人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）教案及反思

《函数的应用（一）》教学设计

1．能结合具体的现实问题情境，合理选择已经学习过的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数与分段函数等函数模型，解决简单的实际问题．

2．通过学习具体的例题，体会应用函数知识解决实际问题的过程和方法，提升学生的数学抽象素养和数学建模素养．

3．体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．

教学重点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系．

教学难点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系．

用软件制作动画；PPT课件．

一、问题导入

问题1：一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数的解析式分别是什么？你能举例说明与此有关的生活实例吗？

师生活动：学生自由发言，老师补充．

预设答案：（1）一次函数：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

反比例函数：f(x)＝(k为常数，k≠0)；

二次函数：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；

幂函数：f(x)＝xα(α为常数)；

生活实例略．

设计意图：通过复习做好新旧知识衔接．

引语：我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，借助这些函数，我们能解决现实世界中的许多问题．（板书：函数的应用（一））

二、新知探究

例1  设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

师生活动：老师引导学生分析题目中涉及的变量的实际意义以及它们之间的关系，根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式t＝g(x)，再结合y＝f(t)的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式．

追问1：本题中涉及了几个变量？你能写出它们之间的关系吗？（全年综合所得收入额x，应纳税所得额t，应缴纳个税y，由个人应纳税所得额计算公式，

可得t＝x－60000－x(8%＋2%＋1%＋9%)－52800－4560＝0.8x－117360．

令t≤0，得x≤146700；令t＞0，得x＞146700．

所以个人应纳税所得额t＝

由3.1.2例8可知个税税额y＝③）

追问2：如何通过这两个关系确定应缴纳个税税额y与综合所得收入额x之间的关系？（在③中，将t用关于x的关系式代换，并将t的范围换成自变量x的范围．）

追问3：当x在什么范围内时可以使t落到相应的区间？

（当0≤x≤146700时，t＝0；

要使0＜t≤36000，只需0＜0.8x－117360≤36000，

可得146700＜x≤191700；

同理可得其它区间内的对应范围，答案见表1．）

预设答案：

解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，

可得t＝x－60000－x(8%＋2%＋1%＋9%)－52800－4560＝0．8x－117360．

令t≤0，得x≤146700；令t＞0，得x＞146700．

所以个人应纳税所得额t＝

结合3.1.2例8的解析式③，可得

表1

所以，函数解析式为

y＝④

（2）根据④，当x＝249600时，y＝0.08×249600－14256＝5712．

所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元．

追问4：对比这个例子和3.1.2例8，请谈谈你的感受．（3.1.2例8中，要由综合收入所得额求出应纳税所得额，才能计算个税税额，本例直接将个税表示成了综合收入所得的函数，由此可直接由综合收入所得额求出需要缴纳的个税税额．）

教师点拨：网络上计算个税税额、房贷还款额的小程序都是先建立函数模型，再由程序员编写程序做成的．由此可见，有了函数模型，就可以通过研究函数获得实际问题的答案．

设计意图：通过例1使学生初步体会应用函数知识解决实际问题的过程和方法，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模素养．追问1，2，3都是引导学生将复杂问题拆分成一些简单问题，追问1引导学生将实际问题转化为数学问题，追问2，3是引导学生确定函数的对应关系与定义域，直击问题本质．追问4是引导学生感受函数在实际生活中的应用价值．

例2  一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图1所示，

（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s (单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．

师生活动：学生一般可以顺利完成第（1）问，老师引导学生求解经过任意时间t0（t0∈[0，5]）后对应的行驶路程，自然地将行驶路程与时间的关系问题转化为面积问题，帮助学生跳出单一的借助物理背景解题的思路．在此基础上，学生就可以顺利地写出里程表读数与时间的函数关系式．

预设答案：（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360．

阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km．

追问1：任取区间[0，5]内的一个时刻t0，你能在图1中画出对应的路程吗？（∀t0∈[0，5]，t＝t0这条直线左边的阴影面积就是经过t0时间的路程，如图2所示．）

追问2：由追问1我们知道汽车行驶路程l是关于时间t的函数，你能写出它的函数解析式吗？（当0≤t＜1时，l＝50t；

当1≤t＜2时，l＝80(t－1)＋50；

当2≤t＜3时，l＝90(t－2)＋130；

当3≤t＜4时，l＝75(t－3)＋220；

当4≤t≤5时，l＝65(t－4)＋295．）

预设答案：（2）设汽车行驶路程为l，

则l＝

又因为s＝l＋2004，所以

s＝

这个函数的图象如图3所示．

追问3：你能根据图3画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？为什么？（实际上这个图象可以由图3的函数图象向下平移2004个单位得到．因为相同的自变量t对应的里程数s与路程l的差等于定值2004．）

设计意图：通过例2使学生进一步体会应用函数知识解决实际问题的过程和方法．追问1，2是引导学生将路程问题转化为面积问题，追问3引导学生从图象上整体把握路程与里程数之间的关系．

三、归纳小结，布置作业

问题2：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：

（1）你能说说应用函数知识解决实际问题的一般步骤吗？

（2）你认为最关键的步骤是什么？

师生活动：师生一起总结．

预设的答案：（1）①阅读理解，抓取信息，即确定实际问题中的变量；②建立函数模型，即确定变量间的关系；③求函数模型的解；④作答，即把数学结果转译成具体问题的结论．

（2）建立函数模型，确定问题中函数的对应关系与定义域．

设计意图：通过梳理本节课的内容，引导学生总结解决实际问题的．

作业布置：教科书习题3.4第1，2，3，4，5题．

四、目标检测设计

1．若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m．在限速为100 km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m，那么这辆车是否超速行驶？

设计意图：考查应用函数知识解决实际问题．

2．某广告公司要为客户设计一幅周长为（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？

设计意图：考查应用函数知识解决实际问题．

3．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则

（1）设总成本为y1（单位：万元），单位成本为y2（单位：万元），销售总收入为y3（单位：万元），总利润为y4（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式．

（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析．

设计意图：考查应用函数知识解决实际问题．

参考答案：

1．由20＝(60)2a解得a＝，由50＝x2解得x＝30，因为30＜100，所以这辆车没有超车．

2．设矩形的一边长为x，广告牌面积为S，则S＝－(x－)2＋，x∈(0，)．当x＝时，S取到最大值，且Smax＝．所以当广告牌是边长为的正方形时，广告牌的面积最大．

3．（1）y1＝150＋0．25x；y2＝＋0．25；y3＝0．35x；y4＝0．1x－150．

（2）当x＜1500件时，该公司亏损；当x＝1500件时，公司不赔不赚；当x＞1500件时，公司盈利．