高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数教学设计

《指数函数的图象和性质》教学设计

1．能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象，探索并了解指数函数的单调性与特殊点．

2．结合指数函数图象与性质的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升直观想象核心素养．

教学重点：指数函数的图象和性质．

教学难点：根据图象，抽象概括出指数函数的性质，以及对指数函数性质的理解．

PPT课件，计算器，GGB课件．

（一）整体感知，明确任务

引导语：对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用．根据我们在第三章研究幂函数的经验思考：如何研究一个函数的性质？研究一个函数的性质主要是研究哪些方面？

师生活动：教师引导学生类比研究幂函数的学习，提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容．

预设的答案：研究指数函数的图象和性质，首先要作出函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象．按照函数研究的一般过程，需要研究指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，以及其特有的一些性质．

设计意图：通过回顾以往研究幂函数图象和性质的方法和内容，提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容，明确本节课研究的重点，并引出问题1．

（二）新知探究

1．研究指数函数的图象和性质

问题1：首先画出指数函数的图象，我们先从简单的函数y=2x开始．请同学们利用计算器完成x，y的对应值表1，并用描点法画出函数y=2x的图象．

师生活动：学生独立完成后展示交流，全班师生形成共识即可．

预设的答案：完成的表1，和画出的函数y=2x的图象（图1）如下．

表1

设计意图：从一个具体的简单的指数函数开始进行研究，巩固描点法，为后续的研究作好铺垫．

问题2：为了得到指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察．用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数的图象，并与函数y=2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y=2x的图象，画出函数的图象？

师生活动：学生先用描点法画出函数的图象，通过观察作出猜想．然后教师引导学生从指数的运算性质考虑分析．

预设的答案：因为，点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数y=2x的图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(-x，y)都在函数的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y=2x的图象，画出的图象．如图2所示．

设计意图：通过探究，学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象，并从中学习用联系的观点看问题，以及通过逻辑推理获得数学结论的思维方式．另外，这样探究还便于将指数函数y=ax分为0＜a＜1和a＞1两类，从而分别对两类图象的共同特点进行归纳．

问题3：选取底数a（a＞0，且a≠1）的若干个不同的值，例如，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等．

师生活动：在已经画出y=2x和图象的基础上，学生利用计算器可以画出这些函数的图象．教师也可以展示GGB课件“4.2指数函数第二课时-不同底数的指数函数图象”，并演示动画效果，得到a取任意值时函数y=ax的大量图象．学生根据这些图象直观地归纳出它们的共同特点，教师予以补充完善，并引导学生进行规范：要将指数函数y=ax分为0＜a＜1和a＞1两类进行讨论．

预设的答案：选取底数a的若干值，例如，利用信息技术画出图象，如图3．发现指数函数y=ax的图象按底数a的取值，可分为0＜a＜1和a＞1两种类型．因此指数函数的性质也可以分0＜a＜1和a＞1两种情况进行研究，设计的表格如表2．

表2

设计意图：利用GGB动画演示能便捷地做出大量图象，易于归纳，底数a的取值自然地变化，所作函数的图象也自然地产生了，而非事先规定的．在此过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为函数性质，达到提升学生直观想象核心素养的目的．

2．指数函数的应用

例3  比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.72.5，1.73；      （2），；      （3）1.70.3，0.93.1．

师生活动：学生独立完成后展示交流．师生总结求解要点：每一组中的两个值都可以看作某个指数函数的函数值，从而利用指数函数的单调性进行比较．对于（1）（2），两个值可以看作同一个指数函数的两个函数值，直接利用其单调性进行比较．对于（3）1.70.3和0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值．可以利用函数y=1.7x和y=0.9x的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来．

预设的答案：

解：（1）1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．因为底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x是增函数．因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73．

（2）同（1）理，因为0＜0.8＜1，所以指数函数y=0.8x是减函数．因为，所以．

（3）由指数函数的特性知1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，所以1.70.3＞0.93.1．

设计意图：利用指数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的指数函数．学生能够进一步熟悉指数函数的性质，并形成用函数观点解决问题的意识．

例4  如图4，某城市人口呈指数增长．

（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；

（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？

师生活动：首先由教师引导学生对问题进行分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期；（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．然后由学生独立完成后展示交流．

预设的答案：

解：（1）观察图4，发现该城市人口经过20年约为10万，经过40年约为20万，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．

（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从20万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．

设计意图：利用指数函数的图象分析和解决问题，建立函数图象与概念、性质的联系，进一步促使学生形成用函数观点解决问题的意识．

（三）归纳小结，布置作业

问题4：本节课研究指数函数的图象和性质的方法是什么？从哪几方面概括了指数函数的性质？分别是什么？

师生活动：先让学生进行思考并做适当交流，再让学生发言，教师予以补充完善．

预设的答案：本节课选取了大量不同的底数a，在同一直角坐标系中画出相应的指数函数图象，通过观察，并结合函数的解析式，分析得到指数函数的图象特点及函数性质．从定义域、值域、定点、单调性和奇偶性，概括了指数函数的性质．具体性质略．

设计意图：研究一个函数的图象和性质，是研究函数的基本过程“背景—概念—图象和性质—应用”中的“图象和性质”环节，通过不断强化这一研究过程的方法，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本方法．同时强调根据图象概括函数的性质时，应该关注哪几方面．

作业布置：教科书习题．

（四）目标检测设计

1．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系．

设计意图：通过底数互为倒数的两个指数函数的关系，进一步熟悉指数函数的图象和性质．

2．比较下列各题中两个值的大小：

（1），；      （2）0.3-3.5，0.3-2.3；      （3）1.20.5，0.51.2．

设计意图：利用指数函数的单调性比较两个数的大小，进一步熟悉指数函数的性质．

3．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图．

设计意图：利用图象体现实际问题的变化规律，建立与指数函数的概念、性质的联系．

参考答案：

1．图象已在前面问题3中给出，此处略去．函数和的图象关于y轴对称．

2．（1）．      （2）0.3-3.5＞0.3-2.3．      （3）1.20.5＞0.51.2．

3．可用指数函数来刻画体内癌细胞数量S随时间t变化的规律，其中初始量，增长比例a＞1，t≥0．图略．