2021北京平谷初一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京平谷初一（下）期末数学（教师版），共18页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2021北京平谷初一（下）期末
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．平谷是中国著名的大桃之乡，每年4月桃花竞相开放，漫山遍野，如霞似锦，如海如潮，最是壮观．吸引无数市民和游客慕名前往．桃园内弥漫着桃花花粉，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×10﹣4 B．3×10﹣5 C．0.3×10﹣5 D．3×10﹣4
2．若实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．a﹣c＜0 C．a﹣c＞0 D．a+c＞b
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．3a2+2a2＝5a2 D．（2xy）3＝6x3y3
4．在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（　　）
A．x2+2x+4＝（x+2）2 B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2+4＝（x+2）2
5．“十三五”时期是北京市迄今为止大气污染治理力度最大，成效最明显的五年，2020年空气质量优良天数继续增加，大气主要污染物中细颗粒物（PM2.5）年均浓度首次实现38微克/立方米，空气质量改善取得标志性、历史性突破．小明收集了2021年3月北京市16个城区的PM2.5的浓度均值（单位：微克/立方米），并整理如表：
PM2.5的浓度
79
80
81
83
84
86
城区的个数
3
1
2
4
5
1
则北京市16个城区的PM2.5的浓度均值（单位：微克/立方米）的众数和中位数分别为（　　）
A．83，82 B．84，82 C．84，83 D．83，84
6．关于命题“若a＝b，则|a|＝|b|”与其逆命题的真假性，下列判断正确的是（　　）
A．原命题与其逆命题都是真命题
B．原命题与其逆命题都是假命题
C．原命题是假命题，其逆命题是真命题
D．原命题是真命题，其逆命题是假命题
7．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a需顺时针旋转度数是（　　）

A．10° B．20° C．50° D．70°
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（　　）

A．∠AOD B．∠AOC C．∠EOF D．∠DOF
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．用不等式表示：a的3倍与b的和不小于3 　 　．
10．如果把方程x﹣2y+3＝0写成用含y的代数式表示x的形式，那么x＝　 　．
11．若多项式（x﹣1）（x+3）＝x2+ax+b，则a+b＝　 　．
12．若是方程3x+ay＝4的解，则a的值为 　 　．
13．计算：（1）＝　 　；
（2）（2x+y）2＝　 　．
14．将一副直角三角板如图摆放，点D落在AB边上，BC∥DE，则∠1＝　 　°．

15．已知方程组，则x+y的值为 　 　．
16．2020年比较流行一款推理类游戏，是用剧本虚拟出一场故事，玩家根据演绎和推理案件过程，得出结论．类比，此游戏过程，请同学们用扑克牌做一个简单的推理游戏：
①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块；
②红桃右边有且仅有一张方块；
③6的左边至少有一张是8；
④8的右边至少有一张是8．
请写出这三张牌从左到右的顺序可能是：　 　．（填写正确的序号）
①红桃8，方块6，方块8②红桃8，红桃6，方块8③红桃8，方块8，红桃6
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18、19题，每题5分，第20题10分，第21、22题，每题5分，第23题6分，第24、25题，每小题10分，第26、27题，每小题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．分解因式：
（1）a2﹣9；
（2）a3﹣8a2+16a．
18．解不等式，并求出非负整数解．
19．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
20．用适当的方法解下列方程组．
（1）；
（2）．
21．计算：（﹣3a2）3+（a3）2+a2•a4．
22．已知3x2+2x﹣5＝0，求代数式（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x﹣2）的值．
23．列方程（组）、解应用题
2021年4月世界休闲大会在北京平谷举办，本届大会秉承了“全域、全季、全民休闲”的理念，多角度呈现．大会的主会场馆﹣金海湖国际会展中心，位于金海湖畔，屹立于桃花海中，将为大家呈现了一幅用建筑写就的“山水画卷”．周末小明与父母去金海湖参观，在迎宾大道看到一种园艺造型，他们一家子有如下交流：
（1）爸爸说：“如果搭配这个园艺造型需要花卉50盆，绿植90盆，每盆花卉的价格比每盆绿植的价格贵2元，而搭配这样一个园艺造型需要花费1500元，你知道每盆花卉和绿植各多少元吗？”请你帮小明解决此问题并写出求解过程．
（2）妈妈说：“若需要同样的花卉和绿植布置某个展厅，要求绿植比花卉多100盆，花费不低于6500元但也不能超过7000元，”请你帮小明写出一种购买方案．
24．完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OA上一点，作∠AEF＝∠AOB，交AB于点F．
求证：∠EFA＝∠C
证明：∵∠AEF＝∠AOB，
∴　 　∥　 　（ 　 　）．
∴∠EFA＝∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C　 　．
∴∠EFA＝∠C　 　．

25．2021年平谷区创建文明城区的工作已全面启动．区教育系统结合《北京市生活垃圾管理条例》实施周年的重要节点，大力普及中学生垃圾分类知识，某校组织学生收集废弃塑料瓶活动以减少环境污染，现从七年级（2）班随机抽取了20名学生，对这20名学生一周内进行收集废弃塑料瓶活动的数量进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
过程如下：
a．收集废弃塑料瓶的数量：
66
70
71
78
71
78
75
78
58
80
63
90
80
85
80
89
85
86
80
87
b、整理、描述数据：
数量
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
m
9
1
c．收集废弃塑料瓶的数量统计图：

d．样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级（2）班
77.5
n
k
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　，k＝　 　；
（2）在扇形统计图中，“60≤x＜70”所在的扇形的圆心角等于 　 　度；
（3）七年级共有200人，估计七年级收集数量不少于80个塑料瓶的学生总人数为 　 　．
26．已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．
（1）在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
（2）如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，直接写出无需证明．

27．定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32+22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2，所以a2+2ab+2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　；
（2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2+4x+k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．

2021北京平谷初一（下）期末数学
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2．【分析】根据各点在数轴上的位置判断各数的符号，再对各选项进行判断即可．
【解答】解：∵a＜b，∴a﹣b＜0；∴A选项不符合题意；
∵a＞c，∴a﹣c＞0；∴B选项不符合题意；
∵a＞c，∴a﹣c＞0；∴C选项符合题意；
∵c＜0＜a＜b，∴a+c＜b；∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题运用了用数轴比较两个数的大小的知识点，关键要正确利用数轴来判断．
3．【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方法则进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意，
B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意，
C、3a2+2a2＝5a2，正确，故此选项符合题意，
D、（2xy）3＝8x3y3，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方运算，掌握运算法则是解题基础．
4．【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
C、原式＝（x﹣2）2，符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．【分析】根据众数、中位数的定义求解即可得出答案．
【解答】解：∵84出现了5次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是84微克/立方米，
把这些数从小到大排列，中位数是第8、第9个数的平均数，
则中位数是＝83（微克/立方米）．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和众数．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
6．【分析】写出其逆命题，进而判断即可．
【解答】解：命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题，而命题“若a＝b，则|a|＝|b|”是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查原命题、逆命题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
7．【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解答】解：如图．
∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°＝20°．
故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
8．【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，结合平角的定义可求解∠EOF＝90°，由∠EOF的度数为定值可判定求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，
即∠EOF＝90°，
∴直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，∠EOF的度数与∠BOD度数变化无关．
故选：C．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，求解∠EOF的度数是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【分析】根据a的3倍即3a，再利用3a与b的和不小于3，即大于等于3，得出答案即可．
【解答】解：由题意可得：3a+b≥3．
故答案为：3a+b≥3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解不小于的意义是解题关键．
10．【分析】把y看作已知数表示出x即可．
【解答】解：方程x﹣2y+3＝0，
解得：x＝2y﹣3．
故答案为：2y﹣3．
【点评】此题考查了解二元一次方程，掌握等式的基本性质是解本题的关键．
11．【分析】由多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3，再由已知可得x2+2x﹣3＝x2+ax+b，求出a＝2，b＝﹣3，即可求解．
【解答】解：（x﹣1）（x+3）＝x•x+3x﹣x﹣3＝x2+2x﹣3，
∵（x﹣1）（x+3）＝x2+ax+b，
∴x2+2x﹣3＝x2+ax+b，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝2﹣3＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则，能够准确计算是解题的关键．
12．【分析】将代入方程3x+ay＝4计算可求解a值．
【解答】解：将代入方程3x+ay＝4得3×2﹣a＝4，
解得a＝2，
故答案为2．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的概念是解题的关键．
13．【分析】（1）根据单项式乘除法运算法则进行计算即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝•
＝；
（2）原式＝4x2+4xy+y2．
故答案为：，4x2+4xy+y2．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握运算法则和乘法公式．
14．【分析】根据平行线的性质可得∠2的度数，再利用邻补角的性质可得∠1．
【解答】解：如图：

∵BC∥DE，
∴∠2＝∠C＝45°．
由邻补角的性质可得：∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135．
【点评】本题考查平行线的性质和邻补角的性质，能够利用平行线的性质得出∠2的度数是解题的关键．
15．【分析】将两方程相加后，再两边同除以3即可得到答案．
【解答】解：
①+②得，3x+3y＝6
∴x+y＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查的是解二元一次方程组，掌握其解法是解决此题关键．
16．【分析】由于红桃右边有且仅有一张方块，所以红桃是最左边的一张；红桃右边的两张牌中也有一张是红桃；由于6的左边至少有一张是8，所以6是最右边的一张，由于8的右边至少有一张是8，即最左边是红桃8；中间是方块8，最右边是红桃6．
【解答】解：一共有三张牌：由条件②即可判断红桃右边有两张牌，一张红桃，一张方块，由条件③即可判断6的左边有两张；由条件④即可判断8的右边有两张，所以三张牌的顺次为：红桃8，方块8，红桃6．
故答案为③．
【点评】本题考查的是逻辑推理，完成本题的关键是抓住方位与张数来进行分析推理．
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18、19题，每题5分，第20题10分，第21、22题，每题5分，第23题6分，第24、25题，每小题10分，第26、27题，每小题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝（a+3）（a﹣3）；
（2）原式＝a（a2﹣8a+16）＝a（a﹣4）2．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
18．【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，进而求出非负整数解即可．
【解答】解：去分母得：4（x﹣1）≤3（1﹣x），
去括号得：4x﹣4≤3﹣3x，
移项得：4x+3x≤3+4，
合并得：7x≤7，
解得：x≤1，
则不等式的非负整数解为0，1．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
19．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
20．【分析】（1）将②代入①可求解x值，将x＝11代入②可求解y值，进而解方程；
（2）①×2﹣②可求解x值，再将x值代入①可求解y值，进而解方程．
【解答】解：（1），
将②代入①得2x﹣3（x﹣4）＝1，
解得x＝11，
将x＝11代入②得y＝11﹣4＝7，
∴方程组的解为；
（2），
①×2﹣②得5x＝15，
解得x＝3，
将x＝3代入①得3×4﹣2y＝10，
解得y＝1，
∴方程组的解为．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组：加减消元法，代入消元法，选择合适的解法是解题的关键．
21．【分析】幂的混合运算，先算乘方，然后算乘法，最后算加减．
【解答】解：原式＝﹣27a6+a6+a6
＝﹣25a6．
【点评】本题考查积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题基础．
22．【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将3x2+2x﹣5＝0代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x﹣2）
＝4x2﹣1﹣x2+2x
＝3x2+2x﹣1，
当3x2+2x﹣5＝0时，原式＝（3x2+2x﹣5）+4＝0+4＝4．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
23．【分析】（1）设每盆绿植的价格为x元，则每盆花卉的价格为（x+2）元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设购买花卉m盆，则购买绿植（m+100）盆，利用总价＝单价×数量，结合花费不低于6500元但也不能超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，取其中的任一整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每盆绿植的价格为x元，则每盆花卉的价格为（x+2）元，
依题意得：50（x+2）+90x＝1500，
解得：x＝10，
∴x+2＝12．
答：每盆花卉的价格为12元，每盆绿植的价格为10元．
（2）设购买花卉m盆，则购买绿植（m+100）盆，
依题意得：，
解得：250≤m≤．
∵m为整数，
∴m可以为250，此时m+100＝350，
∴购买250盆花卉，350盆绿植．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．【分析】利用同位角相等得到AD∥EF，两直线平行，内错角相等∠B＝∠C，根据等量代换即可求得∠EFA＝∠C．
【解答】证明：∵∠AEF＝∠AOB，
∴EF∥OB（同位角相等，两直线平行），
∴∠EFA＝∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EFA＝∠C（等量代换）．
故答案为：EF∥OB，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，等量代换．
【点评】主要考查了平分线的判定和性质．熟知同位角相等两直线平行，两直线平行内错角相等是解题的关键．
25．【分析】（1）将题干所提供的数据重新排列，再进一步求解即可；
（2）用360°乘以60≤x＜70的人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以样本中收集数量不少于80个塑料瓶的学生人数占总人数的比例即可．
【解答】解：（1）由题意知m＝7，
将数据重新排列为58、63、66、70、71、71、75、78、78、78、80、80、80、80、85、85、86、87、89、90，
所以这组数据的中位数n＝＝79，众数k＝80，
故答案为：7、79、80；
（2）在扇形统计图中，“60≤x＜70”所在的扇形的圆心角等于360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）估计七年级收集数量不少于80个塑料瓶的学生总人数为200×＝100（人），
故答案为：100人．
【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
26．【分析】（1）①根据要求作出图形即可．
②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题．
（2）结论：∠DGF＝180°﹣α．利用（1）中基本结论解决问题即可．
【解答】（1）①解：图形如图所示．


②证明：过点C作CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC＝∠DCT，∠BEC＝∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC＝∠DCT+∠ECT＝∠ECD＝90°．

（2）解：如图2中，结论：∠DGF＝180°﹣α．

由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC＝∠DCF＝α，∠GDN+∠GFQ＝∠DGF，
∵DG平分∠肠道内，GF平分∠CFQ，
∴∠GDN＝∠CDN，∠GFQ＝∠CFQ，
∴∠DGF＝（∠CDN+∠CFQ）＝（180°﹣∠ADC+180°﹣∠BFC）＝180°﹣α．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
27．【分析】（1）2＝12+12，5＝22+12，8＝22+22，这些数都是小于10的“完美数”；
（2）利用53＝22+72即可判断；
（3）由M＝x2+4x+k得M＝（x+2）2+k﹣4，则使k﹣4为一个完全平方数即可；
（4）设m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn＝（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，从而可判断．
【解答】解：（1）根据题意可得：2＝12+12，5＝22+12，8＝22+22，
故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，
故答案为：2或5或8（写一个即可）；
（2）53＝22+72，故53是“完美数”，
故答案为：是；
（3）k＝5（答案不唯一），
理由：∵M＝x2+4x+k
∴M＝x2+4x+4+k﹣4
M＝（x+2）2+k﹣4
则当k﹣4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k﹣4＝1时，解得：k＝5．
（4）设m＝a2+b2，n＝c2+d2，m≠n，
则有mn＝（a2+b2）（c2+d2）
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd﹣2abcd
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2
故mn是一个“完美数”．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．