数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数教学设计

《无理数指数幂及其运算性质》教学设计

1．通过类比无理数的形成过程，理解无理数指数幂的意义．

2．掌握无理数指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．

教学重点：实数指数幂的运算及其性质．

教学难点：对无理数指数幂的理解，用有理数指数幂逼近无理数指数幂．

PPT课件，计算器，GGB课件．

（一）新知探究

1．提出问题，引发思考

问题1：上节课我们将(a＞0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数．那么，当指数x是无理数时，还有没有意义？如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．

师生活动：学生分组讨论交流．

设计意图：明确本节课研究的重点，激发学生的探究欲望．

追问1：在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回忆初中时，是如何确定无理数的大小的？

师生活动：学生回答，教师进行补充讲解．

预设的答案：初中时，我们发现的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是，以此来逐渐逼近的精确值．

设计意图：类比无理数的发现和确定过程，为研究无理数指数幂提供方法上的支持．

追问2：类似的，我们也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．你能设计一个方案来解释无理数指数幂的意义吗？

师生活动：学生讨论交流，然后提出方案，由教师进行补充和完善，最后予以实施．

预设的答案：根据的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），利用计算工具计算相应的，的近似值，并填入表1．

表1

设计意图：用表格展示数据，呈现具体的数值，定性地研究问题，从数的角度认识到是一个确定的实数．

追问3：通过表1可以看出，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．那么这个逐渐逼近的过程在数轴上是怎么体现的呢？请同学们将上表中不同的和的值画到数轴的对应位置上．

师生活动：学生自行完成，等学生完成后，教师展示GGB动态演示．

预设的答案：教师展示GGB课件“4.1指数第二课时-数轴显示有理数指数幂逼近无理数指数幂”，并演示动画效果．教师可以将图象逐步放大，直观展示上述逼近过程．

设计意图：用数轴表示数值，可以从宏观、整体上把握变化的趋势，定量地研究问题，从形的角度认识到是一个确定的实数．利用GGB动画演示，加深学生对于无理数指数幂的理解，达到提升学生直观想象核心素养的目的．

追问4：参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？

师生活动：学生自行完成．

设计意图：进一步通过以有理数逼近无理数的方法，学生体会其中蕴含的极限思想．

2．归纳类比，形成定义

教师讲解：一般地，无理数指数幂(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数．这样，我们就将指数幂(a＞0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．

应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a＞0这个条件．这是因为，在实数范围内，只有正数的任何实数次幂才有意义．如果这里的底数a=0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果这里的底数a＜0，那么指数就不能为(其中n为整数)，否则仍然没有意义．因此我们限定a＞0这个条件．

设计意图：明确实数指数幂的定义和意义．强调底数a＞0，保证后续的指数函数y=对任意实数x都有意义，为后续的课程作铺垫．

问题2：明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？

师生活动：学生展开讨论，个别提问回答，教师归纳讲解．

预设的答案：

教师讲解：有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质．

（1）；

（2）；

（3）．

对于实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明．请同学们课后自行完成．

设计意图：学生进行充分的思考，并互相讨论交流后，教师再进行归纳讲解，使得对实数指数幂的运算性质的印象更加深刻．

3．初步应用，深化理解

例：计算下列各式（式中字母均是正数）

（1）；    （2）；    （3）．

师生活动：学生独立完成后展示交流，教师予以纠错并规范．

预设的答案：

解：（1）；

（2）；

（3）．

追问：这些题目的求解过程与我们上节课的例4的求解有哪些异同？

预设的答案：例4中的指数都为有理数，本题的指数都为无理数，但是它们的运算过程是一致的，都是按照实数指数幂的运算性质进行的．

设计意图：巩固无理数指数幂的运算性质，并理解所有实数指数幂的运算性质是一样的．

（二）归纳小结，布置作业

问题3：回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些特点？

师生活动：学生讨论交流后回答，教师补充完善．

预设的答案：（1）在将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的过程中，我们经历了从“不足近似值”和“过剩近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程．然后在数轴上表示这些“不足近似值”和“过剩近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂．

（2）实数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到实数后，其运算性质保持不变．其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的．

设计意图：（1）学生通过总结本节课上将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的过程，体会其中的极限思想，进而加深理解无理数指数幂．

（2）加深对实数指数幂的运算性质的理解．再次体会在数学中，引进一个新的概念或法则时，总是希望它与已有的概念或法则相容的这种思想．为以后的数学概念的拓展，在思想上和方法上奠定基础．

作业布置：教科书习题．

（三）目标检测设计

1．计算下列各式：

（1）；        （2）．

设计意图：检测实数指数幂的运算性质．

2．利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：

（1）x取负实数，使得|x|的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的(x∈R)的值，观察变化趋势．

（2）x取正实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的（x∈R）的值，观察变化趋势．

设计意图：体会本节课中的极限思想，并为后续的指数函数y=的研究作铺垫．

参考答案：

1．（1）64m3；        （2）1．

2．（1）x取负实数，使得|x|的值逐渐增大并趋向于无穷大，相应的指数幂的值也逐渐减小，并趋向于0．

（2）x取正实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大，相应的指数幂的值逐渐减小，并趋向于0．