人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数教案

《指数与指数幂的运算》教学设计

从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．

1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；

2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；

3．理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质．

【教学重点】

根式与分数指数幂之间的互相转化．

【教学难点】

根式运算与有理数指数幂的运算．

引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．

（一）创设情景，揭示课题

1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．

2．由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；

（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7．3%．那么在2010年， 我国的GDP可望为2000年的多少倍?

（2）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的系， 那么当生物体死亡了１万年后，它体内碳14的含量为多少？

（3）对1.07310，这两个数的意义如何？怎样运算？

3．初中根式的概念

思考1：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？

思考2：-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？

思考3：一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？

思考4：如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？

思考5：推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义．

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．

思考1：-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是什么数？怎样表示？

思考2：设a为实常数，则关于x的方程 x3=a，x5=a分别有解吗？有几个解？

思考3：一般地，当n为奇数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？

思考4：设a为实常数，则关于x的方程 x4=a，x6=a分别有解吗？有几个解？

思考5：一般地，当n为偶数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？

思考6：我们把式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

那么，a的n次方根用根式怎么分类表示？

当n是奇数时，a的n次方根为．   

当n是偶数时，若a>0，则a的n次方根为；

                若a=0，则a的n次方根为0；

                若a<0，则a的n次方根不存在．

思考1： 分别等于什么？一般地等于什么？

思考2： 分别等于什么？一般地 等于什么？

当n是奇数时； 当n是偶数时．

例1．求下列各式的值

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6） ．

例2．化简下列各式

（1） ；

（2） ．

4．复习初中整数指数幂的运算性质；

（二）探索新知

1．指数与指数幂的运算

（1）分数指数幂

思考1：设a>0，，，分别等于什么？

思考2：观察上述结论，你能总结出什么规律？

思考3：按照上述规律，根式，，分别可写成什么形式？

思考4：我们规定： （a>0，m，n∈N且n＞1），

那么表示一个什么数？分别表示什么根式？

思考5：你认为如何规定 （a>0，m，n∈N，且n＞1）的含义？

思考6：怎样理解零的分数指数幂的意义？

思考7： 都有意义吗？

当时，何时无意义？

正数的分数指数幂的意义．

规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

2．有理指数幂的运算性质

（1）；

（2）；

（3）．

引导学生解决本课开头实例问题．

3．无理指数幂

思考1：我们知道＝1．414 21356…，那么的大小如何确定？

思考2：观察上面两个图表，是一个确定的数吗？

思考3：有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？

指出：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

思考：（教材P63练习4）

巩固练习思考：（教材P62思考题）

（三）例题讲解

例3．求下列各式的值      

（1） ；（2） ；（3） ；（4）  

例4．化简下列各式的值

说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．

（四）课堂练习

教材对应习题．

（五）课堂小结

本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．

（六）   布置作业

课本习题

略．