高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案及反思

《函数的奇偶性》教学设计

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的。教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图像，让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念。因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然。

【知识与能力目标】

1、使学生从形与数两个方面理解函数奇偶性的概念、图像和性质；

2、判断一些简单函数的奇偶性。

【过程与方法目标】

1、设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能力。在概念形成的过程中，渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法；

2、通过对函数单调性定义的探究，培养学生的抽象思维的能力。

【情感态度价值观目标】

经过探究过程，培养学生严谨论证的良好思维习惯；使学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的理性认知过程。

【教学重点】

函数奇偶性的概念及其判断。

【教学难点】

函数奇偶性的掌握和灵活运用。

通过本节导学案的使用，引导学生对函数奇偶性有个初步的认识，带着问题学习。

(一)创设情景，揭示课题

1、实践操作：（也可借助计算机演示）

取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图像的图形，然后按如下操作并回答相应问题：

 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于y轴对称；

（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。

 以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于原点对称；

（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。

2、观察思考（教材P39、P40观察思考）

（二）研探新知

考察下列两个函数：

              (1)f(x)=-x2   ；                          (2) f(x)=|x|   。

思考1:这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？

思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？

思考3:一般地，若函数y=f(x)的图像关于y轴对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？

思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？

1、函数的奇偶性定义

象上面实践操作中的图像关于y轴对称的函数即是偶函数，操作中的图像关于原点对称的函数即是奇函数。

（1）偶函数（even function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义。

（2）奇函数（odd function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。

思考5:函数是f(x)=x2，x∈[-1,2]是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？

注意：

 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

2、具有奇偶性的函数的图像的特征

思考：考察下列四个函数的奇偶性及图像特征：

(1)f(x)=-x2   ；    (2) f(x)=|x|   ；

(3)f(x)=x     ；    (4).

偶函数的图像关于y轴对称；

奇函数的图像关于原点对称。

（三）例题讲解

（1）判断函数的奇偶性

例1、 判断下列函数的奇偶性:             

(1) ；   (2).

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

 确定f(－x)与f(x)的关系；

 作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

例2、已知定义在R上的函数f(x)满足：

对任意实数，都有成立。

（1）求f(1)和f(-1)的值；         

（2）确定f(x)的奇偶性。

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数。

（2）函数的奇偶性与单调性的关系

（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图像，根据图像判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征。

例3、已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)

规律：

偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。

（四）课堂练习

1、教材P41例5。

2、教材P42练习1。

3、确定函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调区间。

4、判断下列函数的奇偶性：

 ；

 ；

   （）

（五）课堂小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图像法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图像充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。

（六）布置作业

1、书面作业：课本P46 习题1．3（A组） 第9、10题， B组第2题。

2、课后思考：

已知是定义在R上的函数，

设，

 试判断的奇偶性；

 试判断的关系；

 由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由。

略。