2021届北京市第二中学高三10月考数学试题（解析版）

2021届北京市第二中学高三10月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤3}

【答案】B

【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合B,再利用交集的定义求解即可.

【详解】

因为，

所以{0，1，2}，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查集合交集的运算，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.

2．在复平面内，复数(其中i为虚数单位)对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】利用复数的除法运算法则、复数的坐标表示即可得出．

【详解】

复数对应的点位于第一象限．

故选：．

【点睛】

本题考查了复数的除法运算法则、复数的坐标表示，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．下列函数是奇函数且在区间(0，2)递增的函数为（    ）

A． B．f(x)= ln|x|

C．f(x)=sinx D．

【答案】A

【解析】分别利用幂函数、对数函数、正弦函数、二次函数的性质判断四个选项中函数的奇偶性、单调性即可得结果.

【详解】

是奇函数且在区间(0，2)上递增，符合题意；

f(x)= ln|x|是偶函数，不符合题意；

f(x)=sinx奇函数且在区间(0，2)上有增有减，不符合题意；

在区间(0，2)上递减，不符合题意，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查幂函数、对数函数、正弦函数、二次函数的性质奇偶性与单调性，属于基础题.

4．若（    ）

A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a

【答案】C

【解析】根据指数函数、对数函数的单调性判断即可；

【详解】

由已知，，

，故，

故选：C.

【点睛】

本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.

5．直线与曲线y=lnx相切，则实数k=（    ）

A． B．1 C．2 D．不存在

【答案】B

【解析】设出切点坐标，求出导函数，利用导数的几何意义得，再根据切点在切线上，列出关于和的方程组，求解即可求得的值．

【详解】

设切点坐标为，

曲线，

，

，①

又切点在切线上，

，②

由①②，解得，

实数的值为．

故选：B．

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于基础题．

6．若实数，满足，，则“”是“”的　　（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】构造函数，据，的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可．

【详解】

设，显然在上单调递增，

，

所以

，

即，故充分性成立，

因为

，

所以，

，

故必要性成立，

故“”是“”的充要条件，

故选：C．

【点睛】

本题考查了函数的单调性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了构造函数法的应用，是基础题．

7．设函数，若，则　　

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．

【详解】

函数，若，可得，

若，即，可得，解得．

若，即，可得，解得（舍去）．

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．

8．数列中，则下列结论中正确的是（    ）

A．数列的通项公式为 B．数列为等比数列

C．数列为等比数列 D．数列为等差数列

【答案】C

【解析】由已知可得，从而可得数列是以2为公比，为首项的等比数列，进而可进行判断

【详解】

解：因为所以，

所以数列是以2为公比，为首项的等比数列，所以C正确，D错误；

所以，所以，所以A错误，

所以不是常数，所以数列不是等比数列，所以B错误，

故选：C

【点睛】

此题考查等比数列的判断，考查对数的运算，考查推理能力，属于中档题

9．正方形ABCD的边长为2，点E､F､G满足，则下列各式中值最大的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】以为原点，AB，AD为x，y轴建立坐标系，分别求出，，，的值，从而可得结论.

【详解】

因为，

所以分别是的中点，

以为原点，AB，AD为x，y轴，

建立坐标系，如图，

则，

，

，

，

，

，

，

即最大，

故选：A

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标表示，考查了数形结合思想的应用，属于基础题.

10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数．已知pH值的定义为，健康人体血液的pH值保持在7．35～7．45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据： ， ）（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题设有，又 ，所以，所以．又，只有在范围之中，故选C．

点睛：利用之间的关系把转化为，再利用指对数的关系求出，从而得到的范围，依次检验各值是否在这个范围中即可．

二、填空题

11．命题的否定形式为_______.

【答案】

【解析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题的否定为，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

12．已知x>0，y>0，且，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案．

【详解】

由题意，

得：，

则（当且仅当时，取等号）．

故选：．

【点睛】

本题考查了对数的运算性质，考查了基本不等式的应用，是基础题．

13．若函数在区间(-2，-1)内存在单调减区间，则实数a的取值范围为_______.

【答案】

【解析】先求出，再利用在有部分图象在轴下方可得实数的取值范围.

【详解】

，

因为在上存在单调区间，故在有部分图象在轴下方.

若即时，则即，故.

若即时，则即，无解.

若，则即，，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的单调性，注意函数在某个区间上存在单调减区间，不是在给定的区间上有解，而是在给定的区间上有部分图象在轴下方，本题属于基础题.

14．已知定义在上的函数满足：①；②；③在，上的表达式为，则函数与的图象在区间，上的交点的个数为_______.

【答案】6

【解析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出和的部分图象，由图象观察交点的个数．

【详解】

①，②，

图象的对称中心为，图象的对称轴为，

结合③画出和的部分图象，如图所示，

由图可知与的图象在，上有6个交点．

故答案为：6．

【点睛】

本题借助分段函数考查函数的对称性以及函数图象交点个数等问题，考查作图能力以及数形结合思想的应用，属于中档题．

三、双空题

15．已知向量且，则向量与的夹角大小为___.的值为_______.

【答案】       

【解析】求出，结合可求出向量夹角余弦，从而可得夹角，利用可得结果.

【详解】

又，

，

，

因为

所以与的夹角大小为，

，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用平面向量数量积求夹角，利用数量积求向量的模，考查了数量积的运算，属于基础题.

四、解答题

16．已知椭圆C : , 经过点P，离心率是．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点．

【答案】（1）； （2）详见解析；

【解析】【详解】试题分析：（1）由椭圆过点P 得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定 的值从而得到椭圆C的方程；

（2）设，，直线的方程为 ，或，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于 或的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及平面向量的数量积确定的关系，从而找出定点坐标．注意不论直线的方程设为哪一种形式都要先考察它与坐标轴平行的特殊情况．

试题解析：解：（1）由，解得 ，

所以椭圆C的方程是 ． ． 5分

（2）方法一

（1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意．

（2)不妨设直线的方程为 ．

由 消去得． 7分

设，，则有 ①, ② 8分

因为以为直径的圆过点，所以．

由，得．

将代入上式，

得． ③ 12分

将①②代入③，得 ，

解得或（舍）．

综上，直线经过定点 14分

方法二

证明：

（1）当不存在时，易得此直线恒过点． 7分

（2）当存在时．设直线，，，．

由，可得．

①

．② 9分

由题意可知

,

可得 ． 10分

整理得 ③

把①②代入③整理得

由题意可知

解得

（1）当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉． 12分

（2），即，直线过定点，经检验符合题意．

综上所述，直线过定点 14分

【考点】1、椭圆的标准方程与简单几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系综合问题．

17．已知函数，共中.

（1）求的单调区间;

（2）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由

【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间，减区间为.（2）不存在.理由见解析.

【解析】（1）求出，再就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调区间.

（2）令，就、分类讨论，前者可利用来判断的存在性，后者利用单调性和零点存在定理来处理.

【详解】

（1），

若，则，故在为增函数.

若，当，；当时，，

所以在为增函数，在为减函数，

综上，当时，的增区间为，无减区间；

当时，的增区间，减区间为.

（2）即为，

令，则，

当时，，故在不恒成立.

若，则，故在上为增函数，

又，

由零点存在定理可知存在，使得，

所以在不恒成立.

故不存在整数，使得对任意恒成立.

【点睛】

本考查函数的单调性以及不等式的恒成立问题，前者利用导数的符号来判断，后者应构建新函数，利用导数讨论新函数的性质，如单调性等，必要时可结合零点存在定理来说明不等式的不成立，本题属于较难题.

18．已知为实数，数列满足，.

（Ⅰ）当和时，分别写出数列的前5项；

（Ⅱ）证明：当时，存在正整数，使得；

（Ⅲ）当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析

【解析】（I）利用递推公式，依次计算出的值.（II）当时，，此时数列为递减的等差数列，且公差为，故总有一项是不大于的.根据这一项在之间讨论，结合数列的递推公式，判断出正整数存在.（III）将分成三类，求得的表达式，由此判断出不存在实数正整数，使得.

【详解】

（Ⅰ）当时，；

当时，.

（Ⅱ）当时，. 所以，在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列.

即.

所以，当足够大时，总可以找到，使.

（1）若，令，则存在正整数，使得.

（2）若，因为，则，

令，则存在正整数，使得.

综述所述，则存在正整数，使得.

（Ⅲ）①当时，

当时，，

当时，（），

令，，而此时为奇数，所以不成立；又不成立，所以不存在正整数，使得.

②当时，……

所以数列的周期是4，

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，.

所以（）.

所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得.

③当时，

（），不存在正整数，使得.

综述所述，不存在实数正整数，使得.

【点睛】

本小题主要考查利用递推公式求数列的通项，考查递推数列求和，考查分类讨论的数学思想方法，属于较难的题目.