人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第2课时教学设计

《诱导公式》教学设计

第二课时

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求角的三角函数值问题．诱导公式中的公式五的推导过程，使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，而公式六的推导过程，使学生能用已有公式二至五，运用角的变换进行演绎推演，使培养学生逻辑推理、数学运算核心素养落到实处．

1．在诱导公式二至四推导方法的基础上，启发学生探索发现诱导公式五并能借助公式推演得到公式六；

2．借助单位圆中的对称关系及三角函数定义的应用，培养学生形数结合，归纳转化的思想方法；同时借助公式的结构特点培养学生从未知到已知、复杂到简单的化归思想；

3．通过对公式的推导过程，以及通过理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题， 培养学生逻辑推理、数学运算素养．

教学重点： 诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用；

教学难点： 发现终边与角的终边关于直线对称的角与之间的数量关系．

1． 教学问题：

（1）如何把角终边关于直线对称的角的终边几何对称关系与角的数量关系对应起来是一个教学问题，处理这个问题主要利用信息技术，引导学生归纳不同象限角的情况，再以第一象限角为例发现角的关系，此过程强调归纳转化思想和逻辑推理素养；

（2）应用诱导公式解决相关三角函数值的求解、化简、证明等是一个教学问题，处理这个问题主要是引导学生在理解公式的基础上适量典型例题的推演．

2． 教学支持条件

（1）诱导公式一至四推导方法和公式本身是本节诱导公式的重要基础和铺垫．

（2）充分利用“智慧课堂”教学系统，及时了解学生思维信息，根据学生的思维状态生成教学过程，充分利用智慧课堂的作业平台，及时反馈检测信息．

【问题1】上节课学习了三角函数的诱导公式二到公式四，大家还记得是哪几个公式吗？

  【设计意图】复习回顾三角函数的诱导公式二到公式四，让学生进一步体会这几个公式分别体现了，，与角之间的关系：

  【预设师生活动】

（1）引导学生回想公式记忆规律，同时上传公式二至四；

（2）引导学生回想公式推导方法，同时上传单位圆几何图示（两个角的终边特殊的对称关系：1）终边关于原点对称；2）终边关于轴对称；3）终边关于轴对称）

【问题2】能画出角关于直线对称的角的终边吗？与角关于直线对称的角怎样表示？这两个角的终边上点的坐标具有什么关系？

【设计意图】 在问题1的基础上，提出问题，调动学生探索问题的积极性．让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特定位置关系转化为三角函数值之间的关系．

【预设师生活动】（1）引导学生探究：角在不同象限关于直线对称的角的终边情况；归纳讨论出角关于直线对称的角的终边是；要求学生作图上传展示角在第一象限的情况，并共同得出点的坐标的关系．

（2）引导学生思考：角关于直线对称的角的终边是上点的坐标关系已知，角与的三角函数值有什么关系？学生拍照上传解答过程与结论．

设，则，有三角函数的定义得：

得诱导公式五：

【问题3】能否用已有公式得出的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式？能否用公式五的方法推导出以上关系式？

【设计意图】引导学生从公式的适用条件（任意角）出发，根据角的结构特点，构造特殊性解决问题，体会演绎推理的过程，培养了逻辑推理素养；另外两个角的终边看成两次对称，再利用点的坐标关系得出三角函数值的关系，进一步体会形数结合思想．

【预设师生活动】（1）学生讨论并将推演结果上传（可能不同作法）：

    （公式六）

2）引导学生尝试把角与角终边看成两次对称，研究点的坐标关系推导出公式六，学生上传推导过程和方法．

角终边与单位圆交点，则终边与单位圆交点，又的终边与的终边关于轴对称，故终边与单位圆交点，于是

（公式六）

【问题4】你能总结公式五与六的记忆规律吗？你能概况公式五与六的研究思路吗？

【设计意图】引导学生学习概括，逐步养成自我总结规律，反思数学思想方法的习惯．

【预设师生活动】学生讨论概括，教师再总结：上面的公式五与六也称为三角函数的诱导公式；记忆规律： 的三角函数值，等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．概括：函数名变余，符号看象限．

【问题5】 诱导公式的应用研究

例1

 （1）求证：

（2）化简：

【设计意图】这是三角函数值的证明与化简，需要综合运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到准确、熟练、灵活应用．

【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳应用诱导公式的注意事项．

例2　已知f（α）＝．

（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos＝，求f（α）的值．

【设计意图】这是综合运用诱导公式和同角公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．

【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳方法：

 [解]　 （1）f（α）＝

＝＝－cos α．

（2）因为cos＝－sin α，所以sin α＝－，

又α是第三象限角，所以cos α＝－＝－．  所以f（α）＝．

【问题6】 课堂小结，提高认识

【设计意图】引导学生对本课内容进行归纳小结，同时对六个诱导公式进一步概括．

【预设师生活动】引导学生从知识方法、思维思想进行总结，学生讨论，共同归纳：

（1）诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．

（2）这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α（k∈Z）”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的互余三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．

（3）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法．

习题检测

【检测1】课本对应习题．

【检测2】请完成本节对应的同步练习．