人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念教学设计

《集合习题课》教学设计

1．进一步理解集合之间包含与相等的含义．

2．熟练掌握集合的基本运算及其运算律．

教学重点：集合的基本关系，集合的基本运算．

教学难点：集合的基本关系含有参数的题目中分类讨论的应用．

PPT．

一、复习导入

请同学们梳理第1.1到1.3节（课本P1～P16）的内容，回答以下几个问题：

问题1：怎么理解集合的含义？元素与集合的关系是什么？集合的表示方法有哪些？

师生活动：学生默写，之后互相核对，教师予以指正．

预设的答案：集合的特性：①确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的．②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，并集、交集中相同元素只出现一次．③无序性：一个给定集合中的元素前后位置可以交换．

元素与集合的关系如下表：

集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn图图示法．

设计意图：通过复习帮助学生梳理集合的概念，集合的表示方法等知识．

问题2：集合之间的关系又哪些？回顾子集、真子集、集合相等的相关概念，它们间的关系是什么？

师生活动：学生先独立复习，教师根据学生的回答补充．

预设的答案：

集合之间的关系“子集”“真子集”“相等”．其关系如图1所示．如果集合A是集合B的子集，则集合A是集合B的真子集或两个集合相等．

设计意图：复习回顾集合间的关系．

问题3：集合有哪些运算？请你用Venn图表示．有了运算律使运算更加简洁，那么集合的运算有哪些性质和运算律？

师生活动：学生先复习，然后交流讨论，教师根据学生的回答补充．

预设的答案：

集合的运算有并集、交集、补集．定义略．Venn图表示如下：

并集：

交集：

补集：

并集、交集和补集的性质、运算律及常用结论如下表：

设计意图：复习回顾集合运算的相关知识．

二、巩固应用

问题4：你能利用习题1.2第5题（1）（教科书第9页）的方法求解以下题目吗？

例1  已知a∈R，b∈R，若｛a，，1｝＝{a2，a＋b，0}，则a2 020＋b2 020＝________．

师生活动：学生独立思考，完成之后讨论交流，教师根据情况进行讲解．

预设的答案：

解：由已知得a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 020＋b2 020＝1．

追问1：怎么知道a≠0，做这种题时哪儿是突破口？（观察集合中元素的特点，如本题中有分式，分母不为零．再将一个集合中已知的元素与另一个集合中未知的元素联系，看是否相等，如果与该元素不等，再看与另一个元素是否相等，依此试验排除．）

追问2：集合元素的三个特征中，哪一个在求解本题时起了主要作用？求解此类题目有什么经验？（集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．）

设计意图：通过两个集合相等即元素相同，深化了对集合元素互异性的理解．

问题5：你能利用习题1.2第5题（2）的方法求解以下题目吗？

例2  已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

师生活动：学生先总结习题的做法，再独立完成例2，教师根据学生的情况有针对地指导，突出点拨分类讨论及数形结合思想方法的应用．

预设的答案：

解：当B＝时，只需2a ＞a＋3，即a＞3；

当B≠时，根据题意作出下图：

可得或 解得a＜－4或2＜a≤3．

综上可得，实数a的取值范围是{a|a＜－4或a＞2}．

追问1：完成下面的题目．

已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．

（1）若B⊆A，则a的取值范围是________；（a≤3）

（2）若A⊆B，则a的取值范围是________；（a≥3）

（3）若A⫋B，则a的取值范围是________；（a＞3）

（4）若A＝B，则a的值是________．（a=3）

联系例2概括，这类题目的特点及步骤是怎样的？

预设的答案：上述题目的特点是：已知两个集合的关系，其中一个集合中含有参数．求解步骤是：①确定两个集合之间的关系；②考虑集合为空集的情形是否满足题意；③将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．

追问2：这类题的易错点是什么？怎么才能避免这样的错误？

预设的答案：易错点是：两个集合的端点是否相等．一般利用数轴画图，数形结合观察端点是否能重合．

设计意图：通过求解含有参数的集合问题，进一步理解集合的关系，掌握分类讨论思想的思想方法，积累解题的经验．

问题6：你是怎样思考求解习题1.3第6题的？这种题型的特点是什么？根据这样的思路思考下面的例3题．

例3  设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R．如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．

师生活动：学生先独立思考，总结方法：已知两个集合间的运算，再根据运算结果得出集合间的关系．然后分享交流，教师适时引导．

预设的答案：

解：∵A＝{x}x2＋8x＝0}＝{0，－8}，A∩B＝B，

∴B⊆A．

当B＝时，方程x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0无解，

即Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＜0，得a＜－2．

当B＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式

Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＝0，得a＝－2．

将a＝－2代入方程，

解得x＝0，∴B＝{0}满足．

当B＝{0，－8}时，

可得a＝2．

综上可得a＝2或a≤－2．

设计意图：通过A，B运算的结果等价转化为A，B之间的关系，列出关于m的不等式组，解不等式组得到m的取值范围，从而熟练巩固集合间的关系和集合的运算．

追问：例3求解运用了分类讨论的思想．求解集合问题时常见的分类讨论的标准源于哪些知识？

师生活动：学生回顾思考、然后讨论交流、教师适时点拨．

预设的答案：一般考查集合中元素的互异性、空集是任何非空集合的子集、集合的运算或集合间的关系中都会涉及到对参数的讨论．

设计意图：结合例题梳理方法．

三、归纳总结

问题7：本节课你有哪些收获？复习了哪些知识，巩固了哪些方法？

师生活动：学生独立思考，之后交流完善．

答案略．

设计意图：梳理总结，深化理解，形成做题规则．

四、目标检测设计

1．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（　　）

A．0∉M  B．2∈M C．－4∉M  D．4∈M

2．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠且B⊆A，求实数a、b的值．

3．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．

答案：

1．D．

2．当B＝{－1}时，a＝－1，b＝1；当B＝{1}时，a＝b＝1；当B＝{－1，1}时，a＝0，b＝－1．

3．m≥－1．

设计意图：1题考查元素与集合的关系，2题考查集合与集合的关系，3题考查集合的运算．