2021届安徽省黄山市屯溪第一中学高三上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

2021届安徽省黄山市屯溪第一中学高三上学期10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数为纯虚数虚数单位，则实数　　

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】，再根据复数为纯虚数得和，解之即得解.

【详解】

为纯虚数，

，，

，

故选B．

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意结合一元二次不等式、对数不等式的求解可得、，再由集合的交集运算即可得解.

【详解】

因为，

，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式、对数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

3．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】A

【解析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.

【详解】

当时，；

当时，；

当时，；

所以共有9个，

故选：A.

【点睛】

本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

4．若，，，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把对数写成指数，根据指数函数的单调性可判断的大小，再根据指数函数的单调性得到，从而可得三者的大小关系.

【详解】

因为，

则，

故，

故；

又，

故.

综上，，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了指数对数互化，以及利用指数函数的单调性比较大小的问题.属于较易题.

5．已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】

详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】

本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

6．已知m，n∈R，则“"是"m>n"的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】根据m，n∈R，不能推出，不能推出，即可求解.

【详解】

因为，m，n∈R，所以不能推出，并且不能推出，

所以“"是"m>n"的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了充分条件，必要条件，属于基础题.

7．已知奇函数满足，当时，，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的周期性结合奇偶性推导出，利用时，能求出结果．

【详解】

奇函数满足，

因为，

所以

所以

又因为当时，，

所以

,故选A．

【点睛】

本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解.

8．设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由已知当时，有恒成立，可判断函数 为减函数，由是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，结合g（x）的图象，解不等式即可

【详解】

设则g（x）的导数为 ∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，∴当x＞0时，函数为减函数，又，∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵

∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得

∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）

∴x2•g（x）＞0∴g（x）＞0  ∴0＜x＜1或-1＜x＜0 故选D．

【点睛】

本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．

9．设函数，则函数的图像可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.

【详解】

定义域为：

，函数为偶函数，排除

，排除

故选

【点睛】

本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.

10．已知函数，给出下列两个命题：命题，方程有实数解；命题当时，，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由分段函数的性质可判断命题为假命题、命题为真命题，再由复合命题的真假结论即可得解.

【详解】

当时，，

当、时，，

所以当时，方程无实数解，

故命题为假命题，命题为真命题；

当时，，

故命题为真命题，命题为假命题；

所以命题、、均为假命题，

命题为真命题，

故选：B.

【点睛】

本题考查了分段函数性质的应用，考查了复合命题的真假判断，属于基础题.

11．若函数恰有一个零点，则实数的值为　　

A． B．2 C． D．

【答案】A

【解析】先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得的值.

【详解】

函数的定义域为，

若函数恰有一个零点，

等价为恰有一个根，

即只有一个根，

即函数和的图象只有一个交点，

即当时，是函数的切线,

设，切点为，则，

因为，切线斜率，

则切线方程为，

切线过原点，

即，

因为

所以，此时，

故选．

【点睛】

本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.

12．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出函数的图象,①当直线与曲线相切于点时,,推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围;②当直线与曲线相切时,设切点为,通过,求出,或,,然后判断求解的范围.

【详解】

函数的图象如图所示, 

①当直线与曲线相切于点时, , 

故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点, 

当时,直线与函数的图象恰有两个交点, 

②当直线与曲线相切时,

设切点为,则, 

,解得,或,，

当时,直线与函数的图象恰有一个交点, 

当或时,直线与函数的图象恰有两个交点, 

当时,直线与函数的图象恰有三个交点, 

综上的取值范围是.

故选：C.

【点睛】

本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题.

二、填空题

13．已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】由A∩B有4个子集得A∩B中有2个不同的元素，又，故，进而得到关于的不等式，解不等式可得所求的范围．

【详解】

由题意得．

所以．

因为A∩B有4个子集，

所以A∩B中有2个不同的元素，

所以，

所以，

解得且．

故实数a的取值范围是．

故答案为．

【点睛】

由的子集的个数得到集合中元素的个数是解题的关键；另一关键是由题意得到，并由此得到关于的不等式．考查阅读理解和转化能力，属于基础题．

14．若函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是_____

【答案】

【解析】先转化为导函数在上非负，再变量分离转化为求对应函数最值问题，即得结果.

【详解】

因为在[1，2]上单调递增，所以在上恒成立，

即；

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性问题以及不等式恒成立问题，考查综合分析转化求解能力，属于中档题.

15．已知函数，则不等式的解集为____

【答案】（1，＋∞）

【解析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集.

【详解】

因为，所以函数为奇函数，

又，当时，，所以函数在时单调递增；

当时，，所以函数在时单调递增，

所以函数在R时单调递增.

所以不等式化为，所以，解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.

16．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

【详解】

设F（x），

则F′（x），

∵，

∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．

∵

∴，即F（x）＜F（2x）

∴，即x＞1

∴不等式的解为

故答案为

【点睛】

本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．

三、解答题

17．已知命题p：实数x满足，.

（1）若a＝1，且为真，求实数x的取值范围；

（2）若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）(2，3)；（2）(1，2]．.

【解析】（1）先分别分析各个命题为真时x的范围，然后由为真，得p，q均为真命题，x的范围可得．

（2）非p是非q的充分不必要条件利用等价命题可知p是q的必要不充分条件，利用集合的包含关系解得．

【详解】

解：由， 得a<x<3a，即p为真命题时，a<x<3a.

(1)a＝1时，p：1<x<3.

由为真，得p，q均为真命题，则得2<x<3.

所以实数x的取值范围为(2，3)．

(2)令A＝{x|a<x<3a}，B＝{x|2<x≤3}．

由非p是非q的充分不必要条件，得p是q的必要不充分条件，

所以所以1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2]．

【点睛】

本试题主要是考查了命题的真值，以及复合命题的真值判定，和充分条件和必要条件的判定的综合运用，属于中档题．

18．调查某公司的五名推销员，其工作年限与年推销金额如下表：

(1)在图中画出年推销金额关于工作年限的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；

(2)利用最小二乘法求年推销金额关于工作年限的回归直线方程；

(3)利用(2)中的回归方程，预测工作年限为10年的推销员的年推销金额.

附：， ＝－ .

【答案】（1）详见解析；（2）＝x＋；（3）万元.

【解析】（1）根据表格提供数据画出散点图.

（2）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.

（3）令代入回归直线方程，由此预测出工作年限为年推销员的年推销金额.

【详解】

(1)年推销金额关于工作年限的散点图如图：

从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此， 工作年限与年推销金额正相关，即工作年限越长，年推销金额越大.

(2)由表中数据可得：

＝×(2＋3＋5＋7＋8)＝5，

＝×(3＋3.5＋4＋6.5＋8)＝5，

，，

∴年推销金额关于工作年限的回归直线方程为

＝x＋.

(3)当x＝10时，，

∴预测工作年限为10年的推销员的年推销金额为万元.

【点睛】

本小题主要考查散点图的画法，考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查数据分析与处理的能力，属于中档题.

19．已知椭圆：()的左､右焦点分别是､，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆左顶点斜率为1的直线与椭圆的另外一个交点为，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】第一问根据离心率先得到a、b的关系，再由以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交的交点在椭圆上得到第二个方程，联立方程组即可得到a与b的值；第二问设过椭圆左顶点斜率为1的直线方程，与椭圆联立方程组后求解出点B的坐标，然后即可解得三角形的面积.

【详解】

（1）设椭圆方程为，

由两圆交点在椭圆上，，得，

由离心率为，，得，

所以椭圆的方程为.

（2）直线：与椭圆联立，消去得：

，解得，代入直线方程可得，

且，

故的面积为.

【点睛】

本题考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程及利用方程思想求解直线和椭圆交点，属于中档题目，解题中对运算能力有一定的要求.

20．如图几何体中，四边形为矩形，，，，，为的中点，为线段上的一点，且．

（1）证明：面面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连结，根据所给的条件，可证明都是等边三角形，所以，即证明平面，再说明面面垂直；（2），根据（1）的结果可知，根据平面几何可求底面面积，代入求体积.

试题解析：(1）证明：连接

∵，为的中点

∴.

∵，∴，

∵，为矩形

∴，又∵，∴为平行四边形

∴，∴为正三角形 ∴，

∵，∴面.

∵面，

∴面面.

(2），

因为，，

所以.

所以.

21．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．

（1）判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

（2）是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切的x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）f(x)是增函数，奇函数；（2）存在，t＝－.

【解析】（1）根据奇偶性定义判断奇偶性，利用复合函数的单调性确定函数的单调性；

（2）根据奇偶性与单调性把不等式化这，即存在，使得2≤ 恒成立，由此可得值．

【详解】

（1）∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函数，y＝－x是增函数，所以f(x)是增函数．

由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

（2）由（1）知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立，

即 f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立，即x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立，

所以，t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立，即存在实数使得2≤ 恒成立

所以存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题中不等式恒成有两个变量，一个是存在，一个是所有，要注意它们的区别，注意问题的转化．

22．已知函数，.

（1）求证：有两个不同的实数解；

（2）若在时恒成立，求整数的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】（1）构造新函数，由导数研究的单调性与最值，根据零点存在定理得结论；

（2）题设不等式变形为，构造函数，用导数知识求出的最小值，得范围，从而可得最大整数值．

【详解】

（1）由得，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以的最小值为，

而当时，，当时，，

故有两个不同的实数解.

（2）在时恒成立，即在时恒成立，

所以在时恒成立，

设，则，

由（1）有唯一零点，即，

又，，

所以，且当时，，当时，，

所以，

由题意，得，且，

因此整数的最大值为3.

【点睛】

本题考查用导数研究方程的解，研究不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，解题关键是问题的转化，方程的解的个数转化为函数零点个数，不等式恒成立转化为研究函数的最值，最终转化为用导数研究函数的单调性，考查了学生分析问题解决问题的能力．