2021北京昌平初一（下）期末数学（教师版）

2021北京昌平初一（下）期末

数    学

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．（2分）已知，那么的余角等于　　

A ． B ． C ． D ．

2．（2分）叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．（2分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

4．（2分）如图，与相交于点，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

5．（2分）如果是一个完全平方式，则等于　　

A． B．2 C．4 D．

6．（2分）有下列变形：①由得；②由得；③由得；④由得，其中变形一定正确且使用了“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”这一不等式基本性质的是　　

A．① B．② C．③ D．④

7．（2分）已知，如果且，是正整数，那么不等式中的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（2分）在某学校庆祝建党“100周年”的活动上，宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律，第个“100”字样的棋子个数是　　

A． B． C． D．

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9．（2分）分解因式：　　．

10．（2分）如果，是关于，的二元一次方程的解，那么的值是 　　．

11．（2分）昌平区五月份某一周每天的最高气温统计如表：

则这组数据的平均数是 　　，众数是 　　．

12．（2分）如图所示，直线，相交于点，于点，如果，那么　　．

13．（2分）我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两（题中斤、两为旧制，1斤两）．问：有多少位客人？多少两银子设有位客人，两银子，根据题意，可列方程组为 　　．

14．（2分）把面积为，的小正方形和面积为的两个长方形拼成如图所示的大正方形，那么，大正方形的边长为 　　．

15．（2分）已知：，，则　 　．

16．（2分）“体育节”中，初一年级四个班进行了足球单循环比赛，每两班赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，一班、二班、三班、四班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，那么与二班踢平的班是 　　．

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）

17．（5分）分解因式：．

18．（5分）计算：．

19．（5分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．

20．（5分）解方程组：．

21．（5分）解不等式组，并写出整数解的中位数．

22．（5分）先化简，再求值：，其中．

23．（6分）某集团校对本集团的四个校区的初一学生，围绕着“你最喜欢的居家健身项目是什么（只选一项）”的问题进行了随机抽样调查．过程如下：

收集数据

．平板支撑 ．蹲起 ．仰卧起坐 ．开合跳 ．其他

经过调查得到的一组数据如下：

整理数据

抽样调查50名初一学生最喜欢的居家健身项目人数统计表

描述数据

根据以上信息回答下列问题：

（1）补全统计表；

（2）求本次抽样调查中，最喜欢开合跳项目的人数占被调查总人数的百分比；

（3）若校区4共有160名初一学生，请你估计该集团初一学生中，最喜欢蹲起项目的人数约为多少人？

24．（6分）（1）阅读以下内容：

已知，满足，且，求的值．

三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：

甲同学：先解关于，的方程组，再求的值．

乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值．

丙同学：先解方程组，再求的值．

（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．

请先选择思路，再解答题目．

我选择 　　同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙” ．

25．（6分）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为，的正方形和长为宽为的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：

（1）图3可以解释为等式：　　；

（2）要拼出一个两边长为，的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论．

（3）如图4，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用，表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 　　．（填序号）

①； ②；  ③；  ④．

26．（6分）小聪把一副三角尺，按如图1的方式摆放，其中边，在同一条直线上，将其抽象出如图2的几何图形后，过点作射线．

（1）依题意将图2补充完整；

（2）求的度数．

27．（7分）【概念学习】

定义：对于一个三位的自然数，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数为“好数”．

例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且，，2为整数；643不是“好数”，因为，的商不是整数．

【初步探究】

（1）自然数312，675，981，802是“好数”的为 　　；

（2）在横线上填“真”或“假”：

①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 　　命题；

②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 　　命题；

【深入思考】

求同时满足下列条件的“好数”：

（1）百位数字比十位数字大5；

（2）百位数字与十位数字之和等于个位数字．

28．（7分）阅读下列材料：

我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．

例1：解方程．

解：，

在数轴上与原点距离为6的点对应数为，即该方程的解为．

例2：解不等式．

解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程的解为 　　；

（2）解不等式；

（3）若，则的取值范围是 　　；

（4）若，则的取值范围是 　　．

2021北京昌平初一（下）期末数学

参考答案

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．【分析】根据互为余角的两个角的和等于列式计算即可得解 ．

【解答】解：，

的余角．

故选：．

【点评】本题考查了余角和补角， 是基础题， 熟记概念是解题的关键 ．

2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂的乘除法运算法则逐一计算判断即可．

【解答】解：．，故选项不正确；

．，故选项正确；

．，故选项不正确；

．，故选项不正确．

故选：．

【点评】本题主要考查了幂的乘方运算法则，负整数指数幂法则，同底数幂的除法法则，以及积的乘方运算法则，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

4．【分析】根据两直线相交对顶角相等、内错角相等两直线平行等判定方法和三角形角的性质即可确定答案．

【解答】解：选项、与互为对顶角，，故选项符合题意；

选项、，，故选项不符合题意；

选项、与是否平行不能确定，与不一定相等，故选项不符合题意；

选项、，，故选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题主要考查了对顶角的性质、平行线的性质和三角形内角和、外角的性质，能熟记对顶角的性质是解此题的关键．

5．【分析】先将原式写成一个完全平方式，再将其展开，与原式比较即可得出答案．

【解答】解：是一个完全平方式，

，

，

即．

故选：．

【点评】本题考查了完全平方公式的简单应用，明确完全平方公式的基本形式是解题的关键．

6．【分析】根据不等式的性质进行解答．

【解答】解：①由的两边同时加上，得，故①不符合题意；

②由的两边同时乘以5，得，故；

③由的两边同时乘以，不等号的方向改变，即，故③不符合题意；

④由的两边同时乘以，得，此时必须是，故④不符合题意．

符合题意的是②，

故选：．

【点评】此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；

（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

7．【分析】根据题意求得，，即可得到，解得．

【解答】解：，且，是正整数，

，，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，求得、的值是解题的关键．

8．【分析】根据所给的图形可得：第①个“100”字中的棋子个数是；第②个“100”字中的棋子个数是；第③个“100”字中的棋子个数是；第④个“100”字中的棋子个数是；据此可得其中的规律．

【解答】解：第①个“100”字中的棋子个数是；

第②个“100”字中的棋子个数是；

第③个“100”字中的棋子个数是；

第④个“100”字中的棋子个数是；

．

第个“100”字中的棋子个数是．

故选：．

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9．【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．

【解答】解：．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．

10．【分析】根据方程的解的定义，将代入方程，得，故．

【解答】解：由题意得：．

．

故答案为：．

【点评】本题属于基础简单题，主要考查方程的解的定义，即使得方程成立的未知数的值．

11．【分析】根据众数定义确定众数；应用加权平均数计算这组数据的平均数．

【解答】解：这组数据的平均数是；

出现了3次，出现的次数最多，

这组数据的众数是；

故答案为：24，24．

【点评】此题考查了加权平均数和众数的定义，熟练掌握定义和公式是解题的关键．

12．【分析】利用垂直的定义得到，由求出的度数，再利用对顶角相等即可求出的度数．

【解答】解：，

，

，

，

则．

故答案为：35．

【点评】此题考查了对顶角、邻补角，以及垂线，熟练掌握对顶角相等是解本题的关键．

13．【分析】根据每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，可以列出相应的二元一次方程组．

【解答】解：由题意可得：，

故答案为：．

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

14．【分析】根据正方形和长方形的面积公式分别求得小正方形和长方形的边长，然后结合图形求解．

【解答】解：如图所示：

故大正方形的边长为．

故答案是：．

【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积公式．

15．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．

【解答】解：，

故答案为：9．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是熟练掌握计算法则．

16．【分析】直接利用已知得出一班得分为7分，2胜1平，二班得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案．

【解答】解：一班、二班、三班、四班四个班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，

一班得分为7分，2胜1平，二班得分5分，1胜2平，三班得分3分，1胜0平，四班得分1分，0胜1平，

一班、二班都没有输球，

一班一定与二班平，

三班得分3分，1胜0平，二班得分5分，1胜2平，

与二班踢平的班是一班与四班．

故答案为：一班与四班．

【点评】此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每班胜负场次是解题关键．

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）

17．【分析】先提公因式2，再利用平方差公式计算可求解．

【解答】解：原式

．

【点评】本题主要考查因式分解提公因式法和公式法的综合运用，先提公因式，再利用公式法分解因式是解题的关键．

18．【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方及同底数幂的除法法则进行计算即可．

【解答】解：原式

．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

19．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，再在数轴上表示出不等式的解集即可．

【解答】解：，

去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

在数轴上表示不等式的解集为：

．

【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．

20．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．

【解答】解：，

由①得：③，

把③代入②得：，

移项合并得：，

解得：，

将代入③得：，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

21．【分析】先求出不等式组的整数解，再根据中位数的意义求出中位数即可．

【解答】解：解这个不等式组可得解集为，

其整数解为，，0，1，2，3，4，处在中间位置的一个数是1，因此中位数是1，

答：这个不等式组整数解的中位数是1．

【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，中位数，理解中位数的意义是解决问题的前提，求出一元一次不等式组的整数解是解决问题的关键．

22．【分析】整式的混合运算，先算乘方，零指数幂，然后算乘法，然后算加减，然后代入求值．

【解答】解：原式

，

当时，

原式．

【点评】本题考查整式的混合运算，零指数幂的运算，掌握运算顺序和计算法则是解题基础．

23．【分析】（1）根据题目中调查得到的数据，可以将．跳绳和．开合跳对应的划记和频数写出来，然后即可将统计表补充完整；

（2）本次抽样调查中，最喜欢开合跳项目的人数除以被调查总人数即可求解；

（3）根据扇形统计图求出校区4初一学生占该集团初一学生总数的百分比，求出该集团初一学生总数，再乘以本次抽样调查中，喜欢蹲起项目的人数所占比例即可求解．

【解答】解：（1）由调查得到的数据可得，

．跳绳对应的划记是，频数是8，

．开合跳对应的划记是，频数是18，

补全的统计表：

（2），

即本次抽样调查中，最喜欢开合跳活动的人占被调查总人数的百分比是；

（3）（人，

即最喜欢蹲起项目的人数约为128人．

【点评】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，根据题目中调查得到的数据将统计表补充完整．

24．【分析】解法一：选择乙同学的思路，根据整体思想，两式相加得到，从而，所以；

解法二：选择丙同学的思路，因为这两个方程中没有，能够求出，的值．利用代入消元法求出方程组的解，再代入中求出的值即可．

【解答】解：解法一：我选择乙同学的思路．

两式相加得：，

，

，

，

．

理由：利用整体思想，解题更简单．

解法二：我选择丙同学的思路．

，

由①得：③，

代入②得：，

，

代入③得：，

方程组的解为，

代入得：，

．

理由：这两个方程中没有，能够求出，的值．

故答案为：乙（答案不唯一）．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元方程转化为一元方程是解题的关键．

25．【分析】（1）图③是长为，宽为的矩形，根据矩形面积可得到等式，

（2）计算出的结果，即可得出答案，

（3）根据图④得出，，再依据公式进行恒等变形即可．

【解答】解：（1）图3的面积可以表示，也可以用表示，因此有，

故答案为：．

（2）因为，所以需要的3块，的4块，的1块，

故答案为：3，4，1．

（3）由图④可知，，，

因此①正确；

因为，因此③正确；

因为，所以②错误；

因，所以④错误；

综上所述，正确的有①③，

故答案为：①③．

【点评】考查平方差公式、完全平方公式的几何意义及应用，掌握公式特征是灵活应用的前提．

26．【分析】（1）依题意将图2补充完整即可；

（2）延长交于，根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的性质得到，由角的和差即可得到结论．

【解答】解：（1）将图2补充完整如图所示；

（2）如图2，延长交于，

，，

，

，

，

，

，

如图3，延长交于，

，，

，

，

，

，

，

，

综上所述，的度数为或．

【点评】本题考查了平行线的判定定理，三角形的内角和定理，正确的作出图形是解题的关键．

27．【分析】【初步探究】

（1）由好数的定义可求解；

（2）由好数的定义可判断．

【深入思考】

设十位数字为，个位数字为，由题意列出方程，可求解．

【解答】解：【初步探究】

（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且，，2为整数；675不是“好数”，因为，的商不是整数．981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且，，17为整数；802不是“好数”，因为数字不能为0，

“好数”为312，981，

故答案为：312，981；

（2）①例如801不是“好数”，故个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，

②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；

故答案为：假，真；

【深入思考】

设十位数字为，个位数字为，

由题意可得：，

，，

，

，

或2，

当时，好数为617，

当，好数为729，

综上所述：满足条件的好数为617或729．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，理解“好数”的定义是解题的关键．

28．【分析】（1）将转化为两个一元一次方程或，分别求解值即可；

（2）转化为不等式，分别求解即可；

（3）分类讨论：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为；当时，原方程化为，解得，即可求出的范围；

（4）分类讨论：当时，；当时，，此时；当时，，即可求出的取值范围．

【解答】解：（1）由，可得

或，

或，

故答案是或；

（2）不等式整理得，，

，

解得：；

（3）当时，原方程化为，解得，

当时，原方程化为，

当时，原方程化为，解得，

，

故答案为；

（4）当时，，

当时，，

此时，

当时，，

综上所述：，

故答案为．

【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，根据绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，转化为一元一次方程或一元一次不等式求解是解题的关键．