人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第二课时教案

《等式性质与不等式性质（第二课时）》

教学设计

1．通过梳理等式基本性质及其本质属性，类比等式的基本性质的研究方法探索不等式的基本性质，体会类比思想及分类讨论思想在解决问题中的应用，发展学生逻辑推理素养．

2．运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质，运用不等式的性质证明一些简单的命题，发展学生逻辑推理素养．

教学重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异．

教学难点：类比等式的性质研究不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异．

PPT课件．

一、创设情境，明确目标

问题1：上节课我们知道了现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，学会从现实问题中抽象出不等式，知道解不等式要用不等式的性质，今天我们来学习不等式的性质．因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质．首先梳理一下，等式都有哪些性质？

师生活动：学生自主思考，教师通过提问，对等式性质不断完善．在提问过程中，让学生明白每一个性质反映出不等式的特性．学生容易回答出等式的性质3至5，对于性质1和2需要教师借助问题引导：“等式自身还有哪些特性？”

预设的答案：

性质1：如果a=b，那么b=a；

性质2：如果a=b，b=c，那么a=c；

性质3：如果a=b，那么a±c=b±c；

性质4：如果a=b，那么ac=bc；

性质5：如果a=b，c≠0那么．

设计意图：从上节课所学的内容出发，引入本节课，有助于学生从整体上认识本节课的内容，同时通过等式和不等式的联系，明确不等式性质的研究是类比等式来研究的，确定研究方法．

追问：观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么？

师生活动：学生先观察，如果学生不能发现就由教师来讲解．

性质3，4，5具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算，是从运算的角度提出的，性质3可以看作同一种运算，即加法运算，性质4和5可以看作是乘法运算．性质1是等式的对称性，性质2是等式的传递性，是等式自身的特征．

教师总结：可见，等式的基本性质有“相等关系自身的特性”和“相等关系对运算保持不变”两种．这两个方面反映了式大小关系的本质属性．

设计意图：通过学生回忆、分析等式的基本性质，并对性质分类、归纳和深入分析，梳理等式的基本性质的研究角度和方法，为研究不等式的基本性质明确方向．

二、合作探究，体会类比

问题2：类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？写出你的猜想．

师生活动：学生独立思考，之后展示交流．如果学生有困难，教师可以提示从不等式的“自身”和“运算”两个视角研究不等式的基本性质．

预设的答案：

性质1：如果a＞b，那么b＜a；

性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；

性质3：如果a＞b，那么a+c＞b+c；

性质4：如果a＞b，那么ac＞bc；

性质5：如果a＞b，c≠0，那么．

设计意图：由学生自主发现研究问题的方法，用类比的方法来猜想出不等式的性质．

追问1：类比得到的结论一定正确吗？如何论证或者反驳？

师生活动：教师引导学生从第一个性质开始，逐一进行分析，在对不等式性质1-3的分析中，教师引导学生从实数的大小关系的基本事实及实数的其他性质进行证明，首先将条件用实数大小关系表示出来，再利用大小关系进行证明．由于学生对代数证明比较生疏，所以教师可以示范其中之一，然后学生模仿完成．注意订正学生在此处证明中容易出现循环论证的错误．

实数的其他性质有：

（1）两个实数大小关系的基本事实；

（2）正数大于0 ，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数；

（3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数；

（4）两个正数的和是正数，两个负数的和是负数；

（5）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．

但是，不需要一下子提供给学生，在需要的时候指明即可．

预设的答案：

性质1证明：∵a＞b，∴a-b＞0，

又由于正数的相反数是负数，∴-(a-b)＜0，即b-a＜0

∴b＜a

性质2证明：∵a＞b，b＞c，

∴a-b＞0，b-c＞0

根据两个正数的和还是正数，得(a-b)+(b-c)＞0，

∴a-c＞0，∴a＞c．

性质3证明：∵a＞b，∴a-b＞0，

∴(a+c)-(b+c)= a-b＞0

∴a+c＞b+c

追问2：从不同角度表达不等式的性质，可以加深理解，用文字语言怎样表达性质3？

师生活动：教师引导学生先独立思考，再进行交流．并不断对学生的语言表述进一步规范．

预设的答案：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．

追问3：两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？

师生活动：教师展示课件，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另外两个点A1和B1，A与B和A1与B1的左右位置不变，学生直观感受不等式的几何意义，并体会向左或向右移动时，对应的实数c的正负．

设计意图：为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解．

追问4：在等式中，如果a+b=c，那么a=c-b，你会利用性质3得到不等式中的移项的结论吗？

设计意图：从等式的角度出发，提出问题，学生可以类比得到不等式中的移项结论，同时也是性质3的一个简单应用．进一步提高学生数学思维的逻辑性．

师生活动：学生类比得到结论：如果a+b＞c，那么a＞c-b，教师引导学生从性质3出发来证明这个结论，并从文字语言角度进行表述．

问题3：上述的性质4和5正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？

师生活动：学生发现两个结论不正确，并通过举例进行反驳．教师引导学生思考，需要加上什么条件，才能使结论正确，并利用作差比较来分析，发现ac-bc=(a-b)c，由于a-b＞0，所以(a-b)c的正负由c的正负决定，从而需要分析讨论．得到性质4的准确表述：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．

追问1：用文字语言怎样表述此性质？

师生活动：先由学生表述：“不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向”．教师总结此性质反映了“不等式在乘法运算中的规律性”．同时教师强调可以把“乘法”“除法”合并为“乘法”，高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运算，此性质仍为基本性质．

设计意图：让学生体会类比得到的结论不一定正确，并进行修正和证明，一方面让学生经历类比的探究过程，了解类比得到的猜想不一定正确，并学会用举反例的办法进行反驳；另一方面使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想需要证明，证明要有依据”．

问题4：上面通过类比，从不等式的“自身”和“运算”两个视角，得到了不等式的四条基本性质．不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？

师生活动：引导学生从共性和不同两个方面去总结．两者都具有“自身特性”和“运算中的不变性、 规律性”．教师强调由于不等号具有方向性，所以“自反性”和“两边同乘负数时，不等号变号”是不等式表现出的特性．

设计意图：通过总结两者共性和差异，进一步明确加深对不等式性质的理解，尤其是性质4的理解．

问题5：利用不等式的基本性质，你还能得到哪些不等式性质？比如在性质3中，不等式的两边同加同一个实数．如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？试试用不等式的性质证明你的猜想．

师生活动：学生猜想“大数加大数，大于小数加小数”，教师引导学生将其用数学符号表示，即“如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d”．然后让学生独立证明，小组交流证明过程，说出每一步的依据．

预设的答案：

证明：∵a＞b，c＞d ，∴a-b＞0 ，c-d＞0．

∴(a-b)+(c-d)＞0，即(a+c)-(b+d)＞0．

∴a+c＞b+d．

设计意图：利用不等式的基本性质，推出其他常用的不等式性质，为以后的推理作准备．

追问1：你能用不等式性质证明吗？

师生活动：教师引导学生从性质2和3出发，思考如何寻找一个实数，利用性质2将 a+c和b+d联结，联想到实数b+c．要求学生写出证明过程．教师总结这种方法是不等式性质的应用，它的证明为为综合运用不等式的基本性质证明不等关系提供了范例．同时强调这个结论是今后进行逻辑推理的一个重要的理论基础，总结为性质5．

预设答案：

证明：由性质3，得a+c＞b+c，c+b＞d+b；由性质2，得a+c＞b+d．

问题6：在基本性质4中，不等式的两边同乘同一个实数．如果同乘不同的实数，能得到什么结论？

预设方案：学生猜想“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd”．

追问1：你认为上述结论是否正确？为什么？如何修正？

师生活动：先由学生回答，教师引导学生回到不等式基本性质4中来分析，或者学生可以举反例来说明．在修正时，引导学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的．师生共同修改为“如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd”，由学生课后进行证明．教师指出此为不等式性质6．

追问2：如果性质6中a=c，b=d，能得到什么结论？

师生活动：学生可以得出“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”，并能推广到“如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）”．教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例．教师指出以“不等式在运算中的不变性、规律性”为研究抓手，还能推导出很多不等关系，鼓励同学们多发现、提出和证明一些结论．

设计意图：让学生经历“猜想—证明—修正—再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程，加深学生对类比学习的理解；在探究过程中让学生充分认识到“运算中的不变性、规律性”在研究不等式性质中的作用，加深学生对不等式性质的认识，从而发展学生逻辑推理的核心素养．

三、知识应用，加深理解

例1：已知a＞b＞0，c＜0，求证：．

师生活动：师生共同分析问题中的条件和结论，发现条件和结论之间的联系不太明显，因此先从结论出发，寻求使式子成立的条件，并和已知条件相结合寻找思路．在分析问题后，要求学生自主写出证明过程，并展示学生作答情况，对不规范的地方给予纠正．

预设的答案：

证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，，

于是，即．

又由c＜0，得．

设计意图：本题是不等式基本性质的应用，体现“分析法”寻找证明思路和“综合法”的表达方式，隐含了“夹逼法”，即分别从已知和结论两个方向进行化简，找到化简之后的式子的联系，从而证明．有助于提高学生分析解决问题的能力，提升学生的数学应用意识．

四、课堂小结，布置作业

问题8：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历什么过程？

预设方案：学生能回答，先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质．

经历的过程：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思”的过程．

设计意图：从知识和思想方法的角度进行课堂小结，有助于学生在学会知识的同时，又学会思想方法，这样可将知识与思想方法共同纳入到认知结构中．

作业：习题2．1第5，7，8，11，12题

五、目标检测设计

1．用不等号“＞”或“＜”填空：

（1）如果a＞b，c＜d，那么a-c____b-d；

（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac____bd；

（3）如果a＞b＞0，那么；

（4）如果a＞b＞c＞0，那么．

2．已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：．

3．已知3＜x＜4，2＜y＜7，求2x+y，x-3y及的取值范围．

参考答案：

1．（1）＞  （2）＜  （3）＜  （4）＜

2．证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，，

∴，即．

又∵c＜d＜0，∴-c＞-d＞0，∴

∴，即，

∴

3．2x+y的取值范围为[8，15]，x-3y的取值范围为[-18，-2]，的取值范围为[，2]