2021届江苏省镇江市名校高三上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2021届江苏省镇江市名校高三上学期10月月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届江苏省镇江市名校高三上学期10月月考数学试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据指数函数的值域求得集合由此与求交集即得.【详解】解：指数函数的值域为，，又,，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及指数函数的值域，属基础题.2．复数（i为虚数单位），则z等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得.故选：C.【点睛】本题考查复数的综合运算，掌握复数运算法则是解题基础．3．若从甲、乙、丙、丁4人中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】用列举法写出选取3名代表的所有基本事件，再对包含甲的事件计数后可求得概率．【详解】任选3名代表的所有基本事件为：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个，基本含有甲的事件有3个，∴所求概率为．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，用列举法写出所有基本事件是解题的常用方法．4．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.5．若，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据弦化切，将原式化为关于正切的方程，求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查由弦化切求三角函数值，属于基础题型.6．已知菱形的边长为4，，是的中点，则（    ）A．24 B． C． D．【答案】D【解析】根据平面向量的基本定理,将用基底表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.【详解】由已知得,,,所以,.因为在菱形中,,所以.又因为菱形的边长为4,所以,所以.故选：D【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.7．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为(  )A．94 B．95 C．96 D．98【答案】B【解析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90，100]，由题可得n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，解出n的取值范围，根据年龄为整数可得n的取值范围，再代入可得m的值．【详解】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90,100]，则有n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，则有19n+m＝1349，则m＝1349﹣19n，所以90≤1349﹣19n≤100，解得，因为年龄为整数，所以n＝66，则m＝1349﹣19×66＝95.故选：B【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．8．已知函数，，若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据分段函数解析式得到函数图象，结合图象讨论与无交点或有一个交点、两个交点、三个交点的情况下的范围，即可知正确选项.【详解】由题意，可得如下函数示意图：1、当过点时，即方程有一个实数根；2、当与在上相切时，有一个实数根，即，，有切点为，所以，得，3、当与平行时，有恰有两个不同的实数根，4、当时，有一个实数根，∴综上结合函数图象，有或或，有一个实数根；，恰有三个不同的实数根；，恰有两个不同的实数根；，无实数根； 故选：B【点睛】本题考查了函数，将方程的解转化为函数图象的交点情况，综合了函数图象、应用导数的几何意义找到切点等知识求参数范围，属于难题. 二、多选题9．设正实数满足，则下列结论正确的是（    ）A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【解析】根据基本不等式逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，故A正确.对于B，由基本不等式有即，当且仅当时等号成立，故有最大值，故B错误.对于C，因为，故，当且仅当时等号成立，故有最大值，故C正确.对于D，因为，当且仅当时等号成立，故有最小值，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（    ）A．是奇函数 B．的周期是C．的图象关于直线对称 D．的图象关于对称【答案】AC【解析】根据图像平移和三角函数的诱导公式可得，由此即可得到结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位，可得，所以是奇函数，且图象关于直线对称.故选：AC.【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换和诱导公式的应用，属于基础题.11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ）A．若点，分别是线段，的中点，则B．点到平面的距离为C．直线与平面所成的角等于D．三棱柱的外接球的表面积为【答案】ACD【解析】根据正方体的性质判断选项的正误即可.【详解】A中，在正方体中有，，即；B中，到平面的距离为侧面对角线的一半即为；C中，直线与平面所成的角的平面角为；D中，三棱柱的外接球即为正方体的外接球，则球的半径为，所以；故选：ACD【点睛】本题考查了棱柱，应用正方体的性质，结合点面距、线面角、外接球等知识判断选项的正误，属于基础题.12．关于函数，其中为自然对数的底数，下列说法正确的是（    ）A．当时，在上单调递增B．当时，在上恒成立C．对任意，在上一定存在零点D．存在，有唯一的极小值【答案】CD【解析】就的不同取值，利用导数讨论各选项的函数性质或不等式在给定的范围上是否成立后可得正确的选项.【详解】对于A，当时，，，当时，，故在上单调递减，故A不正确.对于B，当时，，此时，因为，故B错误.对于C，当时，，，故在上为单调递增函数，又，，故在上一定存在零点，故C正确.对于D，取，则，则，当时，，当时，，故有唯一的极小值点，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查函数的单调性、极值、零点，前两个函数性质都可以通过导数的符号来判断，而零点问题必须利用单调性和零点存在定理来说明，本题属于中档题.  三、填空题13．已知随机变量服从正态分布,且，则_________【答案】0.2【解析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（0＜X＜1）．【详解】∵随机变量ξ服从正态分布N（1，o2），∴正态曲线的对称轴是x＝1∵P（X＜2）＝0.7，∴P（1＜X＜2）＝0.7-0.5=0.2，∴P（0＜X＜1）＝P（1＜X＜2）＝0.2，故答案为0.2．【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．14．已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=______.【答案】 【解析】由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，得＋1＋q＋q2=.15．小明想测量一棵树的高度，他发现谁的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图1），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米（如图2），则树的高度为________.【答案】米【解析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长,然后根据物长和影长的比值计算即可.【详解】延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，在RtCFE中，∠CFE=30°， CF =4m， 所以CE=2 (米)，EF =4cos30°= (米)，在RtCED中， 同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，米，CE：DE=1：2，DE=4 (米)，BD= BF+EF+ ED=12+ (米)，在RtABD中， (米) .故答案为： (+6)米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．16．已知实数，满足，，其中e是自然对数的底数，则___________.【答案】【解析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.【详解】因为，所以，即，所以，均为方程的根，又因为方程的根唯一，所以.故答案为: 【点睛】本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题. 四、解答题17．已知平面向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，由此能求出．（2）由，得，推导出，，由此能求出．【详解】解：（1）平面向量，，，，解得，．（2），，，若，则，不满足上式，舍，，，．【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．如图，正四棱锥中，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，交于点，连接，证出，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）由（1）得出故（或其补角）为异面直线与所成的角，由，得出，在中即可求解.【详解】证明：（1）连接，交于点，连接.四棱锥为正四棱锥，四边形为正方形，为中点，为中点，为的中位线，，平面，平面，平面.（2）由（1）知：，故（或其补角）为异面直线与所成的角.，，，.由四棱锥为正四棱锥知：.为中点，，，即.，，即异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、异面直线所成的角，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.19．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。【详解】方案一：选条件①（1）解得或（舍去）（2）方案二：选条件②（1） 解得或（舍去） （2） 方案三：选条件③解得或（舍去）（2）【点睛】此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。20．华为手机的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了50%，科研人员曾就是否需采用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有12片线程结构有很大的改善.（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？（2）在“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为200元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：，.参考数据：0.150.100.050.0250.010.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828  【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握；（2）225元.【解析】（1）根据表中数据，列出列联表，计算出观测值，再利用独立性检验的基本思想即可求解.（2）计算出X的可能取值为，再根据二项分布求出概率，列出X分布列，求出数学期望，即可.【详解】（1）由题意列联表为： 使用工艺不使用工艺合计合格281240不合格2810合计302050 故， 故有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线性结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺技术有关.（2）设表示检测到第i个环节有问题（，2，3，4），X表示成为一个合格的多晶的晶圆需消耗的费用，则X的可能取值为：0，100，200，300，400，500，600，700， 表明四个环节均正常，表明第四环节有问题，表明前三环节有一环节有问题，表明前三环节有一环节及第四环节有问题，表明前三环节有两环节有问题，表明前三环节有两环节及第四环节有问题，表明前三环节有问题表明四个环节均有问题. 费用X分布列为：X0100200300400500600700P 故（元），故大约需要耗费225元.【点睛】本题考查了列联表、独立性检验的基本思想、数学期望，考查了考生的分析能力、计算能力，属于基础题.21．已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.（1）求的方程；  （2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.【答案】（1）或； （2）证明见解析．【解析】【详解】试题分析：（1）当焦点在轴时，设的方程为，当焦点在轴时，设的方程为，分别代入点，求得的值，即可得到抛物线的方程；（2）因为点在上，所以曲线的方程为，设点，用直线与曲线方程联立，利用韦达定理整理得到，即可得到，判定直线过定点.试题解析：（1）当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即.当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即，综上可知：的方程为或.（2）因为点在上，所以曲线的方程为.设点，直线，显然存在，联立方程有：.,即即.直线即直线过定点.【考点】抛物线的标准方程；直线过定点问题的判定.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线问题，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系，及韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.22．已知函数，，其中为自然对数的底数．（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）把不等式恒成立转换成最小值大于等于的问题，再利用导数求出最小值，即可得到a的取值范围；（2）利用第一问的结论结合分析法进行证明即可．【详解】（1）由条件得，令，则，．当时，恒成立，∴在上单调递增，∴，即，∴在上为增函数，∴恒成立，∴时满足条件．当时，令，解得，在上，，在上单调递减，∴当时，有，即，在上为减函数，∴，不合题意．综上：实数的取值范围为．（2）由（1）得，当，时，成立，即成立，要证不等式：，，只需证：，只需证：，只需证：成立，设，则，∴当时，恒成立，故在上单调递增，又，∴恒成立，∴原不等式成立．【点睛】本题主要考察函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转换思想以及不等式的证明，属于中档题．