2021北京延庆初一（下）期末数学（教师版）

2021北京延庆初一（下）期末

数    学

一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．（2分）经过了8年的研发，华为正式推出了鸿蒙系统．鸿蒙系统使用了一款新的芯片，这款芯片被命名为麒麟9010，采用的是最为先进的3纳米工艺．3纳米就是0.000003毫米．把0.000003用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

2．（2分）不等式的解集在数轴上表示为　　

A． 

B． 

C． 

D．

3．（2分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

4．（2分）下列调查方式，你认为最合适的是　　

A．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 

B．了解端午节到延庆旅游的人数，采用抽样调查方式 

C．了解北京市中学生的用眼卫生情况，采用全面调查方式 

D．了解一批手机电池的使用寿命，采用全面调查方式

5．（2分）若，则下列不等式不成立的是　　

A． B． C． D．

6．（2分）下列变形是因式分解的是　　

A． B． 

C． D．

7．（2分）下列命题中是假命题的是　　

A．对顶角相等 

B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 

C．同旁内角互补 

D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行

8．（2分）如图，点是内一点，，，点在射线上，点在射线上．下列结论正确的是　　

①；②；③；④．

A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④

二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）

9．（2分）因式分解：　　．

10．（2分）写出二元一次方程的一个整数解 　　．

11．（2分）如图，点为直线上一点，，如果，那么的度数是　　．

12．（2分）是方程的一组解，则的值是　 　．

13．（2分）已知二元一次方程组，则的值为 　　．

14．（2分）如图，在三角形中，点，分别在边，上，请你添加一个条件 　　，使得．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

15．（2分）解不等式的流程如图所示，“系数化为1”这一步骤的依据是 　　．

16．（2分）观察、归纳：；；；请你根据以上等式的规律，完成下列问题：

（1）　　．

（2）计算　　．

三、解答题（17题4分；18-19题每小题4分；20-23题每小题4分；24题5分；25题8分；26题5分；27-28题每小题4分；本题共68分）

17．（4分）分解因式：

（1）；

（2）．

18．（8分）计算：

（1）．

（2）．

19．（8分）解方程组：

（1）．

（2）．

20．（4分）已知，求代数式的值．

21．（4分）解不等式组：并写出它的所有整数解．

22．（4分）已知：点是三角形内一点．

（1）过点作的平行线交于点，交于点；

（2）过点作的垂线，垂足为点；

（3）测量　　；

（4）测量线段　　．

23．（4分）完成下面的证明．已知：如图，三角形中，，点在的延长线上，且．求证：是的角平分线．

证明：，

　　，　　．

，

　　．

是的角平分线　　．

24．（5分）已知：如图，，交于点，．求证：．

25．（8分）应用题：为了丰富学生校园生活，满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，学校将要举行趣味运动会，体育组准备购买跳绳作为奖品．已知1条短跳绳和3条长跳绳，共需要96元；2条短跳绳和1条长跳绳共需要62元．

（1）求每条短跳绳和每条长跳绳各多少元；

（2）商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：短跳绳“九折”优惠；长跳绳不超过10条不优惠，超出10条的部分“六折”优惠．如果买条短跳绳需要元，买条长跳绳需要元．请用含，的代数式分别表示和；

（3）如果在（2）的条件下，购买同一种奖品50件，请分析买哪种奖品省钱．

26．（5分）阅读材料：延庆区某校七年级共10个班，综合实践小组的同学对本校七年级学生课外阅读最喜爱的图书种类进行了调查．围绕着“你最喜欢的是哪一类课外书？（只写一项）”的问题，对该校七年级学生进行了随机抽样调查．收集数据．文学类．艺体类．科普类．其他．通过调查得到的一组数据如下：

整理、描述数据．综合实践小组的同学对抽样调查的数据进行整理，绘制了统计图表（不完整）．

表1

根据以上信息，回答下列问题：

①表1中的　　，　　；

②请将图1补充完整；

③图2中，　　，“文学类”部分扇形的圆心角是 　　；

④若该校七年级共有学生360人，根据调查结果估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有 　　人．

27．（7分）在三角形中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点，，重合），连接，过点作交射线于点．

（1）如图1，点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明；

（2）如图2，点在线段上，求证：；

（3）当点在线段上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示与的数量关系，不需证明．

28．（7分）对于有理数，，定义，的含义为：当时，，；当时，，．例如：，，，，，．

（1），　　；

（2），　　；

（3）已知，，求的取值范围；

（4）已知，，求的值；

（5）已知，，直接写出，的值．

参考答案

一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．

【解答】解：．

故选：．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

2．【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定．

【解答】解：，

，

在数轴上表示不等式的解集为：

，

故选：．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集，难度适中．

3．【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项法则计算，判断即可．

【解答】解：、，本选项计算正确，符合题意；

、，本选项计算错误，不符合题意；

、，本选项计算错误，不符合题意；

、与不是同类项，不能合并，本选项计算错误，不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查的是单项式乘单项式、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．

4．【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答．

【解答】解：．旅客上飞机前的安检，适合全面调查方式，故选项不符合题意；

．了解端午节到延庆旅游的人数，适合抽样调查，故选项符合题意；

．了解北京市中学生的用眼卫生情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；

．了解一批手机电池的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

5．【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．

【解答】．，

，

，故本选项符合题意；

．，

，故本选项不符合题意；

．，

，故本选项不符合题意；

．，

，故本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

6．【分析】根据因式分解的概念，将复杂的多项式分解成多个单项式相乘的形式，对各个选项进行判断即可．

【解答】解：：等式右边既有相乘，又有相加，不符合概念，故本项错误；

：等式左边为多项式相乘，右边为多项式相加，不符合概念，故本项错误；

：等式左边为单项式与多项式相乘，右边为多项式相加，不符合概念，故本项错误；

：等式左边为多项式相加，左边为单项式相乘，符合概念，故本项正确．

故选：．

【点评】本题考查因式分解的基本概念，将多项式相加的形式写成单项式相乘的形式，根据概念对各项进行分析，即可求出答案．

7．【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及平行线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；

、平行于同一直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意；

、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；

、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题，不符合题意，

故选：．

【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及平行线的判定方法，难度不大．

8．【分析】①：由，可证，故①正确．

②：由，可证，故②正确．

③：由，，可证四边形是平行四边形，得，故③正确．

④：由③知，因为，所以．

【解答】解：①：，

．

故①正确．

②：，

．

故②正确．

③：，，

四边形是平行四边形．

．

故③正确．

④：由③知：．

，

．

故④正确．

综上：①②③④均正确．

故选：．

【点评】本题主要考查平行线的性质、平角的定义以及平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、平角的定义以及平行四边形的性质与判定是解决本题的关键．

二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）

9．【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．

【解答】解：．

【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．

10．【分析】只要写出的整数解使方程成立即可．

【解答】解：，

是方程的解，

故答案为（答案不唯一）．

【点评】本题考查二元一次方程的解，注意二元一次方程的解的无限性是解题的关键．

11．【分析】直接利用垂线的定义结合互余的性质求出答案．

【解答】解：，，

．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了垂线，正确把握垂线的性质是解题关键．

12．【分析】根据方程的解满足方程，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．

【解答】解：由题意，得

，

解得，

故答案为：．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得处关于的方程是解题关键．

13．【分析】将所给二元一次方程组中的两个方程直接相加，即可求出的值．

【解答】解：，

①②得，，

，

故答案为1．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，观察所求，直接将两个方程相加是简便求解的关键．

14．【分析】根据平行线的判定与性质进行判定即可得出答案．

【解答】解：若，

则（同位角相等，两直线平行）．（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．

15．【分析】根据不等式的基本性质3求解可得．

【解答】解：“系数化为1”这一步骤的依据是不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，

故答案为：不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

16．【分析】（1）仿照阅读材料中的等式写出第5个等式即可；

（2）归纳总结得到一般性规律，利用得出的规律化简，计算即可求出值．

【解答】解：（1）；

故答案为：；

（2）由题意，得；

．

故答案为：；．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，注意根据所给的算式总结出规律，并能利用总结出的规律解决实际问题．

三、解答题（17题4分；18-19题每小题4分；20-23题每小题4分；24题5分；25题8分；26题5分；27-28题每小题4分；本题共68分）

17．【分析】（1）直接提公因式即可；

（2）利用平方差进行分解即可．

【解答】解：（1）原式；

（2）原式．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

18．【分析】（1）应用一个数的平方，零指数幂，负指数幂，绝对值的运算法则进行计算即可得出答案；

（2）先应用多项式乘法进行计算，再应用完全平方公式进行计算，再合并同类项即可得得出答案．

【解答】解：（1）解：原式

；

（2）原式

．

【点评】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘法及零指数幂和负指数幂，熟练应用完全平方公式、多项式乘法及零指数幂和负指数幂的运算法则进行计算是解决本题的关键．

19．【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；

（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．

【解答】解：（1），

①代入②得，，

解得，

将代入①得，，

方程组的解为；

（2），

①②得，，

将代入①得，，

方程组的解为．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．

20．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式把原式化简，整体代入计算，得到答案．

【解答】解：

，

，

，

原式．

【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．

21．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．

【解答】解：

由①得，

由②得，

原不等式组的解集是，

原不等式组的所有非负整数解为、、0．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．

22．【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可．

（2）根据垂线的定义画出图形．

（3）利用量角器测量即可．

（4）用刻度尺测量，的长即可．

【解答】解：（1）如图，直线即为所求．

（2）如图直线即为所求．

（3）测量可知，．

故答案为：40．

（4）测量可知：．

故答案为：1.6．

【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，垂线等知识，解题的关键是熟练掌握平行线，垂线的定义，属于中考常考题型．

23．【分析】利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明后即可确定正确的答案．

【解答】证明：，

（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）．

，

．

是的角平分线（角平分线定义）．

故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；；角平分线定义．

【点评】考查了等腰三角形的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．同时考查了三角形外角的性质．

24．【分析】先由，可得，由已知条件，等量代换可得，即可得出答案．

【解答】证明：，

（两直线平行，内错角相等）．

，

．

（内错角相等，两直线平行）．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．

25．【分析】（1）设每条短跳绳的售价为元，每条长跳绳的售价为元，根据“1条短跳绳和3条长跳绳，共需要96元；2条短跳绳和1条长跳绳共需要62元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）利用总价单价数量，结合“优惠促销”的具体优惠方法，即可用含，的代数式分别表示和；

（3）代入，求出，的值，比较后即可得出结论．

【解答】解：（1）设每条短跳绳的售价为元，每条长跳绳的售价为元，

依题意得：，

解得：．

答：每条短跳绳的售价为18元，每条长跳绳的售价为26元．

（2）依题意得：；

当时，；

当时，．

．

（3）当时，；

当时，．

，

买短跳绳省钱．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含，的代数式分别表示和；（3）代入，求出，的值．

26．【分析】（1）从两个统计图中可以得到喜欢文学类的有32人，占调查人数的，可求出调查人数，由图1可知，用调查人数减去文学类、科普类、其他的人数即可求解；

（2）由（1）知艺体类的人数为16，据此补全图1；

（3）用艺体类的人数为16人除以调查人数80人即可求解，用乘以“文学类”的占比即可求解文学类”部分扇形的圆心角度数；

（4）样本估计总体，在360人中约有的喜欢“科普类”图书．

【解答】解：（1）调查人数为：（人，

由图1可知，，

则，

故答案为：16，12；

（2）由（1）知艺体类的人数为16，故将图1补充完整如下：

（3），

，

“文学类”部分扇形的圆心角是：，

故答案为：20，144；

（4）估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有：（人，

故答案为：90．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．

27．【分析】（1）结论：．如图1中，过点作交于点．利用平行线的性质求解即可．

（2）如图2中，过点作交于点．利用平行线的性质求解即可．

（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可．

【解答】（1）解：结论：．

理由：如图1中，过点作交于点．

，

．

．

，

．

，

．

．

．

（2）证明：如图2中，过点作交于点．

．

．

．

，

．

，

．

．

．

．

．

（3）解：结论：．

理由：设交于．

，

，

，，

【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．

28．【分析】（1）由定义可求，；

（2）先确定的取值范围，再求解；

（3）由已知可得，求出即可；

（4）分两种情况讨论：①当时，且，解得；②当时，且，解得；

（5）由已知可得，求出，即可．

【解答】解：（1）由已知，，

，，

故答案为6；

（2），

，

，

，，

故答案为2；

（3），，

，

；

（4），，

①当时，且，

，

②当时，且，

，

或；

（5），，

，

，

，．

【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，能将所求知识根据定义转化为一元一次方程求解是解题的关键．