2021届海南省海口市第四中学高三第一学期第一次月考数学试卷

2021届海南省海口市第四中学高三第一学期第一次月考数学试卷

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分）

1. 已知集合1，2，3，，集合，，则

A.  B. 2， C. 2， D. 1，2，

2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则
    

A. 在上为减函数 B. 在处取极小值
C. 在上为减函数 D. 在处取极大值

3. 已知i是虚数单位，复数z满足，则复平面内表示z的共轭复数的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 设函数，则的值为

A.  B.  C. 0 D.

5. 已知集合，，若，则a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

6. 若直线过圆的圆心，则的最小值是

A. 16 B. 10 C.  D.

7. 若不等式的解集是，则不等式的解集是

1.   B.    C.    D.

8. 已知奇函数在R上是单调函数，函数是其导函数，当时，

，则使成立的x的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）

9. 下列结论正确的是．

A. 若，，则       B. 若，则
C. 若，则                 D. 若，，则

10. 下列四种说法中正确的有

1. 命题“，”的否定是“，”；
   B. 若不等式的解集为，则不等式

的解集为；
C. 复数z满足，z在复平面对应的点为（x,y）,则
D. 已知p：：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．

11. 下列说法不正确是 

A. 不等式的解集为
B. 已知p：，q：，则p是q的充分不必要条件
C. 若，则函数的最小值为2
D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是

12. 若存在m，使得对任意恒成立，则函数在D上有下界，其中m为函数的一个下界；若存在M，使得对任意恒成立，则函数在D上有上界，其中M为函数的一个上界如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界下列说法正确的是

A.2是函数的一个下界    B. 函数有下界，无上界
C. 函数有上界，无下界            D. 函数有界

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）

13. 已知i是虚数单位，则复数的实部是__________．
14. 已知，则的最小值为_____________
15. 已知函数为自然对数的底数，若在上有解，则实数m的取值范围是______．
16. 设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是_____．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. （本题满分10分）在中，A是锐角，且．
    求角A的大小；若，的面积为，求的值．

18. （本题满分12分）

等差数列中，，公差且，，成等比数列，前n项的和为．

求及；设，，求．

19. （本题满分12分）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．

完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过与性别有关”？

附：，其中．

在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；

以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望．

20. （本题满分12分）如图，四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，，E是BC上一点，且，设．

证明：平面ABCD；

若，，求二面角的余弦值．

21. （本题满分12分）已知函数．

Ⅰ当时，求函数在上的极值；

Ⅱ证明：当时，．

22.（本题满分12分）

已知椭圆：和圆：，，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直线与圆相切时，．

Ⅰ求的方程；

Ⅱ直线k：与椭圆和圆都相切，切点分别为M，N，求面积的最大值．

答案

1【答案】D解：1，2，3，，集合，，
1，，1，2，

2.【答案】C解：时，，递增，
时，，递减，时，，递增，
时，，递减，
故，处取极大值，处取极小值，

3. 【答案】C解：复数z满足，，，

4. 【答案】B解：函数，

5. 【答案】C解：，，且，
，，，因为的取值范围是．

6. 【答案】A解：由题意可得圆的圆心，
故即，，
则，
当且仅当且，即，时取等号．

7. 【答案】D解：不等式的解集是，
所以方程的解是和3，且；
即解得，；
所以不等式化为，即，
解得或，所以所求不等式的解集是．

8.【答案】A解：当时，，即；

令，则，

由题意可知，即在时单调递减，且，

所以当时，，由于此时，则不合题意；

当时，，由于此时，则不合题意；

由以上可知时，而是上的奇函数，则当时，恒成立，

所以使成立的的取值范围为

9. 【答案】BD解：对于A选项，若，，，，则，，故A错误对于B选项，若，则，所以，故B正确．

对于C选项，等价于，故C错误

对于D选项，因为，所以，又，则，故D正确．

10. 【答案】BCD  解：选项A：命题“，”的否定应该是“，”故选项A错误；选项B：因为不等式的解集为，
所以方程的两个根为和3，且．
由解出．所以不等式可化为：，
即，解得或．所以不等式的解集为故选项B正确；选项C：故选项C正确；由得到：．
当时，，所以有由题意可得：，解得；
当时，，所以有由题意可得：，解得  ．
因此，实数a的取值范围是故选项D正确．

11．【答案】ACD解：对由可得，所以或，所以A错误．对B：由可得，所以，
所以p：是q：的充分不必要条件，所以B正确．
对由，当且仅当时取等号，
但是，所以，
所以C错误．对D：若当时，不等式恒成立，
当时，不等式为恒成立，满足题意；
当时，只要，解得；
所以不等式的解集为R，则实数k的取值范围为，所以D错误．

12.【答案】ABD解：A.则，故函数的下界为2，选项A正确
B. ，则，则当时，当时，，
故在内单调选减，在内单调递增，所以有最小值m，使得在内成立，故该函数有下界，当时，，故该函数无上界，选项B正确C.，则，则当时，，
当时， ，当时， 0，
故在内单调递增，在内单调递减，在内单澜送增，
又函数在处无意义，且x一时，，当时，当时，，综上，该函数无上界，也无下界，选项C错误
D.sinx为周期函数，且，当时，．
该函数为振荡函数，函数有界，选项D正确．
13. 【答案】3 解：，则实部为3．

14.【答案】7解：因为，所以，

则
当且仅当即时取等号，

15. 【答案】【解析】解：在上有解，
存在，使得，即，设，，
问题转化为求在上的最小值，而，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
，．

16. 【答案】

【解析】解：函数，，
，
函数恰有两个极值点，

方程恰有两个正根，显然时方程的一个正根，
方程 有唯一正根，即方程有唯一正根，
等价于函数与函数在上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，
，函数在上单调递增，
又，，
函数的图象如图所示：，且，
17. 【答案】解：已知等式，利用正弦定理化简得：，
，，为锐角，；
，面积为，，即，
，，

由余弦定理得：，即，
整理得：．

18.【答案】解：由题意可得，又，
，解得：．
．
；
，

．

19. 【答案】解：完成的列联表如下：

，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过与性别有关”．
平均车速不超过的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为，所以所求的概率．
根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故．
所以；；
；．
所以X的分布列为

．

20【答案】解：证明：四边形ABCD是菱形，是AC的中点，，
，，平面PAC，平面PAC，平面PAC，
，，O是AC的中点，，
平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD；
由知平面ABCD，，
，OB，OP两两互相垂直，
以O为原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：

设，四边形ABCD是菱形，，
和都是等边三角形，，
，，，，
，，，，
，，即，
，，
设平面PAE的法向量为，
则
令，得，，
，
设平面PEC的法向量为，则
令，得，，
，
设二面角的平面角为，结合图象可知，
，
二面角的余弦值为．
21. 【答案】Ⅰ解：当时，，，
令，得或；令，得；
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得极大值为；
当时，取得极小值为．
Ⅱ证明：令，，
在上是增函数，，，
即当时，．

【答案】解：Ⅰ由题可知               

设，则由与圆相切时得，即    

将代入解得                        

所以的方程为                              

Ⅱ设，

将代入得．

由直线l与椭圆相切得即，且   

由直线l与圆相切，设，与联立得

设直线与x轴交于点Q，则．

所以的面积
，
因为当且仅当时等号成立，
所以的面积，

即面积的最大值为