高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数教学设计

《对数函数的概念》教学设计

1．通过对具有现实背景的具体实例的分析，经历数学推理的过程，了解对数函数刻画的变化规律的特征，理解对数函数的概念．

2．结合对数函数概念的形成过程，进一步体会研究具体的一类函数的过程和方法，提升数学抽象的核心素养．

教学重点：对数函数的概念．

教学难点：由指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)，推理得到对数函数概念的过程．

PPT课件，计算器，GGB课件．

（一）整体感知，明确任务

引导语：在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．

设计意图：明确本节课研究的内容，以及和前面课程的关系．

（二）新知探究

1．研究具体问题，进行数学推理

问题1：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数．进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？你能设计一个方案来研究这个问题吗？

师生活动：学生讨论交流，然后提出方案，由教师进行补充和完善．

预设的答案：要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是否符合函数的定义．在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断．

设计意图：从另一个角度继续研究碳14衰减的问题，让学生感受到对数函数的实际背景，并建立与指数函数的联系，从而更好地理解对数函数．培养学生在解决一个数学问题时，首先应当做有条理的思考，然后制定方案，最后再实施，而不是盲目的乱做．

追问1：解决这个问题，显然要依据函数的定义．那么依据定义应该怎样进行判断呢？

师生活动：教师引导学生先回忆函数的定义，然后确定判断方法．

预设的答案：函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．

所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y∈(0，1]，是否都有唯一确定的数x和它对应．

设计意图：与通过抽象概括出指数函数的概念不同，这里是希望通过演绎推理得到对数函数的概念，因此就必须要有演绎推理的理论依据．

追问2：若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如图1，观察的图象，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)（0＜y0≤1）作x轴的平行线，结合指数函数的单调性，这条平行线与的图象有几个交点？这说明对任意一个y∈(0，1]，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？

师生活动：先由学生按照追问1确定的办法进行分析，教师可以展示GGB课件“4.4对数函数第一课时-平行于x轴的直线与指数函数图象的交点”，并演示动画效果．学生结合图象和指数函数的单调性，推理得出结论，教师予以补充完善．

预设的答案：从图象上看，这条平行于x轴的直线，与的图象至少有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数为减函数，所以这个交点是唯一的交点．这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳14的含量为y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间x0．这说明对任意一个y∈(0，1]，在[0，+∞)上都有唯一确定的数x和它对应．所以x也是y的函数．

设计意图：可以让学生先从图象上获得直观认识，然后回到函数的定义，帮助学生深入理解对数函数的概念．

追问3：能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？

师生活动：学生独立完成，个别提问回答．

预设的答案：根据指数与对数的运算关系，可以将这种对应关系，改写为．习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，于是就得到函数，它刻画了时间y随碳14含量x的衰减而变化的规律．

设计意图：通过对一个具体实例的分析，得到一个具体的对数函数．为后面得到一般的对数函数作铺垫．

2．演绎推理，形成对数函数的定义

问题2：对一般的指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)，根据指数与对数的运算关系，转换成x=logay (a＞0，且a≠1)，能否将x看成是y的函数？

师生活动：利用解决问题1的经验，先由学生解答这个问题，然后教师予以补充完善．

预设的答案：根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，y=ax单调递减；当a＞1时，y=ax单调递增．所以考虑一般的指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)，对任意一个y∈(0，+∞)，都有唯一确定的数x和它对应．因此，x也是y的函数．

教师讲解：通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将x=logay (a＞0，且a≠1)改写为：y=logax (a＞0，且a≠1)．这就是对数函数．

设计意图：按照问题1的解决方案，分析一般的指数函数，经过演绎推理得到一般的对数函数的解析式．

追问：如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确定其定义域，才能确定下来这个函数．现在我们已经确定了一般的对数函数的解析式为y=logax (a＞0，且a≠1)，那么通过与指数函数对比，你能给出一般的对数函数的定义域吗？

师生活动：学生独立思考，个别提问回答．

预设的答案：根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是(0，+∞)．于是就得到了：

定义：一般地，函数y=logax (a＞0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，+∞)．

设计意图：两个函数如果解析式相同，但定义域不同，那么它们是两个不同的函数．强调函数定义域的重要性，引起学生的重视．在与指数函数对比的基础上，建立关联，得出包含定义域的对数函数的完整定义．

3．初步应用，深化理解

例1  求下列函数的定义域：

（1）y=log3x2；                     （2）y=loga(4-x) (a＞0，且a≠1)．

追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？

师生活动：教师利用追问引导学生思考，学生独立完成后展示交流．

预设的答案：求解的依据是对数函数y=logax (a＞0，且a≠1)的定义域(0，+∞)．那么（1）中的x2和（2）中的(4-x)的取值范围就是(0，+∞)，于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．

解：（1）因为x2＞0，即x≠0，所以函数y=log3x2的定义域是

{x |x≠0}．

（2）因为4-x＞0，即x＜4，所以函数y=loga(4-x)的定义域是

{x |x＜4}．

设计意图：通过求对函数的定义域，进一步理解对数函数定义域的特殊性．在中学阶段，对数函数是为数不多的定义域不是实数集R的函数，这属于一个特殊情况．此前遇到的特殊情况还包括分母不能为0，二次根式的被开放数不能为负数．可以前后形成对比，加深对函数定义域和一些特殊情况的理解．

例2  假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．

（1）该地的物价经过几年后会翻一番？

（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．

师生活动：学生独立完成，教师引导学生，顺着题意，理清思路．

预设的答案：对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换为y关于x的函数．对于（2），利用计算工具，快速填好表格，探索发现，随着x的增长，y的增长在减缓．

解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为

x=(1+5%)y，即x=1.05y (y∈[0，+∞))．

由对数与指数间的关系，可得

y=log1.05x，x∈[1，+∞)．

由计算工具可得，当x=2时，y≈14．

所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．

（2）根据函数y=log1.05x，x∈[1，+∞)，利用计算工具，可得下表：

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小．

设计意图：通过利用对数函数概念解决实际问题，理解对数函数的概念，进一步了解对数函数的实际意义，初步体会对数增长的特点，为后面的课程内容作铺垫．

（三）归纳小结，布置作业

问题3：回顾本节课，谈谈我们是怎么得到对数函数概念的？对数函数的现实背景是什么？

师生活动：学生讨论交流，教师予以完善．

预设的答案：（1）本节课我们先通过4.2.1的问题2中所阐述的实际问题，利用图象上x与y的对应关系，并结合指数函数的单调性，理解x也是y的函数，再利用指数与对数的运算关系依据函数的定义，从交换自变量与函数值“地位”的方向进行研究，得到对数函数的概念．

（2）对数函数与指数函数是密不可分的．对于呈指数增长或衰减变化的问题，我们可以用指数函数进行描述，还可以从对数函数的角度进行描述，从而能够更全面地研究其中蕴含的规律．

设计意图：得到对数函数概念的基本过程，是函数研究的基本路径“背景—概念—图象和性质—应用”中的“背景—概念”环节．通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本方法．

明确对数函数的现实背景，可以使学生明白这类函数区别于其他初等函数的主要特征，为研究对数函数的图象性质和应用奠定基础．

作业布置：教科书习题．

（四）目标检测设计

1．求下列函数的定义域：

（1）；                 （2）；

（3）；                （4） (a＞0，且a≠1)．

设计意图：通过对数函数与分式、绝对值等多种形式的结合，进一步体会对数函数定义域的特殊性，考察学生对其定义域的理解．

2．画出下列函数的图象：

（1）；                    （2）．

设计意图：通过对数函数与指数函数结合，进一步体会对数函数定义域的特殊性，并通过图象直观反映出这种特殊性，考察学生对其定义域的理解．

3．已知集合A={1，2，3，4，…}，集合B={2，4，8，16，…}，下列函数能体现集合A与集合B对应关系的是________．

①；        ②；        ③；        ④．

设计意图：通过列数据的方式，将对数函数、指数函数、一次函数、二次函数进行对比，考察学生对对数函数概念的理解．

参考答案：

1．（1）．  （2）．  （3）．  （4）．

2．（1）图略，定义域为R，图象是一条直线y=x．

（2）图略，定义域为，图象是y=x的直线在第一象限的部分．

3．①，③．