高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数教学设计

《对数函数及其性质》教学设计

本节内容是在学习了指数函数后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数的概念进而学习对数函数．教材的编写中反映了指数函数与对数函数的很多对应关系，为反函数的提出作为铺垫．本本节的重难点是对数函数的定义、图像和性质．解决有关对数函数的问题时，一要注意对数函数的定义域，二要注意底数的取值范围的限制，需要分类讨论时一定要分类讨论．

1．对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质规律． 掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．

2．让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质． 学生通过观察和类比函数图像，体会两种函数的单调性差异．

3．培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力，体会指数函数与对数函数互为反函数，培养学生严谨的科学态度．

【教学重点】

理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质． 理解指数函数与对数函数内在联系．

【教学难点】

底数a对图像的影响及对数函数性质的作用．

回顾指数与指数函数的性质和对数与对数的运算，阅读材料《对数的发明》．

1．设置情境

在2．2．1的例6中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应．同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数．

2．探索新知

    一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．

（2）为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解．

答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．

②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，＞0，所以．

下面我们来研究函数的图像，并通过图像来研究函数的性质：

先完成P81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用电脑软件画出

y

　　　　　０　　　　　　　　　　　　　　x

    注意到：，若点的图像上，则点的图像上． 由于（）与（）关于轴对称，因此，的图像与的图像关于轴对称． 所以，由此我们可以画出的图像．

先由学生自己画出的图像，再由电脑软件画出与的图像．

探究：选取底数＞0，且≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图像．观察图像，你能发现它们有哪些特征吗？

作法：用多媒体再画出，，和

提问：通过函数的图像，你能说出底数与函数图像的关系吗？函数的图像有何特征，性质又如何？

先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质．（投影）

由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：

3．例题讲解

例1   求下列函数的定义域

（1）        （2）      （＞0且≠1）

分析：由对数函数的定义知：＞0；＞0，解出不等式就可求出定义域．

解：（1）因为＞0，即≠0，所以函数的定义域为．

（2）因为＞0，即＜4，所以函数的定义域为＜．

    例2  比较下列各组数中的两个值大小

（1）    

（2）

（3）   （＞0，且≠1）

分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：

（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数的图像．在图像上，横坐标为3、4的点在横坐标为8．5的点的下方：

所以，

解法2：由函数+上是单调增函数，且3．4＜8．5，所以．

解法3：直接用计算器计算得：，

（2）第（2）小题类似

（3）注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小．

解法1：当＞1时，在（0，＋∞）上是增函数，且5．1＜5．9．

所以，

当1时，在（0，＋∞）上是减函数，且5．1＜5．9．

所以，

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，

令   令 则

当＞1时，在R上是增函数，且5．1＜5．9

所以，＜，即＜

当0＜＜1时，在R上是减函数，且5．1＞5．9

所以，＜，即＞

说明：先画图像，由数形结合方法解答

4．课堂练习：

教材对应习题．

5．反函数

探究：在指数函数中，为自变量，为因变量，如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．

引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论．

在指数函数中，是自变量， 是的函数（），而且其在R上是单调递增函数．过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图像有且只有一个交点．由指数式与对数式关系，，即对于每一个，在关系式的作用之下，都有唯一的确定的值和它对应，所以，可以把作为自变量，作为的函数，我们说．

从我们的列表中知道，是同一个函数图像．

引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数．

由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数．

如的反函数，但习惯上，通常以表示自变量，表示函数，对调中的，这样是指数函的反函数．

以后，我们所说的反函数是对调后的函数，如的反函数是．

同理，＞1）的反函数是＞0且．

课堂练习：求下列函数的反函数

（1）         （2）

补充练习

1．已知函数的定义域为[-1，1]，则函数的定义域为     ．

2．求函数的值域．

3．已知＜＜0，按大小顺序排列m， n， 0， 1．

4．已知0＜＜1，  b＞1，  ab＞1．   比较．

6．归纳小结：

（1）对数函数的概念必要性与重要性；

（2）对数函数的性质，列表展现．

（3）反函数．

7．布置作业

教材对应习题．

略．