高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第1课时教案设计

《诱导公式》教学设计

第一课时

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求角的三角函数值问题．诱导公式中的公式二至公式四的推导过程，使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，本节诱导公式的推导与应用过程使培养学生逻辑推理、数学运算核心素养落到实处．

1．启发学生探索发现诱导公式二至四及其证明；

2．借助单位圆中的对称关系及三角函数定义的应用，培养学生形数结合，归纳转化的思想方法；

3．通过对公式的推导过程，以及通过理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题， 培养学生逻辑推理、数学运算素养．

教学重点：是利用三角函数的定义借助单位圆，特别是观察角的终边的对称性与角的终边上与单位圆的交点的对称性，推导出诱导公式并应用．

教学难点：是相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识．

1． 教学问题：

（1）如何自然地引入诱导公式二至四是一个教学问题，产生这个问题的原因是有两个角度思考：一是代数上看，，与角的终边关系，另一是几何上看两个角的终边关于原点、x轴、y轴对称如何表示，处理这个问题的方法是先从几何上观察、归纳两个角终边对称情况，在结合三角函数定义和单位圆推导三角函数值间的关系；

（2）如何把相关角终边的几何对称关系与诱导公式结构特征对应起来是一个教学问题，处理这个问题主要采取学生归纳不同象限角的情况，再结合单位圆和三角函数定义逻辑推理出诱导公式，然后总结公式的结构特点与角的终边对应关系，此过程强调归纳转化思想和逻辑推理素养；

（3）应用诱导公式解决相关三角函数值的求解、化简、证明等是一个教学问题，处理这个问题主要是引导学生在理解公式的基础上适量典型例题的推演．

2． 教学支持条件：

（1）三角函数的定义、特别是单位圆下三角函数线的应用是本节诱导公式的重要基础，诱导公式一的推导方法也是本节的铺垫．

（2）学生对两个角的终边关于原点、x轴、y轴对称的探究，可以充分利用“智慧课堂”教学系统，及时了解学生思维信息，根据学生的思维状态生成教学过程．也可利用智慧课堂的作业平台，向学生布置课前探究和课后检测，为实现本节课的教学目标创设条件．

【问题1】如何将任意角的三角函数求值转化为角三角函数求值问题？

  【设计意图】复习回顾终边相同的角的同一三角函数值相等，即：公式一的用途：

把求任意角的三角函数值转化为求范围的角的三角函数值问题．

  【预设师生活动】

（1）引导学生完成：求角的正弦、余弦、正切值问题，学生拍照上传解题过程；

（2）引导学生思考：角的三角函数值为什么相等呢？（让学生回到定义去解决问题），学生将思维过程拍照．

【问题2】 两个角的终边特殊的对称关系研究：

1）终边关于原点对称

2）终边关于轴对称

3）终边关于轴对称

【设计意图】 复习旧知，提出问题，调动学生探索问题的积极性．三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此考虑从终边的位置关系提出问题，通过思考问题、解决问题的过程，让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特定位置关系转化为三角函数值之间的关系．

【预设师生活动】（1）引导学生探究：角与角的终边具有什么样的位置关系？学生作图上传展示角在不同象限的情况，并共同得出结论．

（2）引导学生思考：角与角的终边上点的坐标具有什么关系？进而角与角的三角函数值有什么关系？学生拍照上传解答过程与结论．

设，则，由三角函数的定义得：

得诱导公式二：

（3）引导学生总结：我们研究三角函数诱导公式的路线图是怎样的？学生讨论并上传展示结果：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系．

【问题3】思考：，与的三角函数值之间的关系．

【设计意图】从两个角的终边关于原点对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式三和四，并将问题研究方法一般化．

【预设师生活动】（1）引导学生类比公式二探究线路，

1）角与角的终边有什么关系？三角函数值有何关系？

（公式三）

2）角与角的终边有什么关系？三角函数值有何关系？

（公式四）

（2）学生研究并拍照上传推理过程及结论．

（3）教师总结：上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式．

（4）引导学生总结记忆规律： ，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．

概括：函数名不变，符号看象限．

【问题4】 诱导公式的应用研究

例1  利用公式求下列三角函数值：

（1）     （2）     （3）    （4）

【设计意图】这是直接运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．让学生观察题目中的角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题．

【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：

教师概括：负化正，正化小，化到锐角就终了．

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法．

例2　化简：

（1）；（2）．

【设计意图】这是综合运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．

【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳方法：

 [解]　（1）＝＝＝＝1．

（2）原式＝

＝＝＝－1．

【问题5】 课堂小结，提高认识

【设计意图】引导学生对本课内容进行归纳小结，深刻领会诱导公式的实质与作用．

【预设师生活动】引导学生从知识方法、思维思想进行总结，学生讨论，共同归纳：

1）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法．

2）三个诱导公式的记忆：函数名不变；看成锐角，符号看象限．

3）三个诱导公式的作用

4）求任意角的三角函数值的步骤为：负化正，正化小，化到锐角就终了．

习题检测

【检测1】课本对应练习；

【检测2】思考：角的终边与有什么关系？它们的三角函数值有何关系？

【检测3】请完成本节对应的同步练习