2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期九月月考数学（文）试题（解析版）

2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期九月月考数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求得集合，结合集合的交集运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

2．若复数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的虚部为 C． D．

【答案】D

【解析】对z进行进行复数的除法运算化简复数，求出复数的模、虚部、共轭复数即可逐项判断正误.

【详解】

因为，所以，故A错；

的虚部为1，故B错；，故C错；，故D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查复数，涉及复数的乘方与除法运算、复数的模、复数的概念，属于基础题.

3．设，则“”是的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由，结合充要条件的定义得答案．

【详解】

由．

可得设，，则“”是的充要条件．

故选：．

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，考查指数函数的性质，是基础题．

4．已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A

【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.

详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，

又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．

故选A.

点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.

5．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用全称命题的否定是特称命题，即可直接得解.

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“，”的否定为“，”.

故选：D.

【点睛】

本题考查了全称命题的否定，属于基础题.

6．已知，，则与共线的单位向量是（ ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【解析】利用求得与共线的单位向量

【详解】

，故与共线的单位向量为，即或，故选B.

【点睛】

本小题主要考查单位向量的知识，考查共线向量的坐标表示，属于基础题.

7．已知函数的图象经过点，则　　

A．2019 B． C．2 D．1

【答案】B

【解析】由函数的图象经过点，可得，进而可得答案．

【详解】

因为函数过点，

所以，

解得：

，

所以，

故选B．

【点睛】

本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，函数求值，难度不大，属于基础题．

8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月的入贯数为（    ）

A．5 B．10 C．12 D．15

【答案】D

【解析】由题意可得该商人每月收入构成等差数列，利用等差数列的通项公式，前n项和公式，建立方程组，解之可得选项.

【详解】

由题意知该商人每月收入构成等差数列，设首项为，公差为，前项和为，

则解得．

故选：D．

【点睛】

本题考查等差数列的实际应用，关键在于熟练准确地运用等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题.

9．如图，已知、、、四点在同一条直线上，且面PAD与地面垂直，在山顶点测得点、、的俯角分别为、、，并测得，，现欲沿直线开通穿山隧道，则隧道的长为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用已知条件和正弦定理解三角形即可求得结果

【详解】

解：由题意可知，

所以，

因为，

所以在中，由正弦定理得，

即，解得，

所以在直角三角形中，，

所以，

故选：C

【点睛】

此题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题

10．如图，过点的直线与函数的图象交于A，B两点，则等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】试题分析：由正弦函数图像中心对称可知，点为点的中点．由向量加法的平行四边形法则可得,所以.故B正确.

【考点】1向量加法的平行四边形法则;2向量的模.

11．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象，则以下关于函数的结论正确的是（    ）

A．若，是的零点，则是的整数倍

B．函数在区间上单调递增

C．点是函数图象的对称中心

D．是函数图象的对称轴

【答案】D

【解析】由图象平移知，根据正弦函数的性质求得最小正周期、单调增区间、对称中心、对称轴，即可确定正确选项.

【详解】

由题意知：，则的性质有：

1、最小正周期，

2、上单调增，即，

3、有，即有对称中心，

4、对称轴有，

综上，知：是的整数倍，上不单调，不是对称中心，是一条对称轴，

故选：D

【点睛】

本题考查了三角函数，根据三角函数图象平移得到解析式，结合正弦函数的性质确定新函数的性质判断正误.

12．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.

【详解】

由，

可得，即.又，所以．

因为，所以点为的重心，

所以，所以，

两边平方得．

因为，所以，

于是，所以，

的面积为.

因为的面积是面积的倍.故的面积为．

【点睛】

本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.

二、填空题

13．已知平面向量，若，则_________.

【答案】

【解析】由向量垂直的坐标表示有，即可求的值.

【详解】

由知：，得，

故答案为：

【点睛】

本题考查了根据向量垂直的坐标表示求参数，属于简单题.

14．已知定义在R上的函数满足，当时，，则___________.

【答案】1

【解析】由已知条件可知函数的周期为2，从而可得，进而可求得结果

【详解】

解：因为定义在R上的函数满足，

所以函数的周期为2，

所以，

因为当时，，

所以，

故答案为：1

【点睛】

此题考查函数的周期性的应用，属于基础题

15．若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝_____．

【答案】﹣1

【解析】根据的单调性和零点存在性定理，判断出零点所在区间，由此求得的值.

【详解】

由于在上递增，且，，根据零点存在性定理可知的零点，所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查利用零点存在性定理判断函数零点所在区间，属于基础题.

16．己知函数，有以下结论：

①的图象关于直线轴对称    ②在区间上单调递减

③的一个对称中心是    ④的最大值为

则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.

【答案】②④

【解析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.

【详解】

，

根据图像知：

①的图象关于直线轴对称，错误

②在区间上单调递减，正确

③的一个对称中心是  ，错误

④的最大值为，正确

故答案为②④

【点睛】

本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.

三、解答题

17．已知函数.

（1）求的单调减区间；

（2）当时，求的最大值和最小值.

【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为1.

【解析】（1）由可求得的单调减区间；

（2）令，因为，则，得，可知在上单调递增，从而可求出其最值

【详解】

解：（1）函数.

令，解得

则的单调减区间为，.

（2）令，因为，则，即，

由于在上单调递增，则当时，；

当时，.即的最大值为，最小值为1.

【点睛】

此题考查正弦函数的性质的应用，考查求正弦型函数的单调区间，考查转化思想，属于基础题

18．已知数列的前项和为且．

（1）求出它的通项公式；

（2）求使得最小时的值.

【答案】（1）；（2）或8.

【解析】（1）利用“当时，；当时，”即可得出；

（2）配方利用二次函数的单调性即可得出．

【详解】

（1）当时，；

当时，．

当时，上式成立．

．

（2）．

当或8时，取得最小值．

【点睛】

本题考查了利用“当时，；当时，”求数列的通项公式、配方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19．

已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，

，.

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】【详解】

⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径， 所以，所以为等腰三角形.

⑵因为，所以.

由余弦定理可知，，即

解方程得：（舍去）

所以.

20．设函数

（1）求的单调区间；

（2）求函数在区间上的最小值．

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）1.

【解析】（1）直接求导，由得单调递增区间即可；

（2）判断的单调性即可求出最值.

【详解】

解：（1）定义域为， ，

由得，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）

，由得，

∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.

【点晴】

此题考利用导数求单调区间和最值，属于简单题.

21．已知向量.

（1）求的值；

（2）若，且，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；

（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可.

【详解】

（1）

；

（2）因为，所以，而，

所以，因为，，所以

.

因此有.

【点睛】

本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.

22．已知函数，为的导函数．

（1）设，求的单调区间；

（2）若，证明：．

【答案】（1）的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据题意，求得，解三角不等式则问题得解；

（2）构造函数，通过二次求导，判断的单调性，即可求得的最小值，则问题得解.

【详解】

（1）由已知，，

所以，，

令，得，解得，

令，得，解得，

故的单调递增区间是；

单调递减区间是.

（2）要证，只需证：．

设，，则．

记，则．

当时，，又，，所以； 

当时，，，所以，

又，，所以．               

综上，当时，恒成立，

所以在上单调递增．

所以，，即，                  

所以，在上递增，则，证毕．

【点睛】

本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道有一定难度的压轴题.