2021北京石景山初一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京石景山初一（下）期末数学（教师版），共16页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2021北京石景山初一（下）期末
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如果a＞b，那么下列式子一定正确的是（　　）
A．a2＞b2 B．﹣3a＜﹣3b C． D．a﹣2＞b+2
2．下列运算正确的（　　）
A．（a2）3＝a6 B．（3ab）3＝6a3b3
C．6a8÷2a2＝3a4 D．5a3•a2＝5a6
3．一粒某种植物花粉的质量约为0.000028毫克，将0.000028用科学记数法表示应为（　　）
A．2.8×105 B．2.8×10﹣4 C．2.8×10﹣5 D．28×10﹣6
4．如图，AB，CD被CF所截，AB∥CD，若∠1＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．100° C．110° D．130°
5．下列说法正确的是（　　）
A．为了了解某品牌汽车的抗撞击情况，适宜采用普查的调查方法
B．从3000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量是100名学生
C．一组数据的众数有且只有一个
D．在统计中，可以用中位数来描述一组数据的集中趋势
6．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．12x2y＝3x•4xy B．x2+6x﹣7＝x（x+6）﹣7
C．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 D．x3﹣5x2＝x2（x﹣5）
7．某品牌专营店店主对上一周新进的某款衬衫销售情况统计如下：
尺码
39
40
41
42
43
44
45
平均每天销售数量/件
10
23
30
35
28
21
8
该店主决定本周进货时，增加一些42码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数
8．小石将（2020x+2021）2展开后得到多项式，小明将（2021x﹣2020）2展开后得到多项式，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4041 C．4041 D．1
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．一个角的余角是这个角的2倍，则这个角的度数 　 　°．
10．如图，AB∥CD，AD⊥BE于点D，∠1＝25°，则∠A的度数为 　 　°．

11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 　 　，则有CE∥DF，理由是 　 　．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

12．分解因式：x3﹣x＝　 　．
13．若一组数据5，1，x，6，2的众数是6，则这组数据的中位数是 　 　，平均数是 　 　．
14．计算：＝　 　．
15．若关于x的整式x2+（m﹣1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值是 　 　．
16．如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这样的规律，第5个图案中有 　 　个三角形，第n个图案中有 　 　个三角形（用含有n的代数式表示）．

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：2﹣3﹣（﹣1）2021﹣（3﹣π）0+．
18．分解因式：mx2﹣10mx+25m．
19．解方程组：．
20．如图，AB∥CD，AB平分∠EAD．
求证：∠C＝∠D．

21．计算：（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）．
22．为了满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，某校准备开展形式多样的特色课程．为了了解学生对部分课程的喜爱程度，学校对该校部分学生进行了一次“你最喜爱的特色课程”的问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一项），并将调查结果绘制成了如下两幅统计图（不完整）：
请根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 　 　人；
（2）请将上面统计图1补充完整并在图上标出数据；
（3）统计图2中，m＝　 　；“综合类”部分扇形的圆心角是 　 　°；
（4）若该校共有学生1200人，根据调查结果估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有 　 　人．
23．解不等式组：
24．如图，点P为∠ABC内一点．
（1）画图：①过点P画BC的垂线，垂足为点M；
②过点P画BC的平行线，交BA于点N；
（2）若∠B＝120°，则∠PNB＝　 　°，理由是 　 　．

25．已知x2+5x＝﹣2，求代数式（2x+3）2﹣x（x﹣3）的值．
26．列一元一次不等式解应用题：
某校七年级330名师生外出参加社会实践活动，租用50座与40座的两种客车．如果50座的客车租用了2辆，那么至少需要租用多少辆40座的客车？
27．如图，∠1＝∠EAB，∠E+∠2＝180°．
（1）判断EF与AC的位置关系，并证明；
（2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．

28．对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（ax+by）（2x+y），其中a，b是非零常数，等式右边是通常的四则运算．
如：T（2，1）＝（a×2+b×1）（2×2+1）＝10a+5b，T（m，﹣1）＝（am﹣b）（2m﹣1）．
（1）填空：T（1，﹣1）＝　 　（用含a，b的代数式表示）；
（2）已知T（1，﹣1）＝3且T（0，1）＝﹣1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有三个整数解，求t的取值范围．
（3）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对任意的有理数x，y都成立，请直接写出a，b满足的关系式．

2021北京石景山初一（下）期末数学
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【分析】根据不等式的性质以及特殊值代入判断各个选项的正误．
【解答】解：A：若a＝1，b＝﹣2且a＞b，此时a2＜b2，故选项A不一定成立．
B：若a＞b，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，则﹣3a＜﹣3b，故B正确．
C．若a＝﹣0.1，b＝﹣0.2且a＞b，此时，故选项C不一定成立．
D．若a＝2，b＝1且a＞b，此时a﹣2＜b+2，故选项D不一定成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质以及实数比较大小，熟练掌握不等式的性质以及特殊值代入来比较大小是解题关键．
2．【分析】根据整式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝a6，故A符合题意．
B、原式＝27a3b3，故B不符合题意．
C、原式＝3a6，故C不符合题意．
D、原式＝5a5，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000028＝2.8×10﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．【分析】根据邻补角的定义可得∠BEF的度数，进而由两直线平行线，同位角相等求得∠C的度数．
【解答】解：∵∠1＝70°，∠BEF+∠1＝180°
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝110°；
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠BEF＝110°．
故选：C．
【点评】此题主要考查的是平行线的性质和邻补角互补．能够正确运用平行线的性质：两直线平行线，同位角相等是解题的关键．
5．【分析】根据调查的方式、样本知识、众数、中位数的知识进行判断即可．
【解答】解：A、为了了解某品牌汽车的抗撞击情况，适宜采用抽样调查的调查方法，说法错误，不符合题意；
B、从3000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量是100名学生，说法正确，符合题意；
C、一组数据的众数可以有一个，也可以有多个，说法错误，不符合题意；
D、众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查调查的方式以及数字特征的应用，涉及到众数、中位数、平均数等基础知识，考查数据分析能力等核心数学素养，是基础题．
6．【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：A.12x2y＝3x•4xy，等式左边不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．x2+6x﹣7＝x（x+6）﹣7，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．x3﹣5x2＝x2（x﹣5），把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
7．【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
8．【分析】根据完全平方公式的展开式的特点，可以知道a1，a2的值，再根据平方差公式求出原式的值．
【解答】解：∵（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；
∴a1＝20202，
∵（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴a2＝20212，
∴a1﹣a2＝20202﹣20212＝（2020+2021）（2020﹣2021）＝﹣4041，
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉公式的结构特点是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【分析】利用题中“一个角的余角是这个角的2倍”作为相等关系列方程求解即可．
【解答】解：设这个角是x，
则90°﹣x＝2x，
解得x＝30°．
故答案为：30．
【点评】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
10．【分析】由AB∥CD可得∠B＝∠1＝25°，再由AD⊥BE，可得∠ADB＝90°，则在△ADB中可求得∠A的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝25°，
∴∠B＝∠1＝25°，
∵AD⊥BE于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴在△ADB中，∠A＝90°﹣∠B＝65°．
故答案为：65．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
11．【分析】根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
【解答】解：满足条件为：∠6＝∠D（答案不唯一），理由如下：
∵∠6＝∠D，
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠6＝∠D（答案不唯一），同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
12．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
13．【分析】根据众数和中位数，平均数的概念求解．
【解答】解：∵这组数据的众数为6，
∴x＝6，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，5，6，6，
中位数为：5．
平均数为：×（1+2+5+6+6）＝4，
故答案为：5，4．
【点评】本题考查了众数和中位数，平均数的知识，主要考查了众数、中位数与平均数的意义与求解方法．
14．【分析】根据积的乘方运算使得计算简便．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣199
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查积的乘方运算，掌握运算法则是解题基础．
15．【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．
【解答】解：依题意，得
（m﹣1）x＝±2×3x，
解得：m＝﹣5或7．
故答案为：﹣5或7．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
16．【分析】由所给的图形可知：第1个图案中三角形的个数为4；第2个图案中三角形的个数为4+3＝7；第3个图案中三角形的个数为4+3+3＝10；据此可得其规律．
【解答】解：第1个图案中三角形的个数为4；
第2个图案中三角形的个数为4+3＝4+3×1＝7；
第3个图案中三角形的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；
第4个图案中三角形的个数为4+3+3+3＝4+3×3＝13；
第5个图案中三角形的个数为4+3+3+3+3＝4+3×4＝16；
.....．
第n个图案中三角形的个数为4+3×（n﹣1）＝4+3n﹣3＝3n+1．
故答案为：16；3n+1．
【点评】本题主要考查了规律型：图形的变化类，解答的关键是找到三角形个数变化的规律．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝+1﹣1+
＝．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（x2﹣10x+25）
＝m（x﹣5）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
19．【分析】观察方程组各个含有未知数的项的系数，可加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：将x+y＝﹣1记作①式，2x﹣3y＝8记作②式．
①×2，得2x+2y＝﹣2...③．
②﹣③，得﹣5y＝10．
∴y＝﹣2．
将y＝﹣2代入①，得x＝1．
∴该方程组的解为
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法或加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
20．【分析】由AB∥CD可得∠BAD＝∠D，∠EAB＝∠C，再结合AB平分∠EAD，不难求得∠C＝∠D．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，∠EAB＝∠C，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAB＝∠BAD，
∴∠C＝∠D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解答的关键是对平行线的性质的熟练掌握与应用．
21．【分析】由运算法则可得，（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）＝2x2+x﹣6﹣5x2+6＝﹣3x2+x．
【解答】解：（x+2）（2x﹣3）+（10x3﹣12x）÷（﹣2x）
＝x•2x﹣3x+2•2x﹣2×3+10x3÷（﹣2x）﹣12x÷（﹣2x）
＝2x2﹣3x+4x﹣6﹣5x2+6
＝2x2+x﹣6﹣5x2+6
＝﹣3x2+x．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式运算，多项式除单项式运算，并能正确运算是解题的关键．
22．【分析】（1）根据科技类的人数和所占的百分比求出调查的总人数；
（2）先求出艺术类的人数，再补全统计图即可；
（3）用体育类的人数除以总人数，求出m，再用360°乘以“综合类”所占的百分比即可得出圆心角度数；
（4）用该校的总人数乘以喜欢“科技类”特色课程的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）此次被调查的学生共有：50÷25%＝200（人）．
故答案为：200；

（2）艺术类的人数有：200﹣30﹣50﹣60﹣20＝40（人），补全统计图如下：


（3）m%＝×100%＝30%，即m＝30；
“综合类”部分扇形的圆心角是：360°×＝36°．
故答案为：30，36；

（4）1200×＝300（人），
答：估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有300人．
故答案为：300．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x≥2，
由②得：x＞﹣9，
∴不等式组的解集为x≥2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
24．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据平行线的性质解决问题．
【解答】解：（1）①如图，PM为所作；
②如图，PN为所作；

（2）∵PN∥BC，
∴∠PNB+∠B＝180°，
∴∠PNB＝180°﹣120°＝60°．
故答案为60；两直线平行，同旁内角互补．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
25．【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x2+5x＝﹣2代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（2x+3）2﹣x（x﹣3）
＝4x2+12x+9﹣x2+3x
＝3x2+15x+9，
当x2+5x＝﹣2时，原式＝3（x2+5x）+9＝3×（﹣2）+9＝3．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
26．【分析】设需租用40座的客车x辆，由租用的两种客车可乘坐的人数不少于330名，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．
【解答】解：设需租用40座的客车x辆，
依题意，得：40x+50×2≥330，
解得：x≥5．
又∵x为正整数，
∴x的最小值为6．
答：至少需要租用6辆40座的客车．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
27．【分析】（1）由∠1＝∠EAB可得AE∥DC，从而得到∠2＝∠EAC，再结合∠E+∠2＝180°，可得EF∥AC；
（2）由（1）可得EF∥AC，则有BC⊥AC，可得∠ACB＝90°，再结合AC平分∠EAB，∠EAB＝60°，可求得∠2＝30°，则可求∠BCD的度数．
【解答】解：（1）EF∥AC，
证明：∵∠1＝∠EAB，
∴AE∥DC，
∴∠2＝∠EAC，
∵∠E+∠2＝180°，
∴∠E+∠EAC＝180°，
∴EF∥AC；
（2）由（1）得EF∥AC，
∵BF⊥EF，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠EAB，∠EAB＝60°，
∴∠EAC＝30°，
∵由（1）可知AE∥DC，
∴∠2＝∠EAC＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠2＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与应用．
28．【分析】（1）将x＝1，y＝﹣1代入T（x，y）＝（ax+by）（2x+y）即可；
（2）①由T（1，﹣1）＝3，可得a﹣b＝3，再由T（0，1）＝b＝﹣1，即可求a＝2；②由T（﹣m，2m+1）＝﹣4m﹣1≥﹣13，可求m≤3，再由T（3m，1﹣6m）＝12m﹣1＞t，可求m＞，再由不等式组有三个整数解，可知0≤＜1，求出t的范围即可；
（3）由已知可得2ax2+by2＝2ay2+bx2，即2a（x2﹣y2）＝b（x2﹣y2），再由x2≠y2，即可求的2a＝b．
【解答】解：（1）T（1，﹣1）＝（a﹣b）（2﹣1）＝a﹣b，
故答案为a﹣b；
（2）①∵T（1，﹣1）＝3，
∴a﹣b＝3，
∵T（0，1）＝b＝﹣1，
∴a＝2；
②T（﹣m，2m+1）＝[﹣2m﹣（2m+1）]（﹣2m+2m+1）＝﹣4m﹣1≥﹣13，
∴m≤3，
T（3m，1﹣6m）＝（6m﹣1+6m）（6m+1﹣6m）＝12m﹣1＞t，
∴m＞，
∵关于m的不等式组恰好有三个整数解，
∴0≤＜1，
∴﹣1≤t＜11；
（3）T（x，y）＝（ax+by）（2x+y）＝2ax2+axy+2bx+by2，
T（y，x）＝（ay+bx）（2y+x）＝2ay2+axy+2bxy+bx2，
∵T（x，y）＝T（y，x），
∴2ax2+by2＝2ay2+bx2，
∴2a（x2﹣y2）＝b（x2﹣y2），
∵x2≠y2，
∴2a＝b．
【点评】本题考查一元一次不等式组、新定义，能理解新运算，并能将新运算与所学运算相结合是解题的关键．