2021届江西省南昌市第三中学高三上学期第四次月考数学试卷

这是一份2021届江西省南昌市第三中学高三上学期第四次月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了已知集合，，则，设复数，则的共轭复数为，命题， 曲线在点处的切线的斜率等于，在中，已知，则=，圆M，已知函数的部分，函数在时有极值0，那么的值为等内容，欢迎下载使用。
江西省南昌三中2020—2021学年度第四次月考考试高三数学（文）试卷一、 选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合，，则（     ）      A. B. C. D.2.设复数，则的共轭复数为（     ）A.  B.  C.           D. 3.命题： ，都有”的否定为（    ）A.，都有          B.，都有C. ，使得          D.，使得4.函数且是增函数的一个充分不必要条件是（   ）A.  B.  C.  D. 5. 曲线在点处的切线的斜率等于（    ）A.  B.  C.  D. 6.在中，已知，则=（   ）     A.     B. 或     C.     D.或7.已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（    ）A．      B．       C．      D．8.圆M：与双曲线C：（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心率为（     ）A.  B.  C. 2 D. 3 9.已知函数的部分图象如图所示，若，则（     ）A.        B. C.        D. 10.函数在时有极值0，那么的值为　　A. 14        B. 40       C. 48        D. 14或4011.在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则面积的最大值为　　A.  B.  C.  D. 12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知是第二象限角，且，则． 14.已知函数则的值为           ． 15.设函数的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___．16.已知高数的周期为4，且时，，若方程恰有5个实数解（其中m＞0），则m的取值范围为_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前n项和，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.  18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.  19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点、分别为和的中点. （1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.    20.已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.（1）求实数k的值；（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与相交于A、B两点.（1）求曲线、的直角坐标方程;（2）求点到、两点的距离之积.23．已知a、b、，且．（1）当时，求的最小值；（2）证明：．
南昌三中2020—2021学年度第四次考试高三数学（文）答案二、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（ B   ）A. B. C. D.2.设复数，则的共轭复数为（  A  ）A.  B.  C.           D. 3.命题： ，都有”的否定为（  D   ）A.，都有          B.，都有C. ，使得          D.，使得4.函数且是增函数的一个充分不必要条件是（  C  ）A.  B.  C.  D. 5. 曲线在点处的切线的斜率等于（  B  ）A.  B.  C.  D. 6.在中，已知，则=（ B  ）     A.     B. 或     C.     D.或7.已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（  D  ）A．      B．       C．      D．8.圆M：与双曲线C：（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心率为（  A  ）A.  B.  C. 2 D. 3 9.已知函数的部分图象如图所示，若，则（  C  ）A.        B. C.        D. 10.函数在时有极值0，那么的值为　　A. 14        B. 40       C. 48      D. 14或40【详解】函数，，若在时有极值0，可得，则，解得：，或，，当，时，满足题意函数在时有极值0．当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．．故选B．11.在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则面积的最大值为A.  B.  C.  D. 【详解】由已知，，如图所示；
可构造的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，
当运动到弧中点时，面积最大，
此时为等腰三角形，
其面积为．
故选：D．
12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【详解】设，则时，，为偶函数，在上是增函数，时单调递减.所以可得，，即，实数的取值范围为，故选A. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知是第二象限角，且，则．答案： 14.已知函数则的值为           ．答案：  15.设函数的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___．答案： 16.已知高数的周期为4，且时，，若方程恰有5个实数解（其中m＞0），则m的取值范围为_____________．答案： 【详解】有5个解，等价于为与的图象有5个交点，在同一坐标系内画出函数与的图象，如图.求出直线过点和直线与半圆相切时的的值分别为，由图可得时，与的图象有5个交点，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题满分12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前n项和，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.【详解】（1），（2）由（1）得所以，即  18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）将7人中睡眠不足的4人分别记为 , , , ,睡眠充足的3人分别记为 , , ，现从这7人中随机抽取2人的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，共21种情况.其中至少有1人睡眠充足的情况有：，，，，，，，， ，，，，，，，共15种情况.设所求概率为，则.   19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点、分别为和的中点. （1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.【详解】（1）取的中点，连结、，由题意，且，且，故且，所以，四边形为平行四边形，所以，，又平面，平面，所以，平面.（2）设点到平面的距离为.由题意知在中， ，在中，在中，故，，，，所以由得：，解得.      20.已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.（1）求实数k的值；（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.【详解】（1），，由题意得，，即，∴（2）由，可知在上单调递减，在上单调递增，当时 ，有最小值，又时，；时，若方程有两个不相等实根，则有.（3）由（1）可知，，，，，易知，当时，单调递增，当时，，单调递减，所以即恒成立，所以在上单调递减.21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程．【详解】（1）设椭圆方程为（），由两圆交点在椭圆上，，得，由离心率为，，得，所以椭圆的方程为．（2）因为点的坐标为，所以直线的方程为，代入椭圆方程得到：，因为，所以，，又因为直线与轴的交点坐标为，点的坐标为，所以，解得或，所以，直线的方程为或．   选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与相交于A、B两点.（1）求曲线、的直角坐标方程;（2）求点到、两点的距离之积.【详解】由曲线的极坐标方程可得曲线的直角坐标方程为, 由曲线的参数方程可得曲线的普通方程为, （2）将曲线的参数方程 (t为参数),代入曲线的普通方程得：, 设、两点对应的参数分别为、，∴,  ， 可得.23．已知a、b、，且．（1）当时，求的最小值；（2）证明：．【详解】（1），且，所以，
则
，
当且仅当时取到等号，
，，
所以，
当且仅当，即时取到等号，
当时取到最小值为9；
（2），
由柯西公式：
当且仅当时取到等号，
得，
又因为，所以，
即
当且仅当即时取到等号．