人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数教学设计及反思

《对数和对数函数习题课》教学设计

1．巩固对数的概念及运算性质．

2．掌握利用对数函数的图象和性质解决问题的方法．

教学重点：对数的运算性质及换底公式．

教学难点：对数函数图象和性质的灵活应用．

PPT课件．

（一）习题讲解

题组一  对数的概念与性质

1．设，，则____________．

2．已知，则____________．

问题1：根据对数的概念，指数式与对数式有怎样的互化关系？根据这种互化关系，以及指数的性质，对于任意的a＞0且a≠1，和分别等于什么？

师生活动：学生回答，教师予以补充．然后学生独立完成解答，最后展示交流．

预设的答案：指数式与对数式的互化关系为，根据这种互化关系可知，，．

1．解：由可得，由可得，所以．

2．解：由题意可知，所以，所以；同理可得，所以．

设计意图：帮助学生巩固对数的概念，掌握指数式与对数式的互化，以及对数的性质．

题组二  对数的运算及应用

3．若，，，则用a，b，c表示____________．

4．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为____________．（素数即质数，，计算结果取整数）

问题2：对数的运算性质有什么特点？换底公式能给对数的运算带来什么便捷之处？

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充．然后学生独立完成解答，最后展示交流．

预设的答案：根据对数的运算性质，可将同底的两个对数的和（差），与积（商）的对数进行互相转化，并且还可以将同底数的对数凑成特殊值，如利用进行计算或化简．利用换底公式，可将任意底的对数计算，都转化为常用对数和自然对数的计算．

3．解：

．

4．解：．

设计意图：检测学生对对数的运算性质和换底公式的掌握．

题组三  对数函数的概念及应用

5．函数的定义域为____________．

6．某企业2019年全年投入研发资金1亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是____________．（参考数据：，，）

问题3：求对数型函数的定义域时应注意什么？

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充．然后学生独立完成解答，最后展示交流．

预设的答案：求对数型函数的定义域时，应当注意：①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负；③对数的真数大于0，底数大于0且不为1．

5．解：因为，所以，解得且，所以函数的定义域为{x|且}．

6．解：设从2019年后的第x年该企业全年投入的研发资金为y亿元，则根据题意有．将代入有，所以

．

所以在2019年后的第4年，也就是2023年，该企业全年投入的研发资金开始超过亿元．

设计意图：检测学生对对数函数的基本概念，包括与指数函数的关系、定义域、值域等的掌握．

题组四  对数函数图象和性质的应用

7．（a＞0且a≠1）恒过定点，则的值为____________．

8．在同一直角坐标系中，函数，（a＞0且a≠1）的图象可能是（   ）

9．已知：，，，则下列结论正确的是（    ）

A．      B．

C．      C．

10．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I（单位：瓦/平方米）有关．在实际测量时，常用L（单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：（a是常数），其中瓦/平方米．如风吹落叶沙沙声的强度瓦/平方米，它的强弱等级分贝．

（1）已知生活中几种声音的强度如表：

求a和m的值．

（2）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．

问题4：我们在研究对数函数的图象和性质时，研究了它的哪些性质？

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充．然后学生讨论交流，完成试题的解答，最后展示交流．

预设的答案：我们研究了对数函数的定义域、值域、单调性，并且还发现了对数函数恒过定点．

7．解：由于对数函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点，所以（a＞0且a≠1）的图象可以看成是由对数函数的图象先向左平移m个单位变成，此时的图象恒过点．然后再向上平移1个单位变成，此时的图象恒过点．由于的图象恒过点，所以，，则．

也可以考虑，对数函数（a＞0且a≠1）之所以恒过定点，是因为对于任意的a＞0且a≠1，都有．所以对于函数，令，可得，即，，所以所以，，则．

8．解：易知函数和（a＞0且a≠1）分别恒过定点和，因此只有B和D有可能正确．再分别考虑当0＜a＜1和a＞1的情况：当0＜a＜1时，为增函数，为减函数，选项D符合；当a＞1时，为减函数，为增函数，没有符合的选项．所以答案为D．

9．解：因为对数函数在其定义域上是增函数，所以且．因为指数函数在其定义域上是增函数，所以．因为在其定义域上是增函数，所以．综上，，即，答案为D．

10．解：（1）将，，代入，得

，

即，所以．

（2）由题意得，得，得，即，也即．所以此时声音强度I的最大值为瓦/平方米．

设计意图：检测学生对对数函数的图象和性质的掌握，以及利用对数函数的图象和性质解决问题的能力．

题组五  不同函数的增长差异

11．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表：

则x，y最合适的函数是（    ）

A．       B．

C．      D．

12．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是____________．

①； ②； ③； ④．

13．当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器（设单位时间内流入的溶液量相同）时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．

问题5：线性函数、指数函数、对数函数、幂函数，这几种函数模型的增长有什么特点？不同的具体问题在选取函数模型时的依据是什么？

师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．然后学生独立完成试题的解答，最后展示交流．

预设的答案：线性函数的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数函数的增长特点是增长速度越来越快；对数函数的增长特点是增长速度越来越慢；幂函数的增长速度介于指数函数和对数函数之间．不同的具体问题在选取函数模型时，主要依据函数的增长速度，再利用相关的数据辅助验证．

11．解：观察数据发现，随着x的增大，y的增长速度越来越慢，只有D选项符合．将表中数据代入验证，数据基本相符．所以选D．

12．解：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．

13．解：A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与（4）对应；B容器为球形，溶液高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故溶液高度的变化为C容器快，与（3）对应，D容器慢，与（2）对应．

设计意图：检测学生对不同类型函数的增长差异的掌握．

（二）归纳小结

问题6：在解决有关对数型函数的定义域问题，以及对数型复合函数的问题时，需要注意什么？在解决对数型复合函数的问题时，当底数a的范围没有明确时，需要注意什么？

师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充完善．

预设的答案：在解决有关对数型函数的定义域问题，以及对数型复合函数的问题时，一定要注意底数和真数范围的限制．要求底数大于0且不等于1，真数大于0．

在解决对数型复合函数的问题时，当底数a的范围没有明确时，必须分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．

设计意图：巩固复习对数运算及对数型函数对底数和真数的要求．