（x）max＝max（g（）＝a+e﹣a，g（e）＝﹣a+ea），

设h（a）＝g（e）﹣g（）＝ea﹣e﹣a﹣2a（a＞0），

则h′（a）＝ea+e﹣a﹣2＞2﹣2＝0，

所以h（a）在（0，+∞）上单调递增，

故h（a）＞h（0）＝0，

所以g（e）＞g（），---------------------------------------------------------------------10分

从而g（x）max＝g（e）＝﹣a+ea，

所以﹣a+ea≤e﹣1，即ea﹣a﹣e+1≤0，

设φ（a）＝ea﹣a﹣e+1（a＞0），则φ′（a）＝ea﹣1＞0，

所以φ（a）在（0，+∞）上单调递增，

又φ（1）＝0，所以ea﹣a﹣e+1≤0的解为a≤1，

因为a＞0，所以正实数a的取值范围为（0，1]．----------------------------------12分

22.解：(1)由直线的参数方程，

得其普通方程为，                                       ……2分

∴直线的极坐标方程为.                         ……3分

又∵圆的方程为，

将代入并化简得，                       ……4分

∴圆的极坐标方程为.                           ……5分

(2)将直线：，

与圆：联立，得

，                                   ……6分

整理得，∴.                      ……8分

不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.       ……9分

于是，.                           ……10分

23. (1)，即.

当时，不等式可化为.                       

又∵，∴；                                           ……1分

当时，不等式可化为.                        

又∵，∴.                                        ……2分

当时，不等式可化为.

又∵，∴.                                         ……3分

综上所得，，或，即.

∴原不等式的解集为.                                     ……5分

(2)由绝对值不等式性质得，，

∴，即.                                           ……7分

令，则，，

，         ……9分

原不等式得证.                                                 ……10分