2021届广东省珠海市第二中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2021届广东省珠海市第二中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】

由题意得，，则

．故选C．

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．已知（为虚数单位），则复数=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用复数的乘方和除法运算，即可得答案；

【详解】

由题意得，，

故选：D．

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属于基础题.

3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（      ）

A．24 B．36 C．48 D．64

【答案】B

【解析】根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.

【详解】

当按照进行分配时，则有种不同的方案；

当按照进行分配，则有种不同的方案.

故共有36种不同的派遣方案，

故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.

4．在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以，

所以，

因为0≤x≤1，所以，

即的取值范围是.

故选C.

点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．

5．已知定义域为的奇函数又是减函数，且则的取值范围是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据奇偶性将变形为，再根据函数单调性解不等式即可得答案.

【详解】

解：根据题意得，

又因为是定义域为上的减函数，

所以有：

解得：

故选：B．

【点睛】

本题考查利用函数单调性与就解不等式问题，考查数学运算能力，是中档题.

6．已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出，的解集；再由题意求出时，函数的解析式，进而求出不等式的解集.

【详解】

当时，，由可得；

若，则，因此，

又定义在上的函数满足，

所以，即时，，由可得，.

综上，不等式的解集为.

故选D

【点睛】

本题主要考查解不等式，熟记一次函数单调性，以及函数解析式的求法即可，属于常考题型.

7．二项式的展开式中的系数是，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】利用已知和通项可求得.

【详解】

展开式的通项为，

因为的系数是，所以，即，

，解得，

故选：B.

【点睛】

本题考查了二项式定理，二项式系数，属于基础题.

8．已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据以及为偶函数即可得出，并且可得出,根据在内单调递减即可得结果.

【详解】

，

的周期为6，

又为偶函数，

，

，

,

，

又在内单调递减，

， ，故选A.

【点睛】

在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．

二、多选题

9．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点F重合，则（    ）

A．双曲线的实轴长为2 B．双曲线的离心率为3

C．双曲线的渐近线方程为 D．F到渐近线的距离为

【答案】CD

【解析】根据抛物线焦点得到，得到双曲线方程，再依次计算实轴长，离心率.，渐近线方程，点到直线的距离依次判断每个选项得到答案.

【详解】

抛物线的焦点，故，，故双曲线方程为，

双曲线的实轴长为，A错误；双曲线的离心率为，B错误；

双曲线的渐近线方程为，C正确；

F到渐近线的距离为，D正确；

故选：CD.

【点睛】

本题考查了抛物线方程焦点，双曲线方程的离心率，渐近线，实轴长，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

10．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（    ）．

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调增

D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BCD

【解析】根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.

【详解】

由函数（其中，，）的图像可得：

，，因此,

,

所以，过点，

因此，又，

所以，

，

当时，，故错；

当时，，故正确；

当，，所以在上单调递增，故正确；

当时，，所以与函数有的交点的横坐标为 ，，故正确.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.

11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】

对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

12．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ）

A．该地水稻的平均株高为100cm

B．该地水稻株高的方差为10

C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大

【答案】AC

【解析】根据函数解析式得到，，故A正确B错误，根据正态分布的对称性得到C正确D错误，得到答案.

【详解】

，故，，故A正确B错误；

，故C正确；

根据正态分布的对称性知：，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布的理解和应用.

三、填空题

13．设为坐标原点，抛物线的准线为，焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于两点，且，若直线与相交与，则_________．

【答案】

【解析】依题意可得过且斜率为的直线方程，并与抛物线联立，解得，求解直线方程，然后得点，最后计算，可得结果.

【详解】

过且斜率为的直线方程为，

与抛物线联立得．

，

则直线方程为与的交点，

因此．

故答案为：

【点睛】

本题考查直线与抛物线的应用，本题重在于计算，属基础题.

14．任意实数a，b，定义，设函数，正项数列是公比大于0的等比数列，且，则=____．

【答案】

【解析】根据函数易得恒成立，再根据正项数列是公比大于0的等比数列，利用其性质和，得到，再结合条件得到；然后分和讨论求解.

【详解】

由题意，

因为时，；

当时，；

时，，

所以时，恒成立；

因为正项数列是公比大于0的等比数列，且，

所以，

所以，

又，，

所以；

当时，，所以，此时无解；

设恒成立，

在单调递增，

当时，，所以，

解得.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查函数的性质和等比数列的性质，还考查了分类讨论的思想和转化求解问题的能力，属于中档题.

15．已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是______.

【答案】2

【解析】由直径所对圆周角为直角可求出，设h为点A到底面BCD的距离，分析可知当h最大时三棱锥的体积最大，当平面平面时h最大为斜边上的高，等面积法求出h即可求得三棱锥的体积的最大值.

【详解】

如图所示，因为DC为球的直径，所以，

根据已知条件可得，

设h为点A到底面BCD的距离，则，

故当h最大时，三棱锥的体积最大，

当平面平面时，h最大为斜边上的高，

因为球的直径,，

所以，解得，

此时三棱锥的体积取最大值.

故答案为：2

【点睛】

本题考查三棱锥的外切球问题、三棱锥的体积，考查空间想象能力，属于中档题.

16．（理）如图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是____________．

【答案】

【解析】先根据对称性可得到直线上的距离取值范围，再求对应面积的取值范围.

【详解】

由题意得在线段中垂线上，所以到直线上的距离取值范围为，

因此圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查扇形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.

四、解答题

17．已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为.

（I）求的值；

（II）若，，求.

【答案】（I）；（II）

【解析】（I）由为的中点可知：的面积为，

由三角形的面积公式可知，

由正弦定理可得，最后求出的值；

 （II）已知，所以在中，由正弦定理可得，

所以，由（1）可知，

所以，，这样可以求出的大小，

在直角中，利用，，可以求出，.

，， 在中用余弦定理，可求出的值.

【详解】

（I）由的面积为且为的中点可知：的面积为，

由三角形的面积公式可知，

由正弦定理可得，所以.

（II）因为，所以在中，由正弦定理可得，

所以，由（1）可知，

所以，，∵，∴，

在直角中，，所以，.

∵，，

在中用余弦定理，可得

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力.

18．已知函数（k为常数，且）．

（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；

①数列是首项为2，公比为2的等比数列；

②数列是首项为4，公差为2的等差数列；

③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．

（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.

【答案】（1）②，理由见解析；（2）

【解析】（1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；

（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.

【详解】

（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，

即，得，且，.

常数且，为非零常数，

数列是以为首项，为公比的等比数列．

（2）由（1）知，所以当时，.

因为，

所以，所以，

.

【点睛】

本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.

19．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.

（1）求的值；

（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？

（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）

列联表                           

临界值表：

，其中

【答案】（1），（2）详见解析（3）395元

【解析】（1）根据频率分布直方图可得，结合可得的值.

（2）根据表格数据可得，再根据临界值表可得有的把握认为消费金额与性别有关.

（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.

【详解】

（1）由频率分布直方图可知，，

由中间三组的人数成等差数列可知，

可解得，

（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.

所以列联表为

所以有的把握认为消费金额与性别有关.

（3）调查对象的周平均消费为

，

由题意，∴

.

∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.

【点睛】

（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是；

（2）两类变量是否相关，应先计算的值，再与临界值比较后可判断是否相关.

（3）线性回归方程对应的直线必经过.

20．如图，在三棱柱中，平面，为的中点，交于点，，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】利用三棱柱的定义及线面垂直的性质，根据线面垂直的判定定理即可证明；

由（1）结论建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量，利用向量数量积公式即可求出二面角的余弦值.

【详解】

证明：（1）因为为三棱柱，所以平面平面，

因为平面，所以平面.又因为平面，所以.

又因为，，平面，所以平面.

由题知：四边形为矩形，又因交于点，所以为的中点，

又因为为的中点，所以为的中位线，所以.所以平面.

（2）由（1）知：两两互相垂直，所以以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，则，

所以，，因为，所以，

所以，解得.所以，

所以，.

设平面的法向量为，则，所以，

不妨令，则.

设平面的法向量为，则，所以，

不妨令，则.所以,

因为平面与平面所成的角为锐角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的证明和二面角的余弦值的求法，属于中档题.

21．设函数．

（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；

（2）求证：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（1）不等式等价于，令，求导再对分类讨论即得解；

（2）即证明恒成立，再利用第（1）问的结论即得证.

【详解】

解：（1）由题知当时，不等式恒成立，

因为，故必有在上恒成立．

此时，该不等式等价于，

令，

则，

故与同号．

因，

当时，在递减，显然不符合．

故必．

当时，即时，在上恒成立，

即在递增，满足．

故．

（2）等价于不等式，

两边取对数得，

即证明恒成立．

由（1）知当，时有恒成立．

故令，．

即得恒成立．

即成立．

【点睛】

本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．

【答案】（Ⅰ）；（2）见解析.

【解析】(1)根据题目所给的条件得到解出参数值即可；（2）分别设出直线AM和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可.

【详解】

（Ⅰ）由已知可得：解得：；

所以椭圆C的方程为：．

（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以，．

设，则，即．

则直线BM的方程为：，令，得；

同理：直线AM的方程为：，令，得．

所以

．

即四边形ABCD的面积为定值2．

【点睛】

圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.