2021届宁夏青铜峡市高级中学高三上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2021届宁夏青铜峡市高级中学高三上学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】

由题意得，，则

．故选C．

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【详解】

可知: 命题：，为假命题，由函数图象可知命题为真命题，所以为真命题．

【考点】命题的真假判断．

3．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.

【详解】

解：∵，
，

则，
∴函数的零点所在区间是 ，

当，且时，

，

，

，

ACD中函数在区间端点的函数值均同号，

根据零点存在性定理，B为正确答案.
故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.

4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据奇偶函数的定义，函数的单调性即可判断每个选项的正误.

【详解】

对于A，在上单调递减，故A错误；

对于B，为偶函数，且时，为增函数，故B正确；

对于C，反比例函数为奇函数，故C错误；

对于D，既不是奇函数，也不是偶函数，故D错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.

5．若，，，则a，b，c的大小关系是 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．

【详解】

解：

，，

，

故选B．

【点睛】

本题主要考查数的大小比较，一般来讲要转化为函数问题，利用函数的图象分布和单调性比较，有时也用到0，1作为比较的桥梁．

6．若向量，满足，若，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由向量垂直可得方程，即可求与的夹角.

【详解】

由有：，令与的夹角为，

∴，得

∴，

故选：C

【点睛】

本题考查了利用向量垂直求向量的夹角，根据向量垂直的数量积公式求夹角，属于基础题.

7．要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】C

【解析】化简函数的解析式为，利用三角函数图象的平移规律可得出结论.

【详解】

，

只需把的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数图象的平移变换，要注意将两个函数化为同名函数，考查计算能力，属于基础题.

8．函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为 (　　)．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，

故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，

由当时，y=1>0，

当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.

由此可排除选项A和选项C.

故正确的选项为D.

故选D.

9．中角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状为（    ）

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【解析】根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.

【详解】

因为，所以，

即，

所以，

因为B，C为三角形内角，所以，即，

因此为直角三角形.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查判定三角形的形状，属于常考题型.

10．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】【详解】

∵

∴−=3(−)；

∴=−.

故选A.

11．已知，其部分图象如图所示，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得，再根据五点作图法求得即可.

【详解】

由图可知，解得；

又因为，故可得；

由五点作图法可知，解得，

故.

故选：D.

【点睛】

本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.

12．已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．为的一个零点

C．在上的最小值为

D．的单调递增区间为

【答案】D

【解析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值，进而求得的最小正周期，判断出点的零点、单调区间以及在区间上的最小值，由此确定正确选项.

【详解】

因为函数在上单调，所以，得.

又直线为的图象的对称轴，所以，得，所以.

的最小正周期为，故A错误；

，故B错误；

当时，，则的最小值为0，故C错误；

令，解得，即的单调递增区间为，故D正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查三角函数图象与性质，属于中档题.

二、填空题

13．函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】求出使解析式有意义的自变量的范围即可．

【详解】

由题意，解得或．

故答案为：

【点睛】

本题考查求函数的定义域，求出使函数式有意义的自变量的取值范围即得，掌握对数函数性质是解题关键．

14．已知是定义在上的奇函数，当时，为常数)，则 _______.

【答案】-4

【解析】由题设条件可先由函数在上是奇函数求出参数的值，求函数函数的解板式，将代入解析式即可求得所求的函数值．

【详解】

因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，所以，所以，故答案为.

【点睛】

本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用求出参数的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想．

15．________.

【答案】

【解析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果．

【详解】

由题意得

．

故答案为．

【点睛】

解答此类问题时，要根据所给式子的特点进行合理的变形，运用相应的公式进行求解，逐步化为同角的形式，然后通过约分等手段达到求解的目的，解题的关键是进行角的变换和三角关系式结构的变换．

16．已知，，，则的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】由已知得，然后由得，再根据二次函数的性质可求出函数的最值

【详解】

解：因为，，

所以

因为，所以，

所以当时，有最大值，

当时，有最小值1，

所以，
故答案为：

【点睛】

此题考查向量的数量积运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查二次函的性质的应用，属于基础题

三、解答题

17．已知向量.

（1）求的值；

（2）若，且，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；

（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可.

【详解】

（1）

；

（2）因为，所以，而，

所以，因为，，所以

.

因此有.

【点睛】

本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.

18．某船在海面处测得灯塔在北偏东方向，与相距海里，测得灯塔在北偏西方向，与相距海里，船由向正北方向航行到处，测得灯塔在南偏西方向，这时灯塔与相距多少海里？在的什么方向？

【答案】见解析

【解析】作AE⊥BD于E，CF⊥AD于F，根据题意求出∠B的度数，根据正弦的概念求出AE的长，得到AD的长，根据直角三角形的性质求出DF、CF的长，得到答案．

【详解】

解：作AE⊥BD于E，CF⊥AD于F，

由题意得，AB＝海里，AC＝海里，∠BAD＝75°，∠ADB＝60°，

则∠B＝45°，

∴AE＝×AB＝15海里，

∵∠ADB＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴AD＝30，

∵∠DAC＝30°，AC＝10海里，

∴CF＝AC＝5海里，AF＝15海里，

∴DF＝15海里，又FC＝5海里，

∴CD＝＝10海里，

则∠CDF＝30°，

∴灯塔C与D相距10海里，C在D南偏东30°方向．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线、构造直角三角形、灵活运用三角函数的概念是解题的关键．

19．已知函数

（Ⅰ）求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．.

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算（1），（1）的值，利用点斜式求出切线方程即可；

（Ⅱ）求出函数的单调区间，求出函数的极值和端点处函数值，比较大小求出最值即可．

【详解】

，的定义域是，

（Ⅰ），

故（1），（1），

故切线方程是：，

即；

（Ⅱ），

令，解得：或，

令，解得：，

故在，递增，在递减，在，递增，

而，，，（2），

故（2），．

【点睛】

本题考查了求函数的切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，是一道常规题．

20．在中，分别是角的对边，且．

（1）求的大小；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）

（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）由

又所以.           

（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得，所以

点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的

.

21．已知函数

（Ⅰ）若函数f(x)在x＝e处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）若对所有，都有f（x），求实数a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ） ．

【解析】（Ⅰ）由题意可得（e），代入即可求解；

（Ⅱ）将问题转化为在上恒成立，令，利用导数求得的范围，即可求得的取值范围．

【详解】

（Ⅰ）函数，则，

由函数在处取得极值，可得（e），

解得．经检验，符合题意.

（Ⅱ）若对所有，都有，则在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

在上，，函数单调递减，

所以（1），

所以．

故实数的取值范围是，．

【点睛】

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，属于中档题．．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.

（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；

（2）设直线与曲线的两个交点为，求的值.

【答案】(1) 线的普通方程为 ;(2)6.

【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得P点的直角坐标，消去参数可得曲线C的普通方程为；（2）本问考查直线参数方程标准形式下t的几何意义，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值.

试题解析：(1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，

所以，消去参数的曲线的普通方程为：.

(2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：

，设其两个根为，，所以：，，

由参数的几何意义知：.

23．已知函数，不等式的解集为．

（1）求实数的值；

（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）去掉绝对值，求出x的范围，根据不等式的解集，得到对应关系，求出a的值即可；
（2）根据绝对值的性质求出f（x）+f（x+5）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．

详解：

（1）由，得，∴，

又的解集为．解得：；

（2）．

又对一切实数x恒成立，

点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值三角不等式的性质，是一道中档题．