2021北京十五中初一（上）期中数学（教师版）

2021北京十五中初一（上）期中

数    学

一、选择题.（每小题2分，共16分）

1．（2分）下列各数、、、、0、、、2.4中，负数有　　个．

A．3 B．4 C．5 D．6

2．（2分）北京大兴国际机场航站楼形如展翅的凤凰，航站楼主体占地面积1030000平方米．将1030000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．（2分）关于整式，理解错误的是　　

A．它属于多项式 B．它是三次五项式 

C．它的常数项是 D．它的最高次项的系数是3

4．（2分）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是　　

A． B． C． D．

5．（2分）索玛立方体拼搭是有名的数学游戏，它由七块立体图形组成，如图所示的这号图形中，从正面看所得图形相同的有　　块．

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（2分）下列说法错误的是　　

A．负数的绝对值都是正数 

B．除以一个数，等于乘这个数的倒数 

C．有理数包括整数和分数 

D．倒数等于它本身的数只有

7．（2分）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是　　

A． B． C． D．

8．（2分）如图是2021年11月的月历，用“”型框（如阴影部分所示）覆盖任意七个数并求它们的和，请你运用所学的知识，探索这七个数的和不可能的是　　

A．63 B．84 C．133 D．161

二、填空题（9～15题每小题2分，16题3分，共17分）

9．（2分）如图所示的多面体有 　　个面．

10．（2分）如果与是同类项，那么　　，　　．

11．（2分）用四舍五入法取近似数：　　．（精确到

12．（2分）璀璨的流星划过夜空，留下美丽的轨迹，这说明的事实是 　　．

13．（2分）在计算“”时，甲同学的做法如下：

在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是 　　（写出错误所在行的序号），这一步依据的运算法则应当是：同号两数相加，　　．

14．（2分）已知点、、三个点在同一条直线上，若线段，，则线段　　．

15．（2分）已知，如图1所示，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，并按图2的方式拼出一个大正方形，则这个大正方形的周长是 　　．（用含、的代数式表示）

16．（3分）已知为不等于1的有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，则　　，　　．

三、解答题（共67分）

17．（24分）计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

18．（9分）化简：

（1）；

（2）；

（3）．

19．（6分）先化简，再求值：．其中．

20．（7分）作图题

（1）画数轴表示下列各数，并用“”把他们从小到大排列起来．

，，，，0

　　　　　　　　　　．

（2）已知四点、、、，根据下列语句，在同一个图中画出图形．

第一步：画直线；

第二步：画射线、，交于点；

第三步：连接，并延长线段到点，使；

第四步：连接，并将线段反向延长至点，使．

21．（4分）如图：线段，是上一点，且，是的中点，求线段的长度．

22．（4分）有如图8筐白菜，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下：

回答下列问题：

（1）这8筐白菜中，最接近标准的那筐白菜为 　　；

（2）以每筐为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？

（3）计算这8筐白菜总计多少千克？

23．（6分）在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，比如计算就可以列竖式为：

根据上述阅读材料，解决下列问题：

已知：，．

（1）将按照的降幂进行排列是：　　；

（2）仿照上面的方法列竖式计算；

（3）小丽说也可以用类似方法列竖式计算，请你试试看；

（4）请写一个多项式　　，使其与的和是二次单项式．

24．（7分）我们知道，的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，类似的，的几何意义就是：数轴上数，对应点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3．

（1）数轴上1和两点之间的距离可以用 　　表示，通过计算可以得到他们的距离是 　　．

（2）数轴上表示和的两点、之间的距离可以表示为　　；如果，结合几何意义，那么的值为 　　；

（3）代数式表示的几何意义是 　　，该代数式的最小值是 　　．

附加题

25．（5分）附加题：已知数轴上两点、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．

（1）若点到点，点的距离相等，求点对应的数；

（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；

（3）点、点分别以2个单位长度分、1个单位长度分的速度向右运动，同时点以6个单位长度分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？

26．（5分）给定一个十进制下的自然数，对于每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数的“模二数”，记为．如，．

对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示，即．

根据以上材料，解决下列问题：

（1）的值为 　　，的值为 　　；

（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”．

如，，

因为，，

所以，即124与630满足“模二相加不变”．

①判断12，65中哪个数与23“模二相加不变”，并说明理由；

②再写出一个与23“模二相加不变”的两位数．

参考答案

一、选择题.（每小题2分，共16分）

1．【分析】根据负数的定义，即负数为小于0的有理数，再判定负数的个数．

【解答】解：在、、、、0、、、2.4中，负数有、、、，共4个．

故选：．

【点评】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握负数的定义．

2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

【解答】解：数据1030000科学记数法表示为．

故选：．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3．【分析】先根据多项式的有关定义进行判断，不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，如果一个多项式含有个单项式，次数是，那么这个多项式就叫次项式．

【解答】解：的最高次项是，

次数为4，常数项为，它的最高次项的系数是3，

它是四次五项式，

不符合题意；

符合题意；

不符合题意；

不符合题意；

故选：．

【点评】题考查了多项式，解题的关键是掌握多项式的有关概念，并注意符号的处理．

4．【分析】根据有理数，在数轴上对应点的位置，可知，，，且，再根据有理数加法的计算方法得出答案．

【解答】解：根据有理数，在数轴上对应点的位置，可知，，且，

，

故选：．

【点评】考查数轴表示数的意义，根据数轴上两点位置，确定各个数的符号和绝对值是得出正确结论的前提．

5．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看，1号，6号，7号的主视图相同，底层均是两个小正方形，上层右边是一个小正方形，

所以从正面看所得图形相同的有3块．

故选：．

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，熟悉常见几何体的三视图是解题关键．

6．【分析】利用有理数的除法法则，有理数定义，绝对值，倒数的性质判断即可．

【解答】解：、负数的绝对值都是正数，不符合题意；

、除以一个非0的数，等于乘以这个数的倒数，符合题意；

、有理数包括整数和分数，不符合题意；

、倒数等于它本身的数只有，不符合题意．

故选：．

【点评】此题考查了有理数的除法，正数和负数，有理数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

7．【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．

【解答】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后、都不符合，且折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是．

故选：．

【点评】此题主要考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．

8．【分析】设包括“”型框内部两个数在内的九个数正中间的数为，分别用含的代数式表示“”型框覆盖的七个数并求出表示它们的和的代数式，另其分别等于问题答案中的四个数，求出相应的值再分别进行检验，即可得出问题的答案．

【解答】解：设包括“”型框内部两个数在内的九个数正中间的数为，

则“”型框覆盖的七个数分别是，，，，，，，

，

由得，此时“”型框只覆盖6个数，不符合题意；

由得，符合题意；

由得，符合题意；

由得，符合题意，

这七个数的和不可能是63，

故选：．

【点评】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数字问题的求解等知识与方法，适当设未知数并且正确地用代数式表示“”型框覆盖的七个数的和是解题的关键．

二、填空题（9～15题每小题2分，16题3分，共17分）

9．【分析】根据图形可得答案．

【解答】解：根据图形可知：共有8个面．

故答案为：8．

【点评】此题考查的是立体图形，正确数出面的个数是解决此题的关键．

10．【分析】根据同类项的定义即可求得、的值．

【解答】解：因为与是同类项，

所以，，

所以．

故答案为：3，2．

【点评】本题考查同类项的定义．解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．要注意同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是易混点，因此成了中考的常考点．

11．【分析】把千分位上的数字5进行四舍五入即可．

【解答】解：．

故答案为：12.43．

【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．

12．【分析】根据点、线、面、体的关系进行判断即可．

【解答】解：流星可看作“点”，

流星划过夜空，留下美丽的轨迹，

这说明的事实点动成线，

故答案为：点动成线．

【点评】本题考查点、线、面、体，理解“点动成线”是正确判断的关键．

13．【分析】根据有理数的加减混合运算，逐步去判断即可．，

【解答】解：因为：，

所以开始出错的步骤是：②，

这一步依据的运算法则应当是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，

故答案为：②；取相同的符号，并把绝对值相加．

【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，学生必须熟练掌握运算法则是解题的关键．

14．【分析】分两种情况，点在点的右侧，点在点左侧．

【解答】解：当点在点的右侧时，如图：

所以：，

当点在点左侧时，如图：

所以：，

故答案为：16或4．

【点评】本题考查了两点间的距离，同时本题渗透了分类讨论的数学思想．

15．【分析】先分别求得每个小长方形的长与宽，然后求得正方形的边长，从而求其周长．

【解答】解：如图：

由题意可得：，，

大正方形的的边长，

大正方形的周长为，

故答案为：．

【点评】本题考查整式的加减的应用，准确识图，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）的运算法则是解题关键．

16．【分析】根据定义分别求出，，，从而发现每3个数循环一次，则可知．

【解答】解：，

，

，

，

，

每3个数循环一次，

，

，

故答案为：，．

【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过计算，找到数字的循环规律是解题的关键．

三、解答题（共67分）

17．【分析】（1）先把减法转化为加法，然后有理数的加法法则计算即可；

（2）先把除法转化为乘法、然后根据有理数的乘法法则计算即可；

（3）先去小括号，再去中括号，最后计算计算即可；

（4）根据乘法分配律计算即可；

（5）先算乘方、再算乘除法、最后算减法即可；

（6）先算乘方、再算括号内的式子，最后计算括号外的乘法和减法即可．

【解答】解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

；

（6）

．

【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．

18．【分析】（1）原式合并同类项进行化简；

（2）原式去括号进行化简；

（3）原式去括号，合并同类项进行化简．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

；

（3）原式

．

【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．

19．【分析】先去括号，再合并同类项；根据绝对值和偶次方的非负性求出和的值，再代入化简结果即可．

【解答】解：原式

，

，

．

代入原式

．

【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键．

20．【分析】（1）先画出数轴，再在数轴上找到各数对应的点即可；

（2）根据画图的步骤即可画出图形．

【解答】解：（1）在数轴上表示如图所示：

；

（2）如图即为所求．

【点评】本题考查了直线，射线，线段，数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较，这些都是学生必备的数学基本功．

21．【分析】在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，最好准确画出几何图形，再根据题意进行计算．

【解答】解：点是线段的中点，

．

答：线段的长度为．

【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．

22．【分析】（1）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案；

（2）根据有理数的加法运算，可得答案；

（3）用，再加上（2）的结果数即可．

【解答】解：（1）在记录的数中，的绝对值最小，

所以这8筐白菜中，最接近标准的那筐白菜为：（千克），

故答案为：24.5；

（2）（千克），

答：不足5.5千克；

（3）（千克），

答：总计194.5千克．

【点评】此题主要考查了正负数的意义以及有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．

23．【分析】（1）根据降幂排列直接排列即可；

（2）列算式，再进行计算即可；

（3）列算式，再进行计算即可；

（4）假设给定一个二次单项式，再作差即可．

【解答】解：（1）根据题意可得，；

故答案为：；

（2）列式如下：

；

（3）列示如下：

；

（4）设这个二次单项式为，

则；

答案不唯一，如．

【点评】此题主要考查了整式的加减，正确理解题意运用竖式计算是解题关键．

24．【分析】（1）根据题目中的几何意义可以直接得到1和两点之间的距离的表示方法，再计算即可；

（2）根据题目中的几何意义可以直接得到和两点之间的距离的表示方法，再解关于的绝对值方程即可；

（3）根据两点之间距离的几何意义，结合数轴发现在1和之间时，代数式的值最小．

【解答】解：（1）数轴上1和两点之间的距离可以表示为；

和两点之间的距离是4．

故答案为：；4．

（2）数轴上表示和的两点、之间的距离可以表示；

，

，

或．

故答案为：；或．

（3）代数式表示的几何意义是数轴上表示数的点到1和两点的距离的和；

位于到2之间时它们的距离和有最小值为3．

故答案为：数轴上表示数的点到1和两点的距离的和；3．

【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合思想．

附加题

25．【分析】（1）若点对应的数与、3差的绝对值相等，则点到点，点的距离相等．

（2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可；

（3）设经过分钟点与点重合，根据点比点运动的距离多4，列出方程，求出的值，即为点运动的时间，再乘以点运动的速度，可得点经过的总路程．

【解答】解：（1），2的绝对值是2，，的绝对值是2，

点对应的数是1．

（2）当在之间，（不可能有）

当在的左侧，，得

当在的右侧，，得

故点对应的数为或4；

（3）解：设经过分钟点与点重合，根据题意得：

，

解得．

则．

答：点所经过的总路程是24个单位长度．

【点评】本题考查了绝对值、路程问题、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．

26．【分析】（1）根据定义运算即可；

（2）分别求出，，，再求出，，，，

即可求解；

（3）答案不唯一，只需所求数的“模二数”是10即可．

【解答】解：（1），，

，

故答案为：1011，1101；

（2）①，，，

，

，

，，

，

与23“模二相加不变”；

②，

，，

，

与23“模二相加不变”，（答案不唯一，如55，97等均可）．

【点评】本题考查新定义，理解定义内容，能将定义与已学内容相结合是解题的关键．