北师大版 (2019)必修 第一册2.2 换底公式教案设计

《换底公式》

本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式。另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用。

教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力。

【知识与能力目标】

理解从特殊类比推导对数的换底公式并掌握换底公式。

能够灵活地将换底公式与对数的运算性质结合起来进行较复杂的对数运算与实际运用。

通过阅读材料，了解对数的发展历史及对简化运算的作用，了解指数换底公式。

【过程与方法目标】

通过设置问题串的方式，让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程，培养学生分析、综合解决问题的能力。在换底公式的应用的过程中，引导学生自己思考发现规律，提高学生的探索发现并总结问题的能力。

【情感态度价值观目标】

让学生探索研究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性。培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度。

【教学重点】

换底公式得出的过程及其应用。

【教学难点】

推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。换底公式的灵活应用。                          

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分

1、复习对数的定义及运算性质

2、思考: 我们能否直接求出、、、的值呢？借助科学计算器呢?这样如果能将其他底的对数转化成以10为底或以为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数。那么，如何转换呢?引出课题换底公式。

二、研探新知，建构概念

提出问题

阅读教材，回答以下问题。(通过投影仪提出问题， 提供5分钟时间让学生自学探究，适时引导)。

问题1、如何使用科学计算器计算?

问题2、如果且，你能用以为底的对数式来表示吗？

问题3、 更一般地，成立吗？如何证明？

问题4、你能用自己的话概括出换底公式吗？

问题5、换底公式的意义是什么?有什么作用?

活动:学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的自学能力与创造性思维能力。对于问题1，考虑利用对数的定义，转化成指数方程，再两边取常用对数或自然对数来求解; 对于问题2，考虑参考问题1的思路和结果的形式借助对数的定义可以表示;对于问题3，借助问题1、2的思路，利用对数的定义来证明；问题4抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式;问题5换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了。

探究结果

探究1、设，根据对数的定义，写成指数式，得      ①

对①式两边取常用对数，得所以。

这样我们可以用科学计算器中“”键算出

如果对①式两边取自然对数，得所以

探究2、如果对①式两边取以为底的对数，得所以

探究3、 证明:设，根据对数定义，写成指数式，得

根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以为底的对数，得

而，所以

由于，则，解出，得

因为，所以

换底公式：

探究4、一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个同底对数的商。

探究5、换底公式的意义就在于把对数的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值。

三、质疑答辩，发展思维

例1 用科学计算器计算（精确到0。001）：；

解：；

课堂练习1：利用科学计算器计算：

；；；；；

活动:让学生通过合作学习，使用计算器完成。看谁算得快，增强合作与竞争意识。

解: ；；；；；。

例2  计算：（1）；（2）

活动:学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，使用换底公式统一底数;根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或自然对数，当然以2为底或以3为底的对数也可。在讲授时可通过实物展示台放映学生解答过程。分析解答情况。

解：⑴

⑵

点评:灵活应用对数的换底公式是解决问题的关键。

再思考活动:从例题的解答过程中，引导学生思考一般性结论，(强调底数的次方数为分母，真数的次方数为分子)， (强调互为倒数)。

上题也可直接这样算：(1)

(2)

课堂练习3、利用换底公式证明：（1）；（2）

活动:学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，在讲授时可通过实物展示台放映学生解答过程。分析解答情况。

证明:(1) (2)

例3  一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）

解：设最初的质量是1，经过年，剩留量是，则经过1年，剩留量是；经过2年，剩留量是；……经过年，剩留量是；

方法一 根据函数关系式列表如下

观察表中数据，时对应有，

即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。

方法二 依题意得，用科学计算器计算得

即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。

四、课堂小结

1、换底公式可以完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可以正用，也可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简。所以在对数的运算中，应尽量化为同底的对数，以便用于运算。

2、不论是指数和对数的互化，还是把底数不同的对数转化为底数相同的对数，都用到了转化与化归的思想，方程思想。另外本堂课题还用到了数学建模思想等。

五、作业布置  

必做题: 教材P86  练习T2 ；  教材P88  习题B组 T4

选做题: (1)， 求的值；

(2)已知，求的值。

略。