人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教案

《幂函数》教学设计

1．能从具体情境中抽象出幂函数概念，提升学生的数学抽象素养．

2．了解幂函数的定义，能识别幂函数；能正确画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的图象，描述它们的变化规律，讨论它们的基本性质，提升学生的直观想象和数学抽象素养．

3．能利用函数的单调性定义证明幂函数的单调性，能利用幂函数的单调性比较大小，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

教学重点：5个幂函数的图象与性质．

教学难点：画y＝x3 和 y＝x的图象，通过5个幂函数的图象概括出它们的性质．

用软件制作动画；PPT课件．

一、问题导入

问题1：观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？

（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；

（3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；

（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c＝，这里c是S的函数；

（5）如果某人t s内骑车行进1 km，那么他骑车的平均速度v＝，这里v是t的函数．

师生活动：学生还没有学习指数幂运算，老师可以给出提示：＝S，＝t－1，然后引导学生从解析式的结构特征去思考，发现这5个解析式的共同点．

追问1：你还能举几个相同结构的函数的例子吗？（y＝x0，y＝x4，y＝x－2，y＝x等．）

预设的答案：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量．

教师点拨：一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x为自变量，α为常数．（板书：幂函数）

对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3，，－1时的图象与性质．

设计意图：问题1通过学生熟悉的实际问题引出课题，追问1帮助学生进一步熟悉幂函数的结构特征．

二、新知探究

1．确定研究思路

问题2：（1）对于一类新函数，请你思考我们需要从哪些方面入手去研究？

（2）你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方法吗？

师生活动：学生回忆函数的概念与性质的探究思路，老师在学生回答的基础上补充．

预设的答案：（1）函数的对应关系的表示、定义域、值域、单调性和奇偶性等．（2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．

设计意图：问题（1）帮助学生确立具体的研究目标，问题（2）是帮助学生确立研究方法．

2．幂函数的图象与性质

问题3：请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3 ，y＝x和y＝的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表1内．

表1

师生活动：学生可以顺利画出y＝x，y＝x2和y＝的图象，但是在画y＝x3 和 y＝x的图象时会遇到困难，老师引导学生通过解析式先得到部分性质，比如定义域，奇偶性，甚至是单调性，然后学生再用描点法画图，最后老师借助画图软件作出图象再加以认识．

预设的答案：如图1和表2．

表2

追问1：结合图1和表2，你能总结出这5个幂函数的共性吗？（图象都过点(1，1)，图象都经过第一象限．）

追问2：这5个幂函数的图象均过第一象限，如何确定是否过第二或第三象限？（如果定义域为{x|x≥0}，则不过第二、三象限，比如y＝x；如果定义域包含(－∞，0)，可以结合奇偶性判断，如果为偶函数，则过第二象限，比如y＝x2；如果为奇函数，则过第三象限，比如y＝x和y＝x3．）

追问3：在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？（y＝在(0，＋∞)上单调递减，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近，其余均单调递增．y＝x的图象是一条直线，其余全是曲线，当0＜x＜1时，y＝x的图象位于该直线的上方；当x＞1时，y＝x的图象位于该直线的下方．y＝x2和y＝x3的图象与y＝x的图象的位置关系正好相反（如图2）且当0＜x＜1时，y＝x2的图象位于y＝x3的图象的上方，当x＞1时，y＝x2的图象位于y＝x3的图象的下方（如图3）．）

设计意图：问题3和追问1引导学生体会研究一类函数的方法，其中，让学生先观察函数y＝x3 和 y＝x解析式的特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等进行初步判断，这样可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映函数的特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点．追问2，3，4引导学生体会不同幂函数的“个性”，尤其是体会不同幂函数的变化趋势的差异．

3．定量刻画幂函数的性质

例1  证明幂函数 f(x)＝是增函数．

师生活动：老师引导学生分析证明单调性的方法--定义法，并回忆用定义证明单调性的步骤，学生的难点一般在代数变形上，这里采用分子有理化的方法，老师应给予指导．

预设答案：

证明：函数的定义域是[0，+∞)．

∀x1，x2∈[0，+∞)，且x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝－＝＝．

因为x1－x2＜0，＋＞0，所以f(x1)＜f(x2)，即幂函数f(x)＝是增函数．

设计意图：由于之前幂函数的基本性质是由图象观察得来，本题弥补了由图象归纳性质的不严谨，同时也是对刚刚学习的一般函数单调性定义的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

4．幂函数性质的应用

例2  利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

（1）(－1.5)3，(－1.4)3；     （2），．

师生活动：学生缺乏利用函数的单调性比大小的经验，容易将两个数看成孤立的数值，老师要引导学生用函数的眼光分析问题．

预设答案：

（1）(－1.5)3和(－1.4)3可看作函数y＝x3当x分别取－1.5和－1.4时所对应的两个函数值．y＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，因为－1.5＜－1.4 ，所以(－1.5)3＜(－1.4)3．

（2）和可看作函数y＝当x分别取－1.5和－1.4时所对应的两个函数值.y＝在(－∞，0)上单调递减，因为－1.5＜－1.4 ，所以＞．

设计意图：通过利用幂函数y＝x3和y＝x－1的单调性比较大小，加深对幂函数性质的理解，提升学生的逻辑推理素养．

三、归纳小结，布置作业

问题4：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：

（1）什么是幂函数？你能简单说一说本节课所学的5个幂函数的性质吗？

（2）你能说说幂函数和正比例函数，反比例函数，二次函数的区别和联系吗？

师生活动：师生一起总结．

预设的答案：（1）概念和性质略；

（2）幂函数和正比例函数，反比例函数，二次函数的交集分别是y＝x，y＝，y＝x2，除此之外，别无交集．

设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生更加明确幂函数的定义和常见的5个幂函数的性质．

作业布置：教科书习题3.3第1，2，3题．

四、目标检测设计

1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点（2，），求这个函数的解析式．

设计意图：考查学生对幂函数的定义的理解．

2．根据单调性和奇偶性的定义证明函数f(x)＝x3的单调性和奇偶性．

设计意图：考察对幂函数f(x)＝x3的单调性和奇偶性严格的推理证明，体现了对函数性质的应用．

参考答案：

1．y＝x，x≥0．

2．因为函数f(x)＝x3定义域为R．

∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x) ，

函数f(x)＝x3为奇函数．

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)[x12＋x1x2＋x22]

＝(x1－x2)[x12＋x1x2＋x22＋x22]＝(x1－x2)[(x12＋x2)2＋x22]．

因为x1－x2＜0，(x12＋x2)2＋x22＞0，所以f(x1)＜f(x2)，即幂函数f(x)＝x3是增函数．