2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求集合，，再根据集合交集运算即可得答案.【详解】解：由于，，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2．若复数满足，则复平面内表示的点位于（    ）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】A【解析】化简复数，得到复数表示的点的坐标为，即可求解.【详解】由题意，复数，可得，所以在复平面内复数表示的点的坐标为，位于第四象限.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的表示方法及其几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知，则A． B． C． D．【答案】B【解析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用诱导公式，求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值.【详解】∵，则.故选：D.【点睛】本题考查利用诱导公式，二倍角的余弦公式求值，属于中档题.5．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除C和D，代入特值排除B，可得选项．【详解】是偶函数，排除C和D又，排除B故选：A【点睛】本题考查函数的图象，考查函数奇偶性的应用，属于基础题．6．向量，，为第三象限角，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由平面向量平行的性质可得，再由同角三角函数的平方关系可得，结合诱导公式可得，即可得解.【详解】因为向量，，且，所以，所以，所以，又为第三象限角，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量平行、同角三角函数的平方关系及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（    ）斤？A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．【详解】设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得,即，解得，∴每一等人比下一等人多得金．故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于容易题．8．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 二、多选题9．(多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有（    ）A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a＞0＞b D．a＞b＞0【答案】ABD【解析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断.【详解】因为＜等价于，当a＞b，ab＞0时，＜成立，故B、D正确.又正数大于负数，A正确，C错误，故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.10．已知，函数在上单调递减，则的可能取值是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由题意利用正弦函数的单调区间，列不等式求出的范围，可得结论．【详解】当，，，， 时函数在上单调递减，且，，时，且，求得，故选：．【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于基础题．11．已知函数，当时，的取值范围为，则取下列哪些值时符合题意（    ）A．-2 B．4 C．6 D．10【答案】ABC【解析】先讨论时，时，单调递增，时，单调递减，，进而得，再讨论时，则需满足，故的取值范围为，进而得答案.【详解】解：当时，，，令得，所以当时，，时，，所以当时，单调递增，时，单调递减，所以当时，，所以当时，的取值范围为，则 当时，，的取值范围依然为，则需要满足，即，综上，的取值范围为.所以ABC均满足，D不满足.故选：ABC【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，考查分类讨论思想，是中档题.12．若二次函数的图象和直线无交点，现有下列结论：①方程一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数x都成立；③若，则必存在实数，使；④函数的图象与直线一定没有交点.其中，正确的是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】函数的图象与直线没有交点，所以或恒成立.因为或恒成立，然后再逐一判断即可得出答案.【详解】因为函数的图象与直线没有交点，所以或恒成立.因为或恒成立，所以没有实数根，故①正确；若，则不等式对一切实数x都成立，故②正确；若，则不等式对一切实数x都成立，所以不存在实数，使，故③错误；由函数与的图象关于y轴对称，所以和直线也一定没有交点. 故④正确，故选：ABD【点睛】本题考查命题真假的判断，考查二次函数的性质，考查恒成立问题，属于中档题.  三、填空题13．命题“对任何，”的否定是________．【答案】存在，【解析】对于“任何”，其否定为“存在”，对于后半部分，否定为“”，故答案为“存在，”.14．化简_________.【答案】【解析】利用分数指数幂运算法则、分数指数幂与根式的互化，进行求解运算.【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查分数指数幂运算，考查运算求解能力，求解时注意立方差公式的应用，属于基础题.15．已知，且，则的值为_____【答案】.【解析】先利用正切两角和公式求出，再利用二倍角公式求出，最后根据正切的两角差公式计算出，最后根据角的范围确定出的值.【详解】解：因为，所以.又因为，所以.所以.因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数求值，关键是和差角公式的灵活应用，属于中档题.16．已知，方程有四个实根，则t的范围为_________.【答案】【解析】由条件有，分析出函数的单调性，作出图象，根据图形结合条件，则方程有两个不同的实根，且，，从而由二次方程根的分布条件得出答案.【详解】，当时，，，易知在上是增函数.当时，，，故在上是增函数；在上是减函数，作其图象如下，且，故若方程有四个实数根，则方程有两个不同的实根，且，，又方程没有0根.故，解得.故答案为：【点睛】本题考查了根的存在性以及根的个数的判断，考查利用函数导数分析函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题. 四、解答题17．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) m≤3;(2) {m|m＜2或m＞4}.【解析】试题分析：(1)根据B是A的子集,分别讨论集合B是空集和不是空集两类,限制端点的大小关系,列出不等式组,解出m的范围;(2) 根据不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立,分别讨论集合B是空集和不是空集两类,限制端点的大小关系,列出不等式组,解出m的范围试题解析:（1）当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅，满足B⊆A．当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，只需，即2≤m≤3．综上，当B⊆A时，m的取值范围是{m|m≤3}．（2）∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，∴当B＝∅，即m＋1＞2m－1，得m＜2时，符合题意；当B≠∅，即m＋1≤2m－1，得m≥2时，或，解得m＞4．综上，所求m的取值范围是{m|m＜2或m＞4}．18．已知是数列的前项和，且满足．（1）证明为等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）当时，，求得首项为3，由题意可得，运用等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式可得，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．【详解】解：（1）证明：当时，，，可得，转化为：，即，所以注意到，所以为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（1）知：，所以，于是．【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)第一步根据降幂公式，化简，第二步，对降幂后的式子，再根据辅助角公式化简，得到，令，得到函数的单调递增区间;（2）根据三角函数的图像变换规律，“左＋右－，上＋下－”，得到函数，令，得到的值，根据的取值集合，只需大于等于 10个点的横坐标即可.试题解析：（1）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣），由最小正周期为π，得ω=1，所以，由，整理得，所以函数f（x）的单调增区间是．（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x）=2sin2x+1，令g（x）=0，得或，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．【考点】1.三角恒等变换；2.单价函数的性质；3.三角函数的图像变换.【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括，，，降幂后采用辅助角公式化简，，其中，这样函数就可以化简为.20．在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）：当时满足关系式， （为常数）；当时满足关系式.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克（1）求的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该特产的成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润最大.（x精确到0.01元/千克）【答案】(1)答案见解析；(2)销售价格元/千克时，每日利润最大.【解析】(1)由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得，则每日的销售量；(2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格元/千克时，每日利润最大.【详解】（1）因为x=2时，y=700；x=3时，y=150，所以解得每日的销售量；（2）由（1）知， 当时：    每日销售利润 （） 当或时当时，单增；当时，单减. 是函数在上的唯一极大值点， ；当时：每日销售利润=在有最大值，且 .            综上，销售价格元/千克时，每日利润最大.21．如图，在中，，，是边上一点.（1）求面积的最大值；（2）若，的面积为4，为锐角，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据已知条件建立面积的关系式，利用基本不等式求最值即可；（2）结合正余弦定理即可求解.试题解析：（1）∵在中，，，是边上一点，∴由余弦定理，得.∴，∴，∴面积的最大值为； （2）设，在中，∵，的面积为，为锐角，∴，∴，，由余弦定理，得，∴【考点】1.正余弦定理解三角形；2.不等式求最值．22．已知函数（a为实常数）（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；（2）当时，讨论方程的根的个数；（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数在上的最大值为，相应的x值为e；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）实数a的取值范围不存在.【解析】（1）当时，求得函数的导数，求得函数的单调性，进而求得函数的最值；（2）求得函数的导数，分和讨论函数的单调性，特别注意当时，求出函数在上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和的值的符号，讨论在时，方程的零点；（3）当时，得出在上为增函数，把，转化为，构造函数，由该函数为减函数，得到在恒成立，分离参数利用函数的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，，函数的定义域为，可得，当时，，当时，，所以函数在上为减函数，在上为增函数，，，所以函数在上的最大值为，相应的x值为e.（2）由，得.若，则在上，函数在上为增函数，由知，方程的根的个数是0；若，由，得（舍）或，若，即，在上为增函数，由知，方程的根的数是0；若，即，在上为减函数，又，，所以方程在上有1个实数根；若，即，在上为减函数，在上为增函数，又，，.当，即时，，方程在上的根的个数是0；当时，方程在上的根的个数是1；当时，，，方程在上的根的个数是2；当时，，，方程上的根的个数是1.（3）若，由（2）知，函数在上为增函数，不妨设，则，即为，由此说明函数在上单调递减，所以，对恒成立，即对恒成立，而在上单调递减，所以.所以满足，且对任意的，都有成立的实数a的取值范围不存在.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．