25.宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三第二次月考数学（理）试卷

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数学试卷（理科）

一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集，A={2,3,4}，,=（   ）

 A．{2,3}      B．{1,2}   C．{4}        D．{3,4}

2．下列有关命题的说法正确的是（    ）

A．命题“若x2=4，则x=2”的否命题为：“若x2=4，则”．

B．“”是“x2- x -2=0”的必要不充分条件．

C．命题“使得”的否定是：“对 均有”．

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．

3.已知函数f (x)＝  ，则f (3)的值等于(　　)

A．－2        B．2           C．1          D．－1

4．已知命题p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：关于x的函数y＝(2a－1)x在[1，＋∞)上是减函数，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.        B.        C.         D.

5.下列导数运算正确的是(  )

A.                      B. 

C.              D.  

6．幂函数在为增函数，则m的值为（   ）

A. 1或3             B. 1         C. 3         D. 2

7．已知f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是(　　)

A.(－1,0)           B．(0,1)           C．(1,2)          D．(2,3)

8．函数图象的大致形状为（    ）

A． B．  C．D．

9．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3)       B．(1,2)        C．(0,3)      D．(0,2)

10．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则（     ）

A.－1       B.  0        C. 1         D. 35  

11．已知函数y= f (x) 的周期为2，当x时 f (x) =x2 ，那么函数y = f (x) 的图像与函数y =的图像的交点共有  (     )

A. 10个    B. 9个      C. 8个       D. 1个

12．已知，，且，，，恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13. 函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是__________．

14．函数f(x)＝lg(x2－5x＋6)的单调递减区间为__________． 

15．已知函数对任意不相等的实数，，都有，则的取值范围为__________．

16．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，给出关于f(x)的下列命题：

①函数y＝f(x)在x＝2时，取极小值；

②函数f(x)在[0,1]是减函数，在[1,2]是增函数；

③当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点；

④如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最小值为0，其中所有正确命题的序号为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每题必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分，每题12分

17．已知f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)=ln（﹣x）+3x，求曲线y=f(x)

在点（1，3）处的切线方程.

18．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

(2)若不等式f(x－t)＋f≥0对一切x∈R恒成立，求满足条件实数t的取值范围．

19．设函数f(x)＝ax－－2ln x.

(1)若f(x)在x＝2时有极值，求实数a的值和f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

20．设函数，其中．

（1）当m=0时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．

21．已知函数f(x)＝axln x图象上点(e，f(e))处的切线与直线y＝2x平行(其中e＝2.718 28…)，g(x)＝x2－bx－2.

(1)求函数f(x)的解析式；      (2)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；

(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求实数b的取值范围

（二）选考题：共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）点和点分别为曲线，和曲线上的动点，求的最小值，并写出当取到最小值时点的直角坐标．

23．【选修4-5：不等式选讲】

已知，，，函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）（2）当的最小值为3时，求证：≥3．

2020--2020学年第一学期高三第二次月考

数学试卷（理科）答案

一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.  (2,3)       14.  (－∞，2)     15.        16.①③④

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每题必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（12分）解：设x＞0，则-x<0.      因为x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x ，   

    所以f(-x)=lnx-3x，    又因为f(-x)= - f(x)，

可得f′（1）=-1+3=2，

则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程为:

y﹣3 =2（x﹣1），即为y=2x+1．

 18.（12分）解：(1)∵f(x)的定义域为R，关于坐标原点对称，

又f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，

任取x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝ex2－e－x2－ex1＋e－x1＝(ex2－ex1)＋＝(ex2－ex1)，

又y＝ex在R上为增函数且ex>0，

∴ex2>ex1，∴(ex2－ex1)>0，

∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．

(2)由(1)知f(x)在R上为奇函数且单调递增，由f(x－t)＋f≥0得f≥f(t－x)．

由题意得x2－≥t－x，即t≤x2＋x－恒成立，又x2＋x－≥－，∴t≤－.

综上得t的取值范围是.

19.（12分）解：(1)∵f(x)在x＝2时有极值，∴有f′(2)＝0，

又f′(x)＝a＋－，∴有a＋－1＝0，∴a＝，

∴有f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，由f′(x)＝0有x1＝，x2＝2，

∴f(x)的递增区间为和[2，＋∞)，递减区间为.

(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0在x>0时恒成立，

∵f′(x)＝a＋－＝，

∴需x>0时ax2－2x＋a≥0恒成立，

化为a≥恒成立，∵＝≤1，∴a≥1.

20. （12分）解：（Ⅰ）当m=0时，f(x)= -x2+3.        

此时，则.

由，解得.      

由; ;

∴在，上单调递减，在上单调递增.  

所以有极小值，有极大值.     

   （Ⅱ）由，得.

   所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.             

         对函数求导，得.  

         由，解得，.   

        由;     由.

         ∴在，上单调递减，在上单调递增.     

         又因为，，，，

         所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                          

       ∴当或时，函数在区间上有两个零点

21.（12分）解：(1)由f(x)在点(e，f(e))处的切线方程与直线2x－y＝0平行，得该切线斜率为2，即f′(e)＝2.

又∵f′(x)＝a(ln x＋1)，令a(ln e＋1)＝2，a＝1，所以f(x)＝xln x.

(2)由(1)知f′(x)＝ln x＋1，显然f′(x)＝0时x＝e－1.

当x∈时f′(x)<0，所以函数f(x)在上单调递减，当x∈时，f′(x)>0，

所以函数f(x)在上单调递增，

①当∈(t，t＋2]时，f(x)min＝f＝－，

②当≤t<t＋2时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，

因此f(x)min＝f(t)＝tln t，所以f(x)min＝

(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，又g(x)＝x2－bx－2，∴3xln x≥x2－bx－2，

即b≥x－3ln x－.

设h(x)＝x－3ln x－，x∈(0，e]，

则h′(x)＝1－＋＝＝，由h′(x)＝0得x＝1或x＝2，

∴x∈(0,1)，h′(x)>0，h(x)单调递增，

x∈(1,2)，h′(x)<0，h(x)单调递减，

x∈(2，e)，h′(x)>0，h(x)单调递增，

∴h(x)极大值＝h(1)＝－1，且h(e)＝e－3－2e－1<－1，

所以h(x)max＝h(1)＝－1.

因为对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，

∴b≥h(x)max＝－1.故实数b的取值范围为[－1，＋∞)．

22. （10分）解：（1）由，得，

把代入，化简得曲线的直角坐标方程为．

（2）设，由点到直线的距离公式得

，

其中，，

∴，此时有，

，，

∴．

23.（10分）解：（1），∴或或，

解得．

（2），

．

当且仅当时取得最小值3．