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    人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第三课时教案及反思

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第三课时教案及反思,共9页。教案主要包含了问题导入,新知探究,归纳小结,布置作业,目标检测设计等内容,欢迎下载使用。

    函数的基本性质(第三课时)》教学设计

     

    1能类比单调性的探究思路,抽象出函数奇偶性的定义,提升学生的直观想象素养和数学抽象素养;了解奇函数与偶函数的定义和图象特征,能从函数图象直观判断函数是否具有奇偶性

    2能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性;能利用函数的奇偶性帮助画函数图象和计算函数值,提升学生的逻辑推理和数学运算素养

    教学重点:了解奇函数与偶函数的定义和图象特征,根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.

    教学难点:图象关于y轴(原点)对称转化为定量的符号语言

    用软件制作动画;PPT课件

    一、问题导入

    问题1观察图1中的两个函数图象,你能发现它们的共同特征吗?

    师生活动:学生观察容易发现这两个图象都有对称性,老师顺势引出课题.

    预设的答案:图象的共同特征是它们都有对称性

    设计意图:直接引出课题,形成对函数奇偶性的直观感受

    引语:单调性是刻画函数变化趋势的一个性质,那么奇偶性就是刻画函数对称性的一个性质.本节课我们一起来学习函数的奇偶性.(板书:奇偶性

    二、新知探究

    1.确定研究思路

    问题2类比函数单调性的探究思路,你能说说如何研究奇偶性吗?

    师生活动:学生回忆单调性的探究思路,老师在学生回答的基础上进行补充.

    预设的答案:先分析具体函数的图象特征(对称性),获得函数奇偶性的直观定性认识,然后利用动图或表格研究发现数量变化特征,再用符号语言定量刻画,抽象出奇偶性的定义,

    设计意图:引导学生回顾已有经验,给出研究函数性质的一般方法.

    2定性刻画偶函数

    问题3观察函数f(x)=x2g(x)=2|x|的图象(图2),思考以下问题

    1你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?

    2)你能用符号语言描述该特征吗?

    师生活动:问题(1)学生容易回答,但是观察流于表面,并不能进行深入的分析,所以直接回答问题(2)对学生来说难度较大,老师进行追问(追问1、追问2和追问3),启发学生深入思考,直至完成问题(2

    追问1宏观上看,这两个图象关于y轴对称;微观上看,除了y轴上的点,其余的点都是成对出现.任取函数f(x)=x2的图象上一点A,你能在图象上作出该点关于y轴的对称点吗?(若点Ay轴上,则对称点就是它本身;若点A不在y轴上,过Ay轴的垂线与函数图象交于另一点A,此时点A与点A就是一组对称点.)

    追问2你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗?(横坐标相反,纵坐标相同(如图3).借助动态作图软件,老师在函数f(x)=x2的图象上任意改变点A的位置,学生们随时观察点A与点A的坐标,可以很清楚地找到规律.)

    追问3你能用函数语言描述该特征吗?(当函数的自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等.)

    预设的答案:1)这两个的图象都关于y轴对称.(2xRf(x)=(x)2x2f(x)

    教师点拨:xRf(x)=f(x),这时称函数f(x)=x2为偶函数

     

    追问4你能仿照上述过程,说明函数g(x)=2|x|也是偶函数吗?(首先,图象关于y轴对称,任取图象上的一组关于y轴对称的点,它们的横坐标相反,纵坐标相同(如图4);其次,从函数符号的角度,当函数的自变量取一对相反数时,相应的函数值相等,即:xRg(x)=2|x|=2|x|=g(x),g(x)=2|x|是偶函数.)

    教师点拨:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有xI,且f(x)=f(x),那么函数就叫做偶函数.

    追问5xI,都有-xI说明定义域I具有什么性质?(定义域关于原点对称.)

    设计意图:以具体的函数为例,先借助图象直观感受偶函数的特征,定性刻画偶函数;再将图形语言转化为符号语言,实现定量偶函数的目标,提升学生的直观想象素养和数学抽象素养.

    3定量刻画奇函数

    问题4观察函数f(x)=xg(x)=的图象(图5),思考以下问题:

    1你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?

    2)你能用符号语言描述该特征吗?

    师生活动:此处的活动与问题3的大致相同,学生类比完成

    追问1宏观上看,这两个图象关于原点中心对称;微观上看,除了原点(如果原点在图象上),其余的点都是成对出现.任取函数f(x)=x的图象上一点A,你能在图象上作出该点关于原点的对称点吗?(若点A是原点O,则对称点就是它本身;若点A不是原点,A绕原点O旋转180°得到A,此时点A与点A就是一组对称点.)

    追问2你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗?(横坐标相反,纵坐标相反(图6).借助动态作图软件,老师在函数f(x)=x的图象上任意改变点A的位置,学生们随时观察点A与点A的坐标,可以很清楚地找到规律.)

    追问3你能用函数语言描述该特征吗?(当函数的自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相反.)

    预设的答案:1)两个的图象都关于原点成中心对称图形.(2xRf(x)=xf(x)

    教师点拨:xRf(x)=f(x),这时称函数f(x)=x为奇函数

    追问4你能仿照上述过程,说明函数g(x)=也是函数吗?(首先,图象关于原点中心对称,任取图象上的一组关于原点轴对称的点,它们的横坐标相反,纵坐标也相反(图7);其次,从函数符号的角度,当函数的自变量取一对相反数时,相应的函数值相反,即:x(-0)(0,+)g(x)=g(x),函数g(x)=函数.)

    教师点拨:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有xI,且f(x)=f(x),那么函数就叫做函数.

    设计意图:类比定量刻画偶函数的过程,不仅得到奇函数的定量刻画,而且能熟悉研究函数性质的路径与方法

    4奇偶性的判定

    1  判断下列函数的奇偶性:

    1f(x)=x4     2f(x)=x5

    3f(x)=x    4f(x)=

    师生活动:老师引导学生寻找判定的依据——定义,根据定义,求出函数的定义域I,需要判断两个条件:1xIx是否属于I2f(x)=f(x)或f(x)=f(x)是否成立,只有12)同时成立,才能判断函数的奇偶性.

    预设的答案:

    解:(1)函数f(x)=x4的定义域为R

    xR,都有xR,且f(x)=(x)4x4f(x)

    函数f(x)=x4为偶函数.

    2)函数f(x)=x5定义域为R

    xR,都有xR,且f(x)=(x)5x5f(x)

    函数f(x)=x5为奇函数.

    3)函数f(x)=x的定义域为(-0)(0,+).

    x(-0)(0,+),都有x(-0)(0,+),

    f(x)=xxf(x)

    函数f(x)=x为奇函数.

    4)函数f(x)=的定义域为(-0)(0,+).

    x(-0)(0,+),都有x(-0)(0,+),

    f(x)=f(x)

    函数f(x)=为偶函数.

    追问1你能总结用定义法判断奇偶性的步骤吗?(第一步,求函数的定义域I.第二步,判断定义域是否关于原点对称.若否,则函数不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行第三步.第三步,xI计算f(x).若f(x)=f(x),则为偶函数;若f(x)=f(x),则为奇函数;若f(x)与f(x)既不相等也不相反,则既不是奇函数也不是偶函数

    追问2思考

     

    1)判断函数f(x)=x3x的奇偶性.

    2)图8是函数f(x)=x3x图象的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗?

    3)一般地,如果知道yf(x)为偶(奇)函数,那么我们可以怎样简化对它的研究?

    ((1xR,都有xR,且f(x)=(x)3(x)=x3xf(x) ,函数f(x)=x3x为奇函数.

    2)因为是奇函数,所以图象关于原点中心对称,我们可以先将图象沿着y轴翻折,再沿着x轴翻折就可以得到y轴左边的图象(图9).

    3)一般我们只需要研究y轴一侧的性质,然后根据对称性推断得到它在整个定义域内的性质.)

    设计意图:1和追问1帮助学生掌握应用定义判定奇偶性的程序,进一步加深对概念的认识,在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养.追问2让学生利用函数的奇偶性画函数的图象,体会奇偶性对于研究函数性质时的简化作用,提升学生的直观想象素养.

    三、归纳小结,布置作业

    问题5回忆本节课的内容,请你回答以下几个问题:

    1什么是奇(偶)函数?用定义判定奇偶性的步骤是怎样的?

    2)请你比较奇函数的定义与偶函数的定义,说说这两者的异同.

    师生活动:师生一起总结

    预设的答案:1)概念和步骤略;

    2)相同点:定义域关于原点对称;都是函数的整体性质.不同点:偶函数的图象关于y轴对称,而奇函数的图象关于原点对称;当自变量取一对相反数时,偶函数的函数值相同,而奇函数的函数值相反.

    设计意图:通过梳理本节课的内容,让学生更加明确函数奇偶性的内涵和判定.

    作业布置:教科书习题3.25111213题.

    四、目标检测设计

    1.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整

    设计意图:训练学生根据奇偶性补全函数图象的能力,考查奇偶性的定义.

    2.判断下列函数的奇偶性:

    1f(x)=2x43x2    2f(x)=x32x

    设计意图:考查奇偶性的定义.

    3.(1从偶函数的定义出发,证明函数yf(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称

    2从奇函数的定义出发,证明函数yf(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称

    设计意图:通过证明符号语言与图象语言的等价性,深化理解奇偶性的定义.

    参考答案:

    1.略

    2.(1)偶函数.(2)奇函数

    3.(1)充分性:设P(xy)是函数f(x)图象上任意一点,则yf(x).因为函数f(x)的图象关于y轴对称,所以点P关于y轴的对称点Q(xy)也在函数f(x)图象上,即yf(x),所以对任意的x,都有f(x)=f(x),所以函数是偶函数.

    必要性:设P(xy)是函数f(x)图象上任意一点,则yf(x).记点P关于y轴对称点为Q,则Q(xy).因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(x),即yf(x),所以点Q在函数图象上,所以函数f(x)的图象关于y轴对称.

    2)类比(1)中的证明过程可证

     

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