2020届海南省海口市琼山中学高三第四次月考测试数学试题（解析版）

2020届海南省海口市琼山中学高三第四次月考测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则等于=（    ）

A．{1} B．{2} C．{1，2} D．

【答案】A

【解析】根据题意，集合为的解集，解可得集合，由题意结合交集的定义，计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，，

，

又由，，

则，

故选：．

【点睛】

本题考查集合交集的计算，注意集合为两个元素组成的集合,属于基础题．

2．设是虚数单位，则复数的模是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先将化简，再利用模长公式即可求解.

【详解】

，

所以的模为，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算以及求复数的模长，属于基础题.

3．已知命题p：x＞2是x2＞4的充要条件，命题q：若，则a＞b，那么（    ）

A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真

C．p真q假 D．p，q均为假

【答案】A

【解析】由题意结合充分条件、必要条件的概念可得命题p是假命题；由不等式的性质可得命题q是真命题；由复合命题的真假判断即可得解.

【详解】

对于命题p，由x＞2可得x2＞4，由x2＞4可得x＞2或，

所以x＞2是x2＞4的充分不必要条件，所以命题p是假命题；

对于命题q，若，则a＞b成立，所以命题q是真命题；

所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题.

故选：A.

【点睛】

本题考查了充分条件、必要条件的判断及不等式性质的应用，考查了复合命题的真假判断，属于基础题.

4．已知向量则的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】首先求出的坐标，再根据模的计算公式计算可得；

【详解】

解：因为所以

所以

故选：A

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算，属于基础题.

5．,函数f（x）=的零点所在的区间是（    ）

A．（-2,-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）

【答案】C

【解析】先利用定积分求出，再利用函数零点的判定方法即可．

【详解】

解：，．

， ．

，

函数的零点所在的区间是．

故选：．

【点睛】

本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.

6．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（   ）

A．8 B．12 C．16 D．24

【答案】C

【解析】由三视图可知，几何体是四棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4，按照锥体体积公式求解即可．

【详解】

解：由三视图可知，几何体一四棱锥，底面矩形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4

底面积，

所以

故选：．

【点睛】

本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积计算，考查计算能力，空间想象能力，属于中档题．

7．已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则=（ ）

A．27 B．3 C．-1或3 D．1或27

【答案】A

【解析】试题分析：由题意，得，即，解得或（舍去），则＝，故选A．

【考点】1、等比数列的通项公式；2、等差数列与等比数列的性质．

8．若满足约束条件且向量，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由数量积的定义计算出，设，作出约束条件对应的平面区域，由目标函数的几何意义，即可求出结果.

【详解】

因为，，所以，设,作出约束条件所表示的可行域，如图：

由，则，平移直线，由图像可知，当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时，

经过点A时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，

即，此时，则.

故选A

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划问题，做题的关键在于由向量的数量积，将问题转化为线性规划的问题来处理即可，属于基础题型.

9．三棱锥中，平面，，， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：分析可知球心在的中点．因为，，所以．

所以．球的半径．所以此球的表面积为．故A正确．

【考点】三棱锥的外接球．

10．函数对任意都有的图象关于点对称，则（ ）

A． B． C． D．0

【答案】D

【解析】试题分析：由题知的图象关于，是奇函数，令，有，∴

，∴，则，所以函数是周期为12的周期函数，则=0．

【考点】１、周期函数；2、函数的奇偶性．

11．将奇函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（    ）

A．6 B．3 C．4 D．2

【答案】A

【解析】由条件利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得为奇函数，故有，由此求得 的值．

【详解】

解：由函数为奇函数，，，，可得，

，函数．

把的图象向左平移个单位得到的图象，再根据所得图象关于原点对称，

可得为奇函数，故有，，．

结合，以及所给的选项，可得，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

12．定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】构造函数，由题意得即函数在上单调递减，再根据题意得，即可得解.

【详解】

令，则，

，，

函数在上单调递减，

又 ，，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.

二、填空题

13．已知等差数列的前项和为，若，则的值为________．

【答案】

【解析】根据等差数列的性质可知，再利用等差数列前项和公式即可求解.

【详解】

因为是等差数列，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和等差数列前项和公式，属于中档题.

14．在△中，若,则__________.

【答案】

【解析】由余弦定理求出边，再由面积公式计算可得；

【详解】

解：因为，由余弦定理，即解得或（舍去）

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查余弦定理及面积公式的应用，属于基础题.

15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得最小值后可得结论．

【详解】

因为，要使恒成立，所以，解得.

故答案为：．

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值．

16．关于函数，有下列命题：

    ①其图象关于轴对称；

    ②当时，是增函数；当时，是减函数；

    ③的最小值是；

    ④当和时，分别是增函数；

其中所有正确结论的序号是_______

【答案】①③④

【解析】①判断函数是否为偶函数即可；

②将复合函数转化为两个基本函数，令，易知在上是减函数，在上是增函数；

③因为，再由偶函数，可知正确；

④先分析当或时函数是增减性，再根据复合函数判断.

【详解】

①定义域为，又满足，是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，①正确；

②当时，，令，在上是减函数，在上是增函数，故复合函数在上是减函数，在上是增函数，根据偶函数性质得复合函数在单调递增，在单调递减，②不正确；

③当时，，又是偶函数，所以函数的最小值是，正确；

④由②知在上 单调递增，在上是增函数，故在上是增函数，故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，对数函数的值域与最值等基础知识，

三、解答题

17．

三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、，设向量，若//．

（1）求角B的大小；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）；（2） ．

【解析】【详解】

（1）由//知，即得，据余弦定理知

，得

（2）

因为，所以，得

所以，得，即得的取值范围为．

点睛：本题关键是首先要得出向量平行的等式，再结合余弦定理即可得出B，对于三角函数范围问题则通常需要将原式化简为的形式再求解答案（需注意范围的变化），此题属于基础题.

18．若数列的前项和满足，等差数列满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由可求得，代入可求得；

（2）由（1）得，再利用错位相减法求数列的和．

【详解】

解：（1）∵，

∴当时，，则，

当时，，

∴，即，

∴，

∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴，

∴，

又，，

∴，，

∴数列的公差，

∴，

综上：，；

（2）由（1）得，，

∴，

∴，

∴

，

∴．

【点睛】

本题主要考查递推数列求通项公式，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．

19．棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：

（1）求证：PA//平面BED；

（2）求异面直线与所成的角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）连接、相交于点，连接，可证，即可得证；

（2）取的中点，连接，，则，（或其补角）是异面直线与所成的角．由此能求出异面直线与所成的角的大小．

【详解】

解：（1）如图连接、相交于点，连接，因为底面是矩形，所以是的中点，又是的中点，所以，又面，面，所以面

（2）取的中点，连接，，则，

（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，由，，，

知是等腰直角三角形，，

，

异面直线与所成的角的大小是．

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．

20．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为元，若该项目不获利，政府将给予补贴．

（1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；（2）每月处理量为吨时，平均成本最低.

【解析】（1）利用：（生物的柴油总价值）（对应段的月处理成本）利润，根据利润的正负以及大小来判断是否需要补贴，以及补贴多少；（2）考虑：（月处理成本）（月处理量）每吨的平均处理成本，即为，计算的最小值，注意分段.

【详解】

（1）当时，该项目获利为，则

∴当时，，因此，该项目不会获利

当时，取得最大值，

所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损；

（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：

当时，

所以当时，取得最小值；

当时，

当且仅当，即时，取得最小值

因为，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

【点睛】

本题考查分段函数模型的实际运用，难度一般.（1）实际问题在求解的时候注意定义域问题；（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意说明取等号的条件.

21．已知函数，.

（1）若恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当a取（1）中的最小值时，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）令，所以，再分别讨论与的大小关系，得到函数的单调性即可求最值，进而解决恒成立问题求出a的取值范围；

（2）由题意可得，原不等式等价于，，

再反复利用导数判断函数的单调性，求出函数的单调性和最值，即可证明不等式成立.

【详解】

（1）令，

所以，

若，此时在上单调递减，即，所以，即恒成立；

若，存在，使得，                                                   

所以，

所以在上单调递增，所以存在使得，即不恒成立；所以时不符合题意，舍去.

综上所述：.

（2）由题意可得：，所以，

所以，

所以原不等式等价于，

设，

所以，

令，所以，

所以，所以在上单调递减，

所以，即，

所以单调递减，所以，

所以恒成立，即.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，以及由函数恒成立问题求参数的取值范围，属于中档题.

22．已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.

【答案】解:（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得出结果；

（Ⅱ）先由圆的参数方程得到圆的普通方程，确定圆心坐标，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而可得出结果.

【详解】

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．

,，

．

∴该直线的直角坐标方程为：．

（Ⅱ）圆的普通方程为：，

圆心到直线的距离．

所以圆上的点到直线的距离的最小值为．

【点睛】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

23．（Ⅰ）解关于x的不等式；

（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）设分类讨论去掉绝对值，得到分段函数，然后分段解不等式，得到解集；（Ⅱ）分段研究，得到的最小值，然后利用不等式能成立，得到的范围.

【详解】

解：设，

则，

（Ⅰ），得，

即时，不等式的解为，

时，不等式成立.

原不等式的解集为．

（Ⅱ）由于时，函数是增函数，

其最小值为，

当时，，

的最小值为1．

因为有解，即有解，

所以．

【点睛】

本题考查分类讨论解含绝对值的不等式；分离参数解决不等式能成立问题，属于简单题.