2020届四川省绵阳南山中学实验学校高三10月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2020届四川省绵阳南山中学实验学校高三10月月考数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届四川省绵阳南山中学实验学校高三10月月考数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解绝对值不等式得集合，再求交集即可.【详解】因为，，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，交集的运算，属于基础题.2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）A．7 B．10 C．14 D．21【答案】C【解析】由，利用等差数列的性质解得，再利用等差数列求和公式即可得出．【详解】，，解得．则．故选：．【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知正方形的边长为1，设，，，则等于（    ）A．0 B． C．2 D．【答案】C【解析】利用向量的三角形法则、向量加法的运算律及向量减法的运算律，即可得解.【详解】如图，，，，.故选：C.【点睛】本题考查向量的三角形法则、向量加法的运算律、向量减法的运算律及向量的模，考查学对这些知识的掌握能力，属于基础题.4．设，，则的值是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用二倍角公式将展开，即可求的值，利用同角三角函数的基本关系求得及，然后利用二倍角公式求得.【详解】由，，得，所以，则，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第8项为(    )A．99 B．131 C．139 D．141【答案】D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项；【详解】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：，解得解得：故选：D．【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．6．设函数，若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】当时，在上单调递增，则值域为；当时，在上单调递减，则值域为；因为函数，所以函数有最小值时，需满足，即，所以实数的取值范围是，故选：D.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有指数函数的值域，以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目.7．已知，，，则的大小关系为（    ）A． B．. C．. D．.【答案】A【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果【详解】因为，，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用8．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是(    )A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上是单调递增的D．函数图象的对称中心为【答案】D【解析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.【详解】由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且，∴，∴f（x）＝2sin（ωx），∵f（）＝0且为单调递减时的零点，∴，k∈Z，∴，k∈Z，由图象知，∴ω，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x），∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，∴A错，令2x，k∈Z，对称轴为x，则B错，令2x,则x，则C错，令2xkπ，k∈Z，则x＝，则D对，故选：D．【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．9．已知命题：，，命题：恒成立，则.下列命题为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先利用函数图象交点、不等式恒成立判断，的真假，再利用复合命题的性质得到结论．【详解】因为有交点，所以，，即为真命题，又因为，当时，也恒成立；故为假命题；所以、、为假命题，为真命题；故选：．【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定以及一元二次不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．在数列中，已知，，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知两边取倒数，求出 的通项公式即可.【详解】  ， 所以是以 为首项，公差为的等差数列， ，故选:B【点睛】当递推关系不能直接表达为等差或等比数列时，通过将所给递推关系变形，显现出一个相关数列为等差或等比数列，间接求出原数列得通项公式.11．已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．12．函数的定义域为，若存在一次函数，使得对于任意的，都有恒成立，则称函数是函数在上的弱渐进函数.下列结论正确的是（    ）①是在上的弱渐进函数；②是在上的弱渐进函数；③是在上的弱渐进函数；④是在上的弱渐进函数.A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建①由构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确；②由构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误；③由构建关系，取特值，不符合题意，错误；④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确.【详解】①由于，因为，所以，所以①正确；②设，当时，，不符合，所以②错误；③设取特值， 不符合，所以③错误；④设，，当时，，在上单调递减，所以；又时，，，即，所以，④正确.综上，①④正确.故选:C【点睛】本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题.  二、填空题13．数列满足且，则的值是___________【答案】11【解析】由递推式可得数列是以为公比的等比数列，由得的值，由等比数列的性质得，代入即可得结果.【详解】因为，所以数列是以为公比的等比数列，由得，所以，即，故答案为：11.【点睛】本题主要考查了等比数列的判定与性质，对数的运算，属于基础题.14．曲线在点处的切线方程与直线垂直，则______．【答案】【解析】由点在曲线上，即可求出，再求出曲线在点的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为，求出，即可得解；【详解】解：∵是的点，则，，显然在点处的斜率，则切线方程为，∵直线与直线垂直，则，显然，则，故答案为：．【点睛】本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念、知识的掌握程度，属于基础题．15．已知, ,则 _________.【答案】2【解析】推导出，再由求的值.【详解】∵ ，∴，∵， ∴  故填：2.【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值，关键是发现的关系.16．如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________. 【答案】【解析】设，由，可得：再由，可得：，则，最后由可得解.【详解】设的面积为，为中点，又C、P、Q三点共线，，即则当且仅当时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题. 三、解答题17．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求.【答案】(1)；（2）．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.试题解析：(1)设公差为，因为，，成等数列，所以，即，解得，或(舍去)，所以.(2)由(1)知，所以，，所以.18．在中，角，，的对边分别是、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理将边化为角,再由正弦的和角公式化简即可求得角的大小；（2）根据三角形面积公式先求得，再代入余弦定理即可求得的值．【详解】（1）∵，由正弦定理代入化简可得，                       即，，即，，，即，又，， （2） ，由（1）知，结合三角形面积公式可知，，由余弦定理有，.【点睛】本题考查了正弦定理边角转化的应用，三角形面积公式的简单应用，余弦定理解三角形的应用，属于基础题.19．已知函数，.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若把向右平移个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数，求在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为.【解析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式进行化简函数解析式，然后根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据函数平移求出函数的解析式，然后根据正弦型函数的单调性求出在区间上的最值.【详解】（1）， 令，，得，， 又，可得函数的单调减区间为. （2）由（1）知，把向右平移个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到，因为 ，所以故的最小值为，最大值为.【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性及最值，考查了两角和正弦公式、二倍角公式，考查了数学运算能力.20．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数．若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】（1）求出导函数，然后按和分类讨论确定的正负，得单调区间；（2）问题变形为方程有两解，【详解】解：（1）函数的定义域为    当时，恒成立，即在上单调递增当时，由得：，由得：在单调递增，在单调递减综上可知：当时，在上单调递增当时，在单调递增，在单调递减（2）函数在区间上有两个零点，等价于方程有两解令， 令，在上恒成立在单调递减又，则，，，所以在单增，在单减，，时，，即时，，当时，，∴的图象与直线有两个交点，则．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的零点个数．零点个数总是常常转化为方程解的个数，又可转化为直线与函数图象交点个数．本题中在确定出函数的单调性与极值（最值）后还必须确定函数值的变化趋势才可得出正确答案，否则易出现扩大了的范围．21．已知函数.（1）求函数的最值；（2）若，是方程的两个不同的实数根，求证：.【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）证明见解析.【解析】（1）对函数进行求导得到函数的单调区间，进而可得最值；（2）由题意可得得到，把要证明的结论转化为证，不妨令，构造函数，利用导数证明在上为减函数，可得，则结论得证.【详解】（1）依题意，，故当时，，当时， ，∴单调递减区间是，单调递增区间是，故最小值等于，无最大值.（2）因为，是方程的两个不同的实数根，∴，两式相减得，解得 ，要证：，即证：，即证：，即证，不妨设，令，只需证， 设，∴，令，∴， ∴在上单调递减，∴，∴，∴在为减函数，         ∴.即在恒成立，∴原不等式成立，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明恒成立问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与相交于A、B两点.（1）求曲线、的直角坐标方程;（2）求点到、两点的距离之积.【答案】（1），；（2）2.【解析】（1）给曲线的极坐标方程两边同乘，然后利用进行转化.曲线的参数方程两式相加消去，得直角方程；（2）将曲线的参数方程代入曲线的普通方程，然后利用直线参数方程中的几何意义求解.【详解】（1）由曲线的极坐标方程可得曲线的直角坐标方程为, 由曲线的参数方程可得曲线的普通方程为, （2）将曲线的参数方程 (t为参数),代入曲线的普通方程得：, 设、两点对应的参数分别为、，∴,  ， 可得.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中的几何意义的应用，难度一般.23．已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先通过分类讨论去掉绝对值符号，再分段求出的解，从而得到原不等式的解.（2）根据给定的范围可把转化为在上恒成立，令，，可得关于的不等式组，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，，不等式等价于或或，解得或，不等式解集为.（2）当时，不等式等价于，整理得，记，则，解得.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般有零点分段讨论法、数形结合法、平方法等，对于不等式的恒成立问题，应该根据不等式的特点合理构建新函数，得到关于参数的不等式或不等式组，本题属于中档题.