数学人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）教学设计及反思

《函数的零点与方程的解》

教学设计

1．结合指数函数和对数函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，体会数学的整体性．

2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．

3．学会运用函数判断方程是否有解．

教学重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用．

教学难点：函数零点存在定理的导出，函数零点定理的充分不必要性．

PPT课件，计算器，GGB课件．

（一）整体感知，明确任务

引导语：在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．

设计意图：明确本小节将要研究的内容．

（二）新知探究

1．函数零点的概念

问题1：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数解，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数．请回忆相关内容，说说从二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数解？

师生活动：学生回忆相关内容作答，教师予以补充完善．

预设的答案：从二次函数的观点来看，一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，也就是二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标．

设计意图：引导学生回忆二次函数与一元二次方程的关系，为得到一般函数零点的概念作铺垫．

问题2：类比一元二次方程的实数解和相应的二次函数的零点的关系，像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？

师生活动：学生通过类比，得出答案．

预设的答案：类比二次函数的零点，也可以考虑函数的零点，通过判断函数的图象与x轴是否有公共点，来判断方程是否有实数解．

设计意图：通过如何判断一个没有求根公式的方程是否有实数解的讨论，了解利用函数观点研究方程解的必要性．

问题3：通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？

师生活动：学生讨论交流后作答，教师予以补充完善．

预设的答案：可以将这种方法推广到研究一般方程的解．为此，与二次函数的零点一样，我们有必要给出函数零点的定义．

定义：对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）．

这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与x轴的公共点的横坐标．

设计意图：由具体到抽象，顺其自然地导出一般函数零点的概念，并得到一般方程实数解和一般函数零点的关系．

追问1：在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？

师生活动：学生独立思考，个别提问回答．

预设的答案：根据函数零点的定义，可以得到如下的等价关系：

方程有实数解函数有零点函数的图象与x轴有公共点．

即对于函数的零点，其代数意义就是的实数解，其几何意义就是函数的图象与x轴的公共点．

设计意图：分别从代数意义和几何意义，使学生进一步理解函数零点的本质．

追问2：函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能为我们求解方程的解，尤其是为那些不能用公式求解的方程的解，提供了哪些思路？

师生活动：学生讨论交流，个别提问回答，教师予以补充完善．

预设的答案：求方程的实数解，就是确定函数的零点．所以，对于不能用公式求解的方程的实数解问题，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解．

设计意图：强调不能用公式求解的方程，使学生明白，学习函数以及掌握函数观点的重要性，同时也为函数零点存在定理的提出作铺垫．

追问3：这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含着怎样的数学思想？

师生活动：学生讨论交流后得出答案，教师帮助学生总结和提炼．

预设的答案：这其中蕴含着数形结合、化归与转换、函数与方程结合的数学思想．

设计意图：使学生体会数学知识的整体性．

2．函数零点存在定理

问题4：要判断方程是否有实数解，就要判断函数是否有零点，那么如何判断函数在其定义域的某一区间上是否存在零点呢？为了研究这个问题，我们先从熟悉的二次函数入手，你认为我们应该从哪些方面研究二次函数的零点？

师生活动：学生讨论交流，教师进行引导．

预设的答案：可以考察一个存在零点的二次函数，观察零点附近函数图象的特征，分析零点附近函数值的变化规律，然后抽象概括出其中的共性．

设计意图：明确研究二次函数零点的方案．

追问1：对于二次函数，观察它的图象（图1），发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图象与x轴有什么关系？函数的取值有什么规律？你能用在区间[2，4]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？

师生活动：学生观察图象寻找规律，教师进行引导：注意观察在零点附近函数值的正负号变化特点．

预设的答案：在区间[2，4]上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴，零点左侧的图象在x轴下方，零点右侧的图象在x轴上方．相应的函数的取值在零点左侧小于0，在零点右侧大于0．因此函数在端点x=2和x=4的取值异号，可用且来刻画图象关系和函数值规律．

设计意图：通过观察函数图象得出规律，使学生经历数形结合、将形转化为数的过程，学会用代数的语言描述图象的方法．

追问2：函数在区间[-2，0]上也有零点，这时，函数图象与x轴有什么关系？函数f(x)的取值有什么规律？你能用在区间[-2，0]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？

师生活动：有了追问1的经验，学生应该能够独立完成．

预设的答案：与在区间[2，4]上的情况类似，在区间[-2，0]上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴，零点左侧的图象在x轴上方，零点右侧的图象在x轴下方．相应的函数f(x)的取值在零点左侧大于0，在零点右侧小于0．因此函数在端点x=-2和x=0的取值异号，可用且来刻画图象关系和函数值规律．

设计意图：类比分析，便于学生抽象出两个零点的共性．

追问3：区间[2，4]和区间[-2，0]上都有零点，通过上面的分析，说说它们有什么共性？

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充完善．

预设的答案：当函数图象连续不断时，在包含零点的某一段区间内，函数的图象“穿过”x轴，零点两侧的函数值符号相反，此时这个区间两个端点的函数值的乘积小于零．即对于函数，有，．

设计意图：抽象得到共性，为得出函数零点存在定理作铺垫．

问题5：再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间内函数图象与x轴的关系，以及f(x)的取值情况．阅读教科书143页“函数零点存在定理”相关内容，你能总结出函数零点存在定理的判定条件吗？

师生活动：学生自行完成画函数图象并观察，在阅读完教科书后，个别提问回答，教师予以总结完善．

预设的答案：得出函数零点存在定理，并提炼定理中的判定条件．

函数零点存在定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程的解．

定理有两个判定条件：

（1）在给定区间[a，b]上的图象连续不断；

（2）．

二者缺一不可．

设计意图：通过对二次函数的研究，学生再自行研究几个函数后，直接给出函数零点存在定理就比较自然．这种从特殊到一般的抽象概括过程，易于学生接受．定理本身的叙述比较长，通过提炼其中的两个判定条件，帮助学生加深理解定理，并且便于记忆．

追问1：你能举几个例子说明，函数零点存在定理的两个判定条件，为什么缺一不可吗？

师生活动：学生举例说明，教师引导学生思考：如果只满足一个条件会出现的反例．

预设的答案：可以举例并结合函数图象进行说明，可以举的例子如下：

（1），虽然函数在区间[0，1]上的图象连续不断，但是由于，，，所以不能够得到在区间[0，1]上有零点．而函数在区间[0，1]上也确实没零点．

（2），虽然，，，但是由于函数在区间[-1，1]上的图象不是连续不断的，所以不能够得到在区间[-1，1]上有零点．而函数在区间[-1，1]上也确实没零点．

设计意图：通过例子来说明定理的两个判定条件为什么缺一不可，加深对定理的理解．另外，由于学生研究函数的工具所限（主要是没有极限工具），所以无法严格的给出函数“连续性”的定义．因此在这里对函数的“连续性”避而不谈，只是直观的给出“函数图象是一条连续不断的曲线”，使学生先有一个定性的认识．

追问2：从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？

师生活动：学生先讨论交流，然后举例说明，教师予以总结完善．

预设的答案：函数零点存在定理的条件是：

p：函数在区间[a，b]上的图象连续不断，且．

结论是：

q：函数在区间(a，b)内至少有一个零点．

因此其逆命题是：如果函数在区间(a，b)内至少有一个零点，那么函数在区间[a，b]上的图象连续不断，且．

考虑函数，该函数在区间(-1，2)内明显有零点x=1，但是因为在x=0处函数无定义，所以在区间[-1，2]上的图象不是连续不断的．

考虑函数，该函数在区间(-2，4)内明显有零点，并且有两个零点x=-1和x=3，但是因为，，所以．

所以其逆命题为假，即由函数零点存在定理的结论q不能推出其条件p．所以函数零点存在定理的判定条件是充分但不必要条件．

设计意图：通过具体实例，帮助学生理解函数零点存在定理的条件是充分但不必要的，并且回顾了充分条件、必要条件、逆命题等相关内容．

追问3：函数零点存在定理的结论是：函数在区间(a，b)内至少有一个零点．这是否说明，如果满足判定条件，那么函数在区间(a，b)内就只有一个零点？请说明理由，或举例说明．

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充完善．

预设的答案：函数零点存在定理只能确定零点存在，但不能确定只存在一个零点，更不能确定零点的具体个数．例如三次函数，在区间[0，4]上的图象连续不断，且，但是该函数在区间(0，4)内有三个零点x=1，x=2和x=3．零点的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究．

*（选学）再例如三次函数，在区间[0，3]上的图象连续不断，且，但是该函数在区间(0，3)内有两个零点x=1和x=2．并且在零点x=1附近，函数图象不是“穿过x轴”，而是“与x轴相切”．

设计意图：使学生理解，函数零点存在定理是一个判定存在性的定性定理，而不是一个确定零点数量的定量定理．由于学生现阶段对三次函数的图象和性质还不是很熟悉，所以可以借助GGB等信息技术直接展示三次函数的图象，从直观上帮助学生理解．因为函数的描述方式有三种，所以也可以不给出某个具体的函数解析式，而是直接画出一个函数图象，使其满足函数零点存在定理的判定条件，但是在给定区间内有不止一个零点．

对于选学的例子，重根对应的零点个数是一个还是多个，在中学阶段一直有争议．但是，根据教科书习题4.5第13题和教师教学用书上给出的答案，并结合教科书上的函数零点的定义，重根对应的零点个数应该是一个．所以认为该例的零点个数是两个．为了防止给学生造成困扰，该例可视具体情况，决定是否讲解．在该例的教学中，可以再次跟学生强调，函数零点的定义是：使的实数x叫做函数的零点．即函数零点的本质是一个实数，而和方程的根没有关系．只能说，函数的零点和方程的实数根有关联，但不是完全等价的．

*（选学）追问4：函数零点存在定理在数学分析上是“闭区间上连续函数的介值定理”的特例，是捷克数学家波尔察诺在1817年首先证明的．但由于当时缺乏实数理论，证明不严格，后由德国数学家魏尔斯特拉斯将这个证明严密化．请利用互联网或查阅数学分析相关的大学教材，了解介值定理的证明思路

师生活动：学生课后自行完成．

设计意图：由于学生研究函数的工具所限（主要是没有极限工具），所以无法严格的给出函数零点存在定理的证明，所以教科书只能用由具体到抽象的方法，推导出该定理．学生通过了解介值定理的证明思路，可以更深入的理解函数零点存在定理，了解其背后的理论依据．同时，可以提升学生数学人文素养，提高学习的积极性和主动性．

3．初步应用，深化理解

例1  求方程的实数解的个数．

师生活动：学生独立完成，然后展示交流．教师可以利用GGB等作图工具画出函数的图象，或利用计算器列出x，y的对应值表，帮助学生观察、判断零点所在区间．除了教科书给出的解法之外，有的学生可能会提出，直接计算函数取值，寻找函数零点所在的区间．如果没有学生提出用这种方法，教师也可以启发学生考虑这种思路．

预设的答案：

解：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表如表1，并画出图象如图2．

表1

一方面，由表1和图2可知，，，则，并且其图象在(0，+∞)内连续．由函数零点存在定理可知，函数在区间(2，3)内至少有一个零点．

另一方面，对于函数，x∈(0，+∞)，可以先将其转化为两个基本函数与，由于它们在(0，+∞)内都单调递增，所以函数在(0，+∞)内是增函数．

两方面结合，可以判定它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解．

对于寻找函数零点所在的区间，也可以直接考虑函数的取值，因为，，所以在区间[2，3]上，有，同样由函数零点存在定理可知，函数在区间(2，3)内至少有一个零点．

设计意图：学会将函数零点存在定理与函数的单调性相结合，确定方程实数解的个数．

追问：观察函数的图象，借助计算器，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗？

师生活动：学生讨论交流后发言．学生可能有多种思路将函数零点缩小范围，只要合理可行，教师都可以鼓励学生进行大胆尝试．

预设的答案：没有固定的答案，充分发挥学生的探索精神和学习积极性即可．

设计意图：为下节内容“用二分法求方程的近似解”作铺垫．

（三）归纳小结，布置作业

问题6：回顾本节课，说说运用函数零点存在定理时，需要注意些什么？

师生活动：先由学生回答，然后由学生相互补充，教师进行引导．

预设的答案：运用函数零点存在定理时，需要注意：

（1）函数零点存在定理的两个判定条件：①在给定区间[a，b]上的图象连续不断；②．二者缺一不可．

（2）函数零点存在定理的判定条件，是充分但不必要的．也就是说，它的逆命题和否命题，都不一定成立，所以不能用它的逆命题和否命题，做出任何判断和结论．

（3）函数零点存在定理只能判定在某一段区间内函数的零点存在，但是零点的个数无法确定．要确定零点的个数，还需要结合函数的单调性等性质，对函数进一步研究．

设计意图：再次强调函数零点存在定理的细节，引起学生的重视．

作业布置：教科书习题．

（四）目标检测设计

1．图3中的（1）（2）（3）分别为函数在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数在某个区间只有一个零点的判断？为什么？

设计意图：巩固学生对函数零点的认识．让学生体会到，仅根据函数图象判断函数的零点情况虽然直观，但不严谨．

2．利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）；            （2）；

（3）；            （4）．

设计意图：考查学生结合函数的图象，利用函数零点存在定理确定零点所在区间．

参考答案：

1．不能．同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到它与x轴有1个交点，从图（2）观察到它与x轴有2个交点，从图（3）观察到它与x轴有3个交点，所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．

2．（1）(1，2)．       （2）(3，4)．

（3）(0，1)．       （4）(－4，－3)，(－3，－2)，(2，3)．