新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的单调性与最值课件

展开

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的单调性与最值课件，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，上升的，下降的，增函数或减函数，区间D，知识点二函数的最值，fx≤M，fx0＝M等内容，欢迎下载使用。

第二讲　函数的单调性与最值
知识梳理 · 双基自测
知识点一　函数的单调性1．单调函数的定义
f(x1)f(x1)>f(x2)
2.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是_________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_________叫做函数y＝f(x)的单调区间．
1．复合函数的单调性函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．
2．单调性定义的等价形式设任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2.
3．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(2)若f(x)、g(x)均为区间A上的单调函数，f(x)增，g(x)减，则f(x)－g(x)增，g(x)－f(x)减．(3)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同，若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(4)函数y＝f(x)在定义域内与y＝－f(x)单调性相反．
题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)[解析]　(1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)f(x2)，而不是区间上的两个特殊值．(2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在[1，＋∞)上是增函数，但它的单调递增区间是R，而不是[1，＋∞)．(3)y′＝(x＋1)ex，因此y＝xex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，增函数的积、商不一定具备单调性．(4)多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．
题组二　走进教材2．(必修1P85习题T1改编)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________________________.
[－1,1]和[5,7]
3．(必修1P86T3改编)若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( 　　)A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[解析]　函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，解得m>3.
题组三　走向高考6．(2021·全国甲，4)下列函数中是增函数的为( 　　)
[解析]　排除法，利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项．对于f(x)＝－x，由正比例函数的性质可知，f(x)是减函数，故A不符合题意；
7．(2020·新高考Ⅱ，7)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( 　　)A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
考点突破 · 互动探究
考向1　函数单调性的判断与证明——自主练透 (1)(多选题)(2023·广东省名校联考改编)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论中不正确的是( )
②解法一：设1思维升华　确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
考向2　求函数的单调区间——师生共研求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
[分析] (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；(2)复合函数求解；(3)导数法．
[解析]　(1)解法一：(图象法)
解法二：(化为分段函数求解)
解法三：(复合函数法)函数由y＝－u2＋2u＋3(u≥0)和u＝|x|复合而成，y＝－u2＋2u＋3(u≥0)的对称轴为u＝1，由|x|＝1得x＝±1.
∴f(x)在增区间为(－∞，－1)，(0,1)，减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增区间为___________________.[解析]　作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的图象，由图可知所求增区间为(－1,1)和(3，＋∞)．[引申2]本例(2)f(x)＝lg2(－x2＋4x＋5)的增区间为_______________.
(－1,1)和(3，＋∞)
求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
注意：(1)求函数单调区间，定义域优先．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
〔变式训练1〕(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( 　　)
(2)(2023·沧州七校联考)函数f(x)＝lg0.5(x＋1)＋lg0.5(x－3)的单调递减区间是( 　　)A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)(3)函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是_______________.
令t＝(x＋1)(x－3)，则函数t在区间(3，＋∞)上单调递增．又0<0.5<1，∴f(x)在区间(3，＋∞)上单调递减．(3)由已知得a－1>0，∴a>1，∴g(x)＝a|x－2|减区间为q(x)＝|x－2|减区间，(－∞，2]，故填(－∞，2]．
考向3　函数单调性的应用——多维探究角度1　利用函数的单调性比较大小
角度2　利用单调性求最值
角度3　利用单调性解不等式 (1)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________________.
角度4　利用单调性求参数的取值范围 (1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)[解析]　(1)由题意可得1>1－a>a2－1>－1，
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．
〔变式训练2〕(1)(角度1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( 　　)A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)[解析]　(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．故选A.
(4)设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝lgau在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，∴2－a×1>0，得a<2.综上得1利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
名师讲坛 · 素养提升
(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．
[解析]　(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：对任意x1，x2∈R，不妨设x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，所以f(x)在R上是减函数．
(3)由(2)知，所求函数在[－3,6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．因为f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－[2f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.所以f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.

相关课件更多