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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第7章立体几何第6讲空间向量的应用课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第7章立体几何第6讲空间向量的应用课件，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究等内容，欢迎下载使用。
第六讲 空间向量的应用
知识梳理 · 双基自测
知识点一 两个重要的向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有_________个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有_________个，它们是共线向量．
知识点二 空间位置关系的向量表示
知识点三 两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cs φ ＝|cs θ|＝_________(其中φ为异面直线a，b所成的角)．知识点四 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平 面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cs θ|＝_________.
知识点五 求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝______________.
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向 量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝______，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( )
题组二 走进教材2．(选择性必修1P20例2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角是_____.
3．(选择性必修1P44T13)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为 CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为_________，AD1与平面AEC1所 成角的余弦值为_________.
题组三 走向高考4．(2019·浙江卷节选)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC、A1B1的中点．证明：EF⊥BC.
[证明] 证法一：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz.
证法二：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°， 故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.
5．(2022·新高考Ⅱ)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值．
[解析] (1)证法一：连接OA，依题意，OP⊥平面ABC，又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB，延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC；
证法二：取AB的中点F，连OF，EF，∵PA＝PB，∴AB⊥PF，又OP⊥平面ABC，AB⊂平面ABC.∴AB⊥PO，从而AB⊥平面POF，∴AB⊥OF，又AB⊥AC，∴OF∥AC.又AC⊂平面PAC，OF⊄平面PAC.
∴OF∥平面PAC，又E为PB的中点，∴EF∥AP，又AP⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC，从而平面EOF∥平面PAC，∴OE∥平面PAC.
考点突破 · 互动探究
(2023·山东青岛胶州实验学校期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．(1)求证：PA⊥BD；(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC∥平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EH⊥AD，
(1)建立空间直角坐标系时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标．(2)用向量法证平行问题的类型及常用方法
(3)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
〔变式训练1〕如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD.[证明] 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．设BA＝a，则A(a,0,0)，
[引申]本例中，若M，N分别为BC，AD的中点，则AM与CN所成角 的余弦值为_________.
(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；
角度2 向量法求线面角 (2022·浙江高考真题)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点．(1)证明：FN⊥AD；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．
[解析] (1)证明：过点E、D分别作直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H.∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，
∴DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F－DC－B的平面角，则∠BCF＝60°，∴△BCF是正三角形，由DC⊂平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，∵N是BC的中点，∴FN⊥BC，∴FN⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，∴FN⊥AD.
(2)因为FN⊥平面ABCD，过点N作AB平行线NK，所以以点N为原点，NK，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N－xyz，
角度3 向量法求二面角 (2023·广西北海模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，E为AA1的中点，F为BC的中点．
(1)证明：EF∥平面A1BC1；(2)若AC＝BC＝CC1＝2，求平面A1BC1与平面AEF所成二面角的正弦值．
∴OF∥A1E，且A1E＝OF，∴四边形OFEA1是平行四边形，∴EF∥OA1，∵EF⊄平面A1BC1，A1O⊂平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1.
(2)由AC，BC，CC1两两垂直，以点C为坐标原点，AC，BC，CC1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
2．找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
(2021·山东泰安市月考节选)如图，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，CD∥AB，CD＝3AB＝3AD＝3，△PAD为正三角形，E，F，G分别在线段BC，CD，AP上，DF＝2FC，BE＝2EC，PG＝2GA.证明：平面GBD∥平面PEF.
(3)(角度3)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.①求BC；②求二面角A－PM－B的正弦值．
(2)①证明：取BC中点O，连接MO，因为MB＝MC，所以MO⊥BC，因为平面MBC⊥平面ABC，因为平面MBC∩平面ABC＝BC，MO⊂平面MBC，所以OM⊥平面ABC，如图建立空间直角坐标系，
(3)①解法一(坐标向量法)：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
[证明] ∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.
(1)证明：CF⊥平面ABD；(2)求点D到平面QCF的距离．[解析] (1)证明：∵AB⊥平面BCD，CF⊂平面BCD，∴CF⊥AB，又BC＝CD，F为BD的中点，∴CF⊥BD.又AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CF⊥平面ABD.
求点到平面距离常用的方法(1)定义法：通过求点P到平面垂线段的长求得点到平面的距离．
(1)求证：平面BMC1⊥平面A1BC1；(2)求点C到平面A1BC1的距离．
因为AB＝BC，M为线段AC的中点，所以AC⊥BM.又因为C1M∩BM＝M，所以AC⊥平面BMC1.又因为AC∥A1C1，所以A1C1⊥平面BMC1.又A1C1⊂平面A1BC1，所以平面BMC1⊥平面A1BC1.
(2)因为平面A1ACC1⊥平面ABC，交线是AC，且C1M⊥AC，所以C1M⊥平面ABC.以M为原点，MB，MC，MC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
名师讲坛 · 素养提升
利用向量法解答立体几何中的探究型问题
[解析] (1)证明：延长BA，CD相交于点E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l.证明如下：由平面SAB⊥平面ABCD，BA⊥AD，AD⊂平面ABCD，且平面SAB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面SAB，又由AD∥BC，所以BC⊥平面SAB，因为SE⊂平面SAB，所以BC⊥SE，所以BC⊥l.
(2)由(1)知：SA⊥AB，AD⊥AB，SA⊥AD，以A为坐标原点，以AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
1．向量法求解探索性问题的策略(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解、是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．根据解得情况作出回答．
2．翻折问题的解题策略(1)确定翻折前后变与不变的关系．画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
(2)确定翻折后关键点的位置．所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算．
[解析] (1)证明：取AE的中点为G，连接MG，BG，∵M是ED的中点，AD＝2BC，∴MG是△ADE的中位线，∴MG∥AD∥BC且MG＝BC，所以四边形MGBC为平行四边形，∴CM∥BG，
因为CM⊄平面ABE，BG⊂平面ABE，所以CM∥平面ABE.
第六讲 空间向量的应用
知识梳理 · 双基自测
知识点一 两个重要的向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有_________个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有_________个，它们是共线向量．
知识点二 空间位置关系的向量表示
知识点三 两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cs φ ＝|cs θ|＝_________(其中φ为异面直线a，b所成的角)．知识点四 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平 面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cs θ|＝_________.
知识点五 求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝______________.
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向 量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝______，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( )
题组二 走进教材2．(选择性必修1P20例2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角是_____.
3．(选择性必修1P44T13)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为 CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为_________，AD1与平面AEC1所 成角的余弦值为_________.
题组三 走向高考4．(2019·浙江卷节选)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC、A1B1的中点．证明：EF⊥BC.
[证明] 证法一：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz.
证法二：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°， 故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.
5．(2022·新高考Ⅱ)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值．
[解析] (1)证法一：连接OA，依题意，OP⊥平面ABC，又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB，延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC；
证法二：取AB的中点F，连OF，EF，∵PA＝PB，∴AB⊥PF，又OP⊥平面ABC，AB⊂平面ABC.∴AB⊥PO，从而AB⊥平面POF，∴AB⊥OF，又AB⊥AC，∴OF∥AC.又AC⊂平面PAC，OF⊄平面PAC.
∴OF∥平面PAC，又E为PB的中点，∴EF∥AP，又AP⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC，从而平面EOF∥平面PAC，∴OE∥平面PAC.
考点突破 · 互动探究
(2023·山东青岛胶州实验学校期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．(1)求证：PA⊥BD；(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC∥平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EH⊥AD，
(1)建立空间直角坐标系时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标．(2)用向量法证平行问题的类型及常用方法
(3)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
〔变式训练1〕如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD.[证明] 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．设BA＝a，则A(a,0,0)，
[引申]本例中，若M，N分别为BC，AD的中点，则AM与CN所成角 的余弦值为_________.
(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；
角度2 向量法求线面角 (2022·浙江高考真题)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点．(1)证明：FN⊥AD；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．
[解析] (1)证明：过点E、D分别作直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H.∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，
∴DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F－DC－B的平面角，则∠BCF＝60°，∴△BCF是正三角形，由DC⊂平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，∵N是BC的中点，∴FN⊥BC，∴FN⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，∴FN⊥AD.
(2)因为FN⊥平面ABCD，过点N作AB平行线NK，所以以点N为原点，NK，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N－xyz，
角度3 向量法求二面角 (2023·广西北海模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，E为AA1的中点，F为BC的中点．
(1)证明：EF∥平面A1BC1；(2)若AC＝BC＝CC1＝2，求平面A1BC1与平面AEF所成二面角的正弦值．
∴OF∥A1E，且A1E＝OF，∴四边形OFEA1是平行四边形，∴EF∥OA1，∵EF⊄平面A1BC1，A1O⊂平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1.
(2)由AC，BC，CC1两两垂直，以点C为坐标原点，AC，BC，CC1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
2．找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
(2021·山东泰安市月考节选)如图，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，CD∥AB，CD＝3AB＝3AD＝3，△PAD为正三角形，E，F，G分别在线段BC，CD，AP上，DF＝2FC，BE＝2EC，PG＝2GA.证明：平面GBD∥平面PEF.
(3)(角度3)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.①求BC；②求二面角A－PM－B的正弦值．
(2)①证明：取BC中点O，连接MO，因为MB＝MC，所以MO⊥BC，因为平面MBC⊥平面ABC，因为平面MBC∩平面ABC＝BC，MO⊂平面MBC，所以OM⊥平面ABC，如图建立空间直角坐标系，
(3)①解法一(坐标向量法)：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
[证明] ∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.
(1)证明：CF⊥平面ABD；(2)求点D到平面QCF的距离．[解析] (1)证明：∵AB⊥平面BCD，CF⊂平面BCD，∴CF⊥AB，又BC＝CD，F为BD的中点，∴CF⊥BD.又AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CF⊥平面ABD.
求点到平面距离常用的方法(1)定义法：通过求点P到平面垂线段的长求得点到平面的距离．
(1)求证：平面BMC1⊥平面A1BC1；(2)求点C到平面A1BC1的距离．
因为AB＝BC，M为线段AC的中点，所以AC⊥BM.又因为C1M∩BM＝M，所以AC⊥平面BMC1.又因为AC∥A1C1，所以A1C1⊥平面BMC1.又A1C1⊂平面A1BC1，所以平面BMC1⊥平面A1BC1.
(2)因为平面A1ACC1⊥平面ABC，交线是AC，且C1M⊥AC，所以C1M⊥平面ABC.以M为原点，MB，MC，MC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
名师讲坛 · 素养提升
利用向量法解答立体几何中的探究型问题
[解析] (1)证明：延长BA，CD相交于点E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l.证明如下：由平面SAB⊥平面ABCD，BA⊥AD，AD⊂平面ABCD，且平面SAB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面SAB，又由AD∥BC，所以BC⊥平面SAB，因为SE⊂平面SAB，所以BC⊥SE，所以BC⊥l.
(2)由(1)知：SA⊥AB，AD⊥AB，SA⊥AD，以A为坐标原点，以AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
1．向量法求解探索性问题的策略(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解、是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．根据解得情况作出回答．
2．翻折问题的解题策略(1)确定翻折前后变与不变的关系．画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
(2)确定翻折后关键点的位置．所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算．
[解析] (1)证明：取AE的中点为G，连接MG，BG，∵M是ED的中点，AD＝2BC，∴MG是△ADE的中位线，∴MG∥AD∥BC且MG＝BC，所以四边形MGBC为平行四边形，∴CM∥BG，
因为CM⊄平面ABE，BG⊂平面ABE，所以CM∥平面ABE.
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