人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示教案设计

《函数的概念及其表示习题课》教学设计

1．复习函数的概念以及构成函数的要素，能求简单函数的定义域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；能用分段函数正确表示一些相关的函数问题，构建函数性质的概念及其表示的知识结构．

2．能应用函数与方程、化归与转化、数形结合、分类与整合的思想进行抽象概括、运算求解，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养．

教学重点：理解函数的概念，结合实际问题选择恰当的方法表示函数，掌握分段函数的表示及其图象．

教学难点：在具体的问题中，如何抓住条件，解决问题．

用软件制作动画；PPT课件．

一、复习导入

问题1：请同学们浏览第3.1节（课本P60～P71）的内容，你能梳理一下本小节的学习过程吗？

师生活动：学生先独立阅读思考，老师根据学生的回答补充．

预设的答案：答案如图1．

设计意图：引导学生梳理学习内容，构建函数的概念及其表示的知识结构．

引语：函数是贯穿高中数学课程的主线，这节课我们一起来夯实与之相关的基本概念．（板书：函数的概念及其表示习题课）

二、新知探究

1．函数的概念及其构成要素

例1  （习题3.1 P72第1题）

求下列函数的定义域：

（1）f(x)＝；

（2）f(x)＝；

（3）f(x)＝；

（4）f(x)＝．

师生活动：老师先引导学生回忆求定义域的一般步骤，然后学生独立完成，老师点评．

追问：求解函数定义域的一般步骤是什么？（第一步：根据解析式有意义转化成不等式；第二步：解不等式或不等式组求得原来函数的定义域．）

预设的答案：

（1）要使该函数有意义，则需x－4≠0．

解得：x≠4．

所以函数f(x)的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)．

（2）要使该函数有意义，则需x2≥0．

解得：x∈R．

所以函数f(x)的定义域为R．

（3）要使该函数有意义，则需x2－3x＋2≠0．

解得：x≠1且x≠2．

所以函数f(x)的定义域为 {x|x≠1且x≠2}．

（4）要使该函数有意义，则需．

解得：．

所以函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，4]．

设计意图：例1借助求解函数的定义域，加深学生对函数概念的理解，训练学生运用函数与方程的思想进行运算求解的能力．

例2  （习题3.1 P72第2题）

下列哪一组中的函数f(x)与g(x)是同一个函数？

（1）f(x)＝x－1，g(x)＝ －1；

（2）f(x)＝x2，g(x)＝()4；

（3）f(x)＝x2，g(x)＝．

追问：判断两个函数是否相等的一般的步骤是什么？（第一步，求两个函数的定义域．第二步，判断定义域是否相同．若否，则不是相等函数，结束判断；若是，则进行第三步．第三步，化简两个函数的解析式，若解析式也相同，则为相等函数；若解析式不相同，则不是相等函数．）

师生活动：老师先引导学生回忆判断函数是否相等的一般步骤，然后学生独立完成，老师点评．

预设的答案：第（3）组中，二者的定义域均为R，且＝x2，因此解析式也相同，所以f(x)＝x2与g(x)＝是同一个函数．

第（1）组中，f(x)＝x－1的定义域为R，g(x)＝－1的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，所以不是同一个函数．

第（2）组中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝()4的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，所以不是同一个函数．

设计意图：例2借助判断函数是否相等，加深学生对函数概念的理解，训练学生运用化归与转化的思想进行运算求解的能力．

例3  （习题3.1P74第16题）

给定数集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，①

（1）任给u∈A，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断v＝f(u)是否为函数并说明理由；

（2）任给v∈B，对应关系g使方程①的解v与u对应，判断u＝g(v)是否为函数并说明理由．

追问1：判断某个给定的对应关系是否函数的依据是什么？（函数的概念，具体内容是：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．）

师生活动：老师引导学生寻找判断的依据，学生应用函数的概念独立判断，老师点评．

预设答案：（1）根据u2＋2v＝0，可得v＝－，任给u∈A，根据对应关系v＝－，在数集B中都能找到唯一的元素v＝－与之对应，所以是函数．

（2）根据u2＋2v＝0，可得u＝±，任给v∈B且v≠0，根据对应关系u＝±，在数集A中都能找到两个元素u＝±与之对应，所以不是函数．

追问2：结合v＝f(u)和u＝g(v)的图象验证你的判断，其中v＝f(u)和u＝g(v)的图象分别如图2和图3．

（根据图4，在横轴上任取一点u＝u0，过该点作横轴的垂线，与曲线有且仅有一个交点（u0，v0），即对于任意的u0∈R，按照对应关系①有唯一的v0与之对应，所以v＝f(u)是函数．根据图5，在横轴负半轴上任取一点v＝v0，过该点作横轴的垂线，与曲线有两个交点（v0，u0）、（v0，－u0），即对于任意的v0∈(－∞，0)，按照对应关系①有两个值与之对应，所以u＝g(v)不是函数．）

追问3：根据方程u2＋2v＝0，写出一个对应关系h使它成为u关于v的函数．（u＝－或u＝．）

设计意图：通过例3对函数概念进行辨析，帮助学生深入理解函数的概念，感受函数对应关系的多样性．

2．求函数的解析式

例4  （1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；

（2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；

（3）已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．

师生活动：第（1）小题大部分学生能比较顺利地完成，其它两个小题需要老师合理的引导、讲解、示范以及学生的模仿练习完成．

预设答案：

（1）由f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由f(0)＝1，得c＝1，

则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x

这个式子对于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，

解析式为f(x)＝x2－x＋1．

（2）方法一：令x＋1＝t，则x=t－1．

将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，

则解析式为f(x)＝x2－5x＋6．

方法二：x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1

＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，

即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，

则解析式为f(x)＝x2－5x＋6．

（3）因为对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2 ……②，

所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2 ……③，

2×③－②得：3f(x)＝－9x－2，

则解析式为f(x)＝－3x－．

教师点拨：

第（1）题中的方法叫待定系数法，适用于当函数类型给定，且函数某些性质已知时求函数解析式的题型．

第（2）题中的方法一叫换元法，适用于已知函数f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式的题型．具体步骤为：令g(x)＝t，并反解出x，然后x把代入f(g(x))中，求出f(t)，从而求出f(x)；

第（2）题中的方法二叫凑配法，适用于已知函数f(g(x))的解析式，且f(g(x))的表达式可变形为关于g(x)的形式，从而将式子两端的g(x)看成一个整体代换为函数的自变量，从而求出f(x)；

在这两种方法中，都要注意函数的定义域，方法一中函数的定义域为新元t的取值范围；方法二中函数的定义域为g(x)的值域．

第（3）题中的方法叫方程组法，适用于当函数f(x)满足形如af(x)＋bf(－x)＝g(x)（a≠b且ab≠0）或af(x)＋bf()＝g(x)（a≠b且ab≠0）等关系时，我们可以用－x或代替关系式中的x，将得到的新式子与原关系式联立方程组，经消元后将f(x)从方程组中解出来．

设计意图：解析式是高中阶段函数的主要表示方法，同时也是我们研究函数的主要依据．但函数解析式较为抽象，求解析式对于高一学生是一个难点，例4涉及了四种常见的求函数解析式的方法，帮助学生初步理解抽象问题的处理方法，提升学生的数学抽象和数学运算素养．

3．分段函数

例5  （习题3.1P73第13题）

函数f(x)＝[x]的函数值，表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．当x∈(－2.5，3]时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象．

预设答案：f(x)＝  函数f(x)的图象如图6．

追问1：设函数g(x)＝x－[x]，x∈(－2.5，3]，写出函数g(x)的解析式，并画出函数g(x)的图象．（g(x)＝  函数g(x)的图象如图7．）

追问2：求函数f(x)与g(x)的值域．（函数f(x)的值域为{－3，－2，－1，0，1，2，3}，函数g(x)的值域为[0，1)．）

追问3：求方程g(x)＝0.5的解集.（当－2.5＜x＜－2时，令g(x)＝0.5，则x＋3＝0.5，解得x＝－2.5，－2.5∉(－2.5，－2)，此时方程无解；当－2＜x＜－1时，令g(x)＝0.5，则x＋2＝0.5，解得x＝－1.5，－1.5∈[－2，－1)，此时方程的解为x＝－1.5；同理可以求得其他区间内的解．综上，方程g(x)＝0.5的解集为{－1.5，－0.5，0.5，1.5，2.5}．）

设计意图：例4加深学生对分段函数的了解，训练学生运用分类与整合、数形结合的思想进行运算求解的能力，提升学生的直观想象和数学抽象素养．

三、归纳小结，布置作业

问题2：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：

（1）你能谈谈对函数的对应关系的认识吗？

（2）你能谈谈函数图象在解决问题中的作用吗？

师生活动：师生一起总结．

预设的答案：（1）对应关系f是函数的核心要素，只要满足：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么f：A→B就为从集合A到集合B的一个函数；它的表现形式多种多样：文字语言、解析式、表格、图象、方程等，可以根据需要灵活选择．

（2）函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．

设计意图：引导学生提炼本节课的主要内容和方法．

作业布置：教科书复习参考题3第1，2，7，8，13题．

四、目标检测设计

1．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）

A．y＝|x|，u＝       B．y＝，s＝()2

C．y＝，m＝n＋1    D．y＝·，y＝

设计意图：考查对函数概念的理解．

2．函数y＝＋定义域是___________．

设计意图：考查函数定义域的求解．

3．f(x)＝若f(x)＝10，则x＝___________．

设计意图：考查对分段函数的了解，以及运用函数与方程的思想进行运算求解的能力．

4．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆的单词的基础上增加50个新单词的记忆量．

（1）该同学记忆的单词总量y是关于记忆天数x的函数吗？如果是，你能用哪些方法表示这个函数；如果不是，请你说明理由．

设计意图：考查对函数概念的理解，以及运用函数与方程的思想进行抽象概括的能力．

参考答案：

1．A．

2．[－1，2)∪(2，＋∞)．

3．－3．

4．解：用x表示记忆天数，用y表示记忆的单词总量，那么y＝50x＋250，x∈A，其中A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．

该同学记忆的单词总量y是关于记忆天数x的函数．原因如下：对于数集A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中的任一个天数x，根据对应关系y＝50x＋250，在数集B＝{300，350，400，450，500，550，600，650，700，750}中，都有唯一的单词总量y与之对应．

用解析法可将该函数表示为

y＝50x＋250，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．

用列表法可将该函数表示为

用图象法可将该函数表示为图8．