2021届湖北省武汉市江夏区第一中学高三8月月考数学试卷

2021届湖北省武汉市江夏区第一中学高三8月月考数学试卷

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2.设，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件    C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

3.已知，则的大小关系是 （    ）

A．     B．    C．    D．

4.不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a>0的解集为

A.{x|x<－1或x>}    B.{x|－1<x<}    C.{x|－2<x<1}    D.{x|x<－2或x>1}

5..函数f(x)＝的图象大致为(   )

6.已知，则的最小值为（  ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 4

7.已知函数（，，）的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是（    ）

A. 函数图象的对称轴方程为

B. 函数的最大值为2

C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行

D. 若函数的两个不同零点分别为，，则最小值为

8. 已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为(     )

A．   B.   C.   D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9、下列结论正确的是（    ）

A．， B．若，则

C．若，则 D．若，，，则

10.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递增 B．函数图象关于直线对称

C．函数在区间上单调递减  D．函数图象关于点对称

11.函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（    ）

A．2 B． C．0 D．1

12.已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（    ）

A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称

C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数

三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数的零点个数为________.

14.tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于________.

15.已知函数，若，则实数的取值范围是_____.

16.在中，角的对边分别为，且面积为，则角=_______，面积的最大值为_____.

四.解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）

17．已知,设命题函数的定义域为；命题当 时,函数恒成立，如果p,q一真一假,求的取值范围．

18.设函数，其中.已知.

（1）求和的周期.

（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最值.

19．若，，求的值.

20．在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.

21．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？

(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

22.已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.

参考答案

一、二、选择题（60分）

三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.【解析】函数f(x)=ex|lnx|﹣2的零点可以转化为：|lnx|的零点；

在坐标系中画出两个函数的图象，根据图象可得有两个交点；

故原函数有两个零点.

14.【解析】 tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)

＝·cos 10°

＝·

＝＝＝－1.

15【解析】因为

设，定义域

，所以为奇函数，

，所以单调递增，

不等式        

解得

16.在中，角的对边分别为，且面积为，则角= _______ ，面积的最大值为_____.

【答案】    (1).     (2).

【详解】

，，

.

由余弦定理得，，

（当且仅当时取等号）

.

四．解答题

17【答案】

【解析】试题分析：由，

对命题函数的定义域为可知，

， 解得；                                     ……3分

对命题当时,函数恒成立，

即函数在的最小值大于，

因为当时，，所以,即，                          ……6分

由题意可知，当可得；当可得；        ……9分

综上所述的取值范围为.                                          ……10分

18.【答案】（1），；（2）最小值，最大值

【详解】（1）因为

由题设知，

所以，故，

又，所以

周期

（2）由（1）得

将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），

得 

再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，

则，

当，

所以当，即时，取得最小值，

当，即时，取得最大值.

19.解析：因为0<α<，所以<α＋<，

又cos＝，所以sin＝，

sin 2＝2sincos＝，

cos 2＝2cos2－1＝－.

因为－<β<0，所以0<＋<，

又sin＝，所以cos＝，

sin 2＝2sincos＝，

cos 2＝1－2sin2＝.

所以cos(2α＋β)＝－cos＝

－cos 2cos 2＋sin 2·

sin 2＝.

20【解析】选择①：

，所以；

由余弦定理可得

所以

选择②

设，则，，

在中，即，所以

在中，，即，所以.

所以，解得，

又，所以，所以.

21【解析】(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，

所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.

当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.

因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．

(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，

①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，

当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；

②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，

所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.

因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．

22．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=，，

所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．

又，，

故f（x）在（0，1）有唯一零点．

综上，f（x）有且仅有两个零点．

（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．

由题设知，即，

故直线AB的斜率．

曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，

所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex。