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人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示第二课时教学设计
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这是一份人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示第二课时教学设计,共7页。教案主要包含了复习引入,新知探究,归纳小结,布置作业,目标检测设计等内容,欢迎下载使用。
《函数的概念及其表示(第二课时)》教学设计 1.能求简单函数的定义域,会求函数值,提升学生的数学运算素养.2.在理解函数概念的基础上,理解相同函数的含义,掌握相同函数的判定步骤,提升学生的数学抽象素养.3.了解区间的含义,能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化,提升学生的直观想象素养.教学重点:在理解函数概念的基础上,理解相同函数的含义,掌握相同函数的判定步骤.教学难点:体会函数记号的含义.PPT课件.一、复习引入问题1:在上一小节里,我们重新学习了函数的概念,请你默写这个概念.师生活动:学生可能并不能逐字逐句默写,但是只要抓住它的三个要素就予以肯定.预设的答案:对于数集A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.设计意图:通过默写为本节课的学习奠定基础.引语:函数是本章乃至整个高中数学的核心内容,概念就是它的基石,稳定的基石是搭建知识大厦的前提,我们这节课继续深入研究函数的概念.(板书:函数的概念)二、新知探究1.研读课本,理解区间的概念问题2:研究函数时我们经常会用到区间的概念,请同学们阅读课本第64页的相关内容,试着完成下列两个表格:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 定义符号数轴表示{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 师生活动:学生阅读教材,独立完成表格,老师巡视指导并强调一些共性问题.预设的答案:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b] 定义符号数轴表示{x|x≥a}[a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤b}(-∞,b]{x|x<b}(-∞,b)追问1:区间的左端点a与右端点b的关系是什么?(a<b)追问2:区间与数轴之间的关系是什么?(任何区间均可在数轴上表示出来,区间中的每个元素对应数轴上的一个点.)追问3:学习区间的意义是什么?(区间表示连续性的数集,为我们研究函数的定义域、值域提供方便.)设计意图:学习新知识,为后续简洁地表示定义域、值域等作铺垫.2.应用新知,深化对函数概念的理解例1 已知函数f(x)=+,(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(-3),f()的值;(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.师生活动:学生独立完成,老师挑选有代表性的解答进行投影点评,最后用PPT演示规范的书写过程.预设的答案:解:(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥-3},使分式有意义的实数实数x的集合是{x|x≠-2}.所以,这个函数的定义域是{x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3且x≠-2},即:[-3,-2)∪(-2,+∞).通常,求定义域的过程可以适当简化,过程如下:解:(1)要使该函数有意义,则需解得:x≥-3且x≠-2.所以函数f(x)的定义域为[-3,-2)∪(-2,+∞).(2)将-3与代入解析式,有f(-3)=+=-1;f()=+=+=+.(3)因为a>0时,所以f(a),f(a-1)有意义.f(a)=+;f(a-1)=+=+.追问1:如何求解函数的定义域?(如果给出解析式 y=f(x),那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.比如:①偶次方根中被开方数非负;②分式中分母不能为0;③0次幂式中底数不能为0;④在实际问题中,还必须考虑自变量所代表的具体量的允许值范围.)追问2:f(x)=+与y=+的含义相同,都是给出了一个函数的解析式,用f(x)替换y之后有什么优势?(在y=+中,要表示-3对应的函数值,我们一般都需要这样描述:当x=-3时,y=-1;而在f(x)=+中,我们只需要用 f(-3)=-1表示即可.)追问3:f(x)与f(a)有何区别与联系?(f(a)表示当自变量x=a时的函数值,是一个确定的数,而f(x)表示变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.)追问4:能说说你对记号“y=f(x)”的理解吗?(首先它不能理解为“y等于f与x的乘积”,它是“y是x的函数”的符号表示,具体而言是:变量x在对应关系f的作用下对应到y.)教师点拨:在同时研究两个或多个函数时,常用不同符号表示不同的函数,除用符号f(x)外,还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示.设计意图:通过例1的学习,让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y=f(x)”有具体的感受,能更透彻的理解,并且在求解定义域过程中,熟悉区间的使用.例2 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数?(1)y=()2; (2)u=;(3)y=; (4)m=.师生活动:老师先引导学生思考同一个函数的含义,然后让学生尝试判断,在判断中发现问题:正确化简解析式,定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等,老师应该给予及时的解答与帮助.预设的答案:解:(1)y=()2=x(x∈[0,+∞)),它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.(2)u==v(v∈R),它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数.(3)y==|x|=,它与函数y=x(x∈R)虽然定义域都是实数集R,但是当x<0时,它的对应关系与y=x(x∈R)不相同,所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.(4)m==n(n∈(-∞,0)∪(0,+∞)),它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同,所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.追问1:两个函数相等的含义是什么?(函数的三要素都相等.值域是由定义域和对应关系决定的,所以只要两个函数的定义域和对应关系一致,这两个函数就相等.)追问2:你能总结判断两个函数是否相同的步骤吗?(先求函数的定义域,如果定义域不相同,则不是相同函数,结束判断;如果相等,则判断对应关系是否相同,定义域和对应关系均相等才能得出相等的结论.高中阶段对应关系一般都是以解析式的形式给出,我们一般需要先考虑化简解析式再判断,若解析式也相等,则是相同函数,若否,则不是相同函数.)追问3:你如何理解函数u=的对应关系?(因为u==v(v∈R),所以对于R中的任一实数v,通过对应关系u=v,在R中都有唯一的一个实数u与之对应,因为u=v,所以就是任一实数与它本身的对应.)追问4:你能结合函数的图象验证你的判断吗?(能.老师PPT投影图象,让学生论述.比如在(1)中,y=()2的图象为一条射线,对应定义域为[0,+∞),对比y=x的图象,缺少第三象限的部分.) 教师点拨:对于同一个自变量,对应的函数值相同,就是对应关系一致,这与用什么符号表示无关,再比如:y=x2(x∈R),y=u2(u∈R)是同一个函数.设计意图:通过判断函数是否相同来认识函数的整体性,进一步加深对函数概念的理解.借助信息技术从图象角度体会函数的三要素,提高学生解析式与图象表示间的转化能力.三、归纳小结,布置作业问题3:请同学们回顾本节课的内容,回答下列问题:(1)区间是表示什么的符号?(2)在判断两个函数是否相同时,我们需要注意什么?师生活动:学生先独立思考,再由学生代表回答,其他学生依次补充,老师最后总结.预设的答案:(1)区间是用于表示连续数集的符号;(2)定义域相同是函数相等的先决条件,需要优先判断;对应关系相等与否不在于解析式用什么字母符号表示,而在于同一自变量对应的函数值是否相等.设计意图:引导学生对关键内容进行小结,进一步加深对函数概念的理解.四、目标检测设计1.求下列函数的定义域:(1)f(x)=; (2)f(x)=+-1.设计意图:考查函数定义域的求解.2.已知函数f(x)=3x3+2x,(1)求f(2),f(-2),f(2)+f(-2)的值;(2)求f(a),f(-a),f(a)+f(-a)的值.设计意图:通过函数求值问题发现函数的一些性质,可为后面学习函数性质积累素材.3.判断下列各组中的函数是否为同一个函数,并说明理由:(1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t-5t2和二次函数y=130x-5x2;(2)f(x)=1和g(x)=x0.设计意图:加深对函数相同的理解以及对函数符号的认识.参考答案:1.(1)(-∞,-)∪(-,+∞);(2)[-3,1].2.(1)f(2)=28,f(-2)=-28,f(2)+f(-2)=0;(2)f(a)=3a3+2a,f(-a)=-3a3-2a,f(a)+f(-a)=0.3.(1)不相同,因为前者的定义域为[0,26],后者的定义域为R;(2)不相同,因为前者的定义域为R,后者的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
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