2021北京八十中初一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京八十中初一（下）期中数学（教师版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京八十中初一（下）期中
数 学
一、选择题(每题3分，共30分)
1. 算术平方根是（　　）
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是 （　　）
A. 对我市中学生心理健康现状的调查 B. 调查我市冷饮市场雪糕质量情况
C. 调查我国网民对某事件的看法 D. 对我国首架大型民用飞机各零部件质量的检查
5. 下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
6. 如图，数轴上点表示数可能是（ ）

A. B. C. D.
7. 下列命题中，真命题（ ）
A. 相等的角是对顶角 B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 带根号的数一定是无理数 D. 如果，那么
8. 如图的棋盘中，若“帅”位于点 (1，－2)上， “相”位于点(3，－2)上，则 “炮” 位于点 ( )上．


A. (2，1) B. (－2，1) C. (－1， 2) D. (1，－2)
9. 如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（ ）

A. B. C. D.
10. 党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础.以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分.


（以上数据来源于国家统计局）
根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是
A. 2018年中部地区农村贫困人口为 597万人
B. 2017-2019年，农村贫困人口数量都是东部最少
C 2016-2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多
D. 2017-2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 若点M 在第二象限，则实数的取值范围为______________．
12. 不等式的最大整数解是______
13. 如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是______．
14. 若，则___________．
15. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM，若∠BOD=，则∠CON的度数为_____．

16. 如图，将三角形 ABC 向左平移 3cm 得到三角形 DEF，其中点 E、B、F、C 在同一条直线上，如果三角形 ABC 的周长是 12cm，那么四边形 ACED 的周长是_____cm．

17. 如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为____. 

18. 甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
类型
载重量（吨）
运费（元/车）
大货车
8
450
小货车
5
300
运完这批货物最少要支付运费_____元．
三、解答题（ 本题共54分）
19. 计算下列各式：
（1）
（2）
20. 解方程组：
21. 解不等式组，写出它的正整数解．
22. 如图，∠AOB内有一点P． 根据下列语句画图：
（1）过点P作OB的垂线段，垂足为Q ；
（2）过点P作线段PC∥OB交OA于点C，作线段PD∥OA交OB于点D ；
（3）如果∠O = 40°，那么∠DPQ = ° ；
（4）比较PQ和PD的大小：PQ PD，依据是 ．

23. 如图， 在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为（-2，-2），（3，1），（0，2），若把三角形ABC向上平移 3 个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点A、B、C的对应点分别为．

（1）在图中画出平移后的三角形；
（2）写出点的坐标；
（3）三角形ABC的面积为 ．
24. 按要求完成下列证明：
如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D． 试说明：AC//DF．


证明：∵ ∠1＝∠2 （已知）
∠1＝∠3（ ）
∴∠2＝∠3．（等量代换）
∴ // ．
∴ ∠C＝∠ABD．（ ）
又∵ ∠C＝∠D ，（已知）
∴∠D =∠ABD ．（等量代换）
∴ AC//DF ．（ ）
25. 某学校在暑假期间安排了“心怀感恩•孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中多帮父母干家务．开学以后，校学生会的老师们在学校随机抽取了部分学生，就暑假期间“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分（每段时长均含最小值，不含最大值）：

根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是　 　人；
（2）补全扇形统计图，补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，计算出“10 ~ 20分钟”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果该校共有学生3000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？
26. 小明所在的学校加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个篮球和3个足球共需310元，购买5个篮球和2个足球共需500元．
（1）每个篮球和足球各需多少元？
（2）根据实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球功60个，要求购买篮球和足球的总费用不超过4000元，那么最多可以购买多少个篮球？
27. 已知：射线AB∥射线CD，点P是平面内一点，连接PA，PC，射线AE平分∠PAB，射线CF平分∠PCD．
（1）如图1，若点P在线段AC上，求证：AE∥CF；
（2）若点P在线段AB所在直线的上方，且射线AE所在的直线与射线CF所在的直线相交于点Q．直接用等式表示∠APC与∠AQC的数量关系　 　．

28. 定义：已知点，若点，我们称点是点的关联点．如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，其对应的关联点分别为点、点．

（1）当时，写出点、点的坐标：________、_________；
（2）求当为何值时，线段上的点都在第二象限；
（3）点是平面直角坐标系内一点．
①当点在轴上且三角形的面积是三角形的面积的2倍时，求点的坐标；
②当时，若点在直线之间(含在这两条直线上)，直接写出的取值范围．

参考答案
一、选择题(每题3分，共30分)
1. 的算术平方根是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．
【详解】解：的算术平方根是．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．
2. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式的符号不变；不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的符号不变；不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式的符号改变，根据不等式的基本性质判断即可．
【详解】解：A、在不等式a B、在不等式a C、在不等式a D、在不等式a 故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握无理数的定义.
4. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是 （　　）
A. 对我市中学生心理健康现状的调查 B. 调查我市冷饮市场雪糕质量情况
C. 调查我国网民对某事件的看法 D. 对我国首架大型民用飞机各零部件质量的检查
【答案】D
【解析】
【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
【详解】解：A．对我市中学生心理健康现状的调查，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查我市冷饮市场雪糕质量情况，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
C．调查我国网民对某事件的看法，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
D．对我国首架大型民用飞机各零部件质量的检查，适合全面调查，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 下列结论正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，再根据算术平方根和立方根的定义求解即可．
【详解】A．，故A选项结论正确
B．，故B选项结论不正确；
C．，故C选项结论不正确．
D．，故D选项结论不正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算数平方根和立方根的定义，二次根式的性质化简，正确化简和掌握相关定义是解题的关键．
6. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对四个选项中的无理数进行估算，再根据P点的位置即可得出结果．
【详解】解：∵1＜＜2，=2，3＜＜4，2＜＜3，
∴根据点P在数轴上的位置可知：点P表示的数可能是，
故选D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，能够正确估算出无理数的范围是解决本题的关键．
7. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 相等的角是对顶角 B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 带根号的数一定是无理数 D. 如果，那么
【答案】B
【解析】
【分析】说明一个命题错误只需举一个反例即可.显然ABD三个选项错误．
【详解】A选项只有两条直线相交时才能形成对顶角．
B选项正确．
C选项可以举一反例，根号4等于2．
D选项同样道理举出反例但结论不成立．
故选：B
【点睛】熟练掌握概念的内涵以及命题的具体化是解决这一类问题的关键.
8. 如图的棋盘中，若“帅”位于点 (1，－2)上， “相”位于点(3，－2)上，则 “炮” 位于点 ( )上．


A. (2，1) B. (－2，1) C. (－1， 2) D. (1，－2)
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知两点的坐标可确定平面直角坐标系，再判断其它各点的坐标．
【详解】解：依题意，坐标系的原点是从下数第3行与从左数第4列的交点，故炮的坐标为（-2，1）．


故选B．
【点睛】本题主要考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，建立平面直角坐标系，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
9. 如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：A、当∠5=∠B时，AB∥CD，不合题意；
B、当∠1=∠2时，AB∥CD，不合题意；
C、当∠B+∠BCD=180°时，AB∥CD，不合题意；
D、当∠3=∠4时，AD∥CB，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
10. 党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础.以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分.


（以上数据来源于国家统计局）
根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是
A. 2018年中部地区农村贫困人口为 597万人
B. 2017-2019年，农村贫困人口数量都是东部最少
C. 2016-2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多
D. 2017-2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低
【答案】C
【解析】
【分析】分别对照统计表和统计图分析或计算即可．
【详解】解：、2018年中部地区农村贫困人口为：（万人）．故的说法正确；
、由统计表可知选项说法正确；
、，，，
，故不正确，
、∵，，，
，
说法正确．
∴只有推断不正确．
故选：．
【点睛】本题考查了条形统计图及统计表，明确相关统计基础知识并会根据图表进行分析是解题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 若点M 在第二象限，则实数的取值范围为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在第二象限的符号特征列不等式组进行求解.
【详解】解：因为点M 在第二象限，
所以，
解得：，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查点的坐标特征和解不等式，解决本题的关键是要熟练掌握点的坐标特征和解不等式组的方法.
12. 不等式的最大整数解是______
【答案】2
【解析】
【详解】解：解不等式-x+3＞0，
得x＜3，
不等式的最大整数解为2．
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了不等式的解法和整数解得确定，解题关键是利用不等式的基本性质3解不等式，然后才能从解集中确定出最大整数解.
13. 如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是______．
【答案】（0，-2）
【解析】
【分析】根据已知条件点P（m+3，2m+4）在y轴上，可知点P的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出点P的坐标．
【详解】∵P（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m+3=0，得m=-3，
即2m+4=-2．即点P的坐标为（0，-2），
故答案为：（0，-2）．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0．
14. 若，则___________．
【答案】-1
【解析】
【分析】直接解二元一次方程组求出x与y的值，再求出x+y即可.
【详解】解：，
解得 ，
∴．
故答案为：-1.
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法.
15. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM，若∠BOD=，则∠CON的度数为_____．

【答案】55°；
【解析】
【分析】根据角平分线与角度的运算即可求解.
【详解】∵∠BOD=，
∴∠AOC=∠BOD=，
∵射线OM平分∠AOC,
∴∠COM=∠AOC=35°，
∵ON⊥OM，∴∠CON=90°-∠COM=55°.
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知角度计算.
16. 如图，将三角形 ABC 向左平移 3cm 得到三角形 DEF，其中点 E、B、F、C 在同一条直线上，如果三角形 ABC 的周长是 12cm，那么四边形 ACED 的周长是_____cm．

【答案】18cm
【解析】
【分析】先根据平移的性质得到DE=AB，AD=BE=3cm，再由三角形 ABC 的周长是 12cm即可求解.
【详解】解：∵三角形 ABC 向左平移 3cm 得到三角形 DEF
∴DE=AB，AD=BE=3cm
∵三角形 ABC 的周长是 12cm
∴
故答案为：18cm.
【点睛】此题主要考查平移的性质，灵活运用平移的性质是解题关键.
17. 如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为____. 

【答案】25°
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可求得．
【详解】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=65°，
∴∠3=65°，
∴∠2=90°-65°=25°．
故答案是：25°．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题关键是运用了平行线的性质：“两直线平行，同位角相等”．
18. 甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
类型
载重量（吨）
运费（元/车）
大货车
8
450
小货车
5
300
运完这批货物最少要支付运费_____元．
【答案】2400
【解析】
【分析】直接利用二元一次方程组的解分析得出答案．
【详解】设租用大货车x辆，小货车y辆，由题意得：
8x+5y=42，
整数解为： ，此时运费为：4×450+2×300=2400（元），
当x=6时，y=0，此时运费为：6×450=2700（元），
当x=5时，y=1（此车没装满），此时运费为：5×450+1×300=2550（元），
当x=3时，y=4（有一辆车没装满），此时运费为：3×450+4×300=2550（元），
当x=2时，y=6（有一辆车没装满），此时运费为：2×450+6×300=2700（元），
故运完这批货物最少要支付运费是2400元．
故答案为：2400．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，正确结合实际分析是解题关键．
三、解答题（ 本题共54分）
19. 计算下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）-7；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出立方根和算术平方根，然后利用有理数的混合计算法则求解即可；
（2）利用算术平方根和绝对值的计算方法求解即可.
【详解】解：（1）


；
（2）

.
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，算术平方根，绝对值和立方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】直接解一元二次方程即可得到答案.
【详解】解：，
把① ×2-②得：，解得，
把代入①中，解得，
∴方程组的解为.
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21. 解不等式组，写出它的正整数解．
【答案】不等式组解集为：-＜x≤4，它的正整数解为1，2，3，4．
【解析】
【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定它的正整数解．
【详解】解：，
解①得：x＞-，
解②得：x≤4，
不等式组的解集为：-＜x≤4，
则它的正整数解为1，2，3，4．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法．
22. 如图，∠AOB内有一点P． 根据下列语句画图：
（1）过点P作OB的垂线段，垂足为Q ；
（2）过点P作线段PC∥OB交OA于点C，作线段PD∥OA交OB于点D ；
（3）如果∠O = 40°，那么∠DPQ = ° ；
（4）比较PQ和PD的大小：PQ PD，依据是 ．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ；（4）；垂线段最短
【解析】
【分析】（1）利用三角板的直角，过点P作OA⊥PQ即可；
（2）过点P画线段PC∥OB交OA于点C，画线段PD∥OA交OB于点D即可；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理即可求解．
（4）根据直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段距离最短即可求解.
【详解】如图：

（2）如图：

（3）∵AO∥PD，
∴∠O=∠ODP=40°，
∵PQ⊥BO，
∴∠PQD=90°，
∴∠DPQ=50°，
故答案为：50°．
（4）因为PQ⊥BO，
所以；
点到直线上所有连线中，垂线段距离最短.
故答案为：垂线段最短.
【点睛】本题主要考查了基本作图的中的垂线和平行线的作法以及作一个角等于已知角，要求能够熟练地运用尺规作图，并保留作图痕迹．
23. 如图， 在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为（-2，-2），（3，1），（0，2），若把三角形ABC向上平移 3 个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点A、B、C的对应点分别为．

（1）在图中画出平移后的三角形；
（2）写出点坐标；
（3）三角形ABC的面积为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据平移规律确定，，的坐标，再连线即为平移后的三角形；
（2）根据平移规律写出的坐标即可；
（3）可将三角形补成一个矩形，用矩形的面积减去三个直角形的面积即可．
【详解】（1）如图所示，三角形即为所求；

（2）若把三角形ABC向上平移 3 个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点的坐标为（-3,1）；
（3）三角形ABC的面积为：4×5-×2×4-×1×3-×3×5=7．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，以及三角形在坐标轴上的计算，切割法的运用，掌握平移规律和运用切割法求面积是解题的关键．
24. 按要求完成下列证明：
如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D． 试说明：AC//DF．


证明：∵ ∠1＝∠2 （已知）
∠1＝∠3（ ）
∴∠2＝∠3．（等量代换）
∴ // ．
∴ ∠C＝∠ABD．（ ）
又∵ ∠C＝∠D ，（已知）
∴∠D =∠ABD ．（等量代换）
∴ AC//DF ．（ ）
【答案】对顶角相等；CE；BD；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据已知∠1=∠2及对顶角相等求得同位角∠2=∠3，从而推知两直线CE∥BD，所以同位角∠C=∠ABD；然后由已知条件∠C=∠D推知内错角∠D=∠ABD，所以两直线AC∥DF．
【详解】证明：∵ ∠1＝∠2 （已知）
∠1＝∠3（ 对顶角相等 ）
∴∠2＝∠3．（等量代换）
∴ CE // BD ．
∴ ∠C＝∠ABD．（ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵ ∠C＝∠D ，（已知）
∴∠D =∠ABD ．（等量代换）
∴ AC//DF ．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理得综合运用．
25. 某学校在暑假期间安排了“心怀感恩•孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中多帮父母干家务．开学以后，校学生会的老师们在学校随机抽取了部分学生，就暑假期间“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分（每段时长均含最小值，不含最大值）：

根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是　 　人；
（2）补全扇形统计图，补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，计算出“10 ~ 20分钟”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果该校共有学生3000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？
【答案】（1）200；（2）见解析；（3）72°；（4）900
【解析】
【分析】（1）根据10～20分钟的有40人，所占的百分比是20%，据此即可求得调查的总人数；
（2）根据百分比的意义以及求得30～40分钟的人数所占的百分比，40～50分钟的人数所占的百分比以及20～30分钟所占的百分比和人数，从而补全统计图；
（3）用360º乘以“10 ~ 20分钟”部分所占的百分比计算即可；
（4）利用总人数乘以对应的百分比即可．
【详解】解：（1）调查的学生人数是：40÷20%=200（人），
故答案是：200；
（2） 3040分钟50÷200×100%=25%；
40～50分钟的人数所占的百分比是10 ÷200×100%=5%，
则20～30分钟所占的百分比是：1-25%-30%-20%-5%=20%，
则人数是200×20%=40（人）．补全图形如下：

（3）；
（4）“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有3000×（25%+5%）=900（人）．
【点睛】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图以及利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26. 小明所在的学校加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个篮球和3个足球共需310元，购买5个篮球和2个足球共需500元．
（1）每个篮球和足球各需多少元？
（2）根据实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球功60个，要求购买篮球和足球的总费用不超过4000元，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）每个篮球80元，每个足球50元；（2）最多可以买33个篮球．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据买2个篮球和3个足球共需310元，购买5个篮球和2个足球共需500元，列出方程组，求解即可；
（2）设买m个篮球，则购买（60-m）个足球，根据总价钱不超过4000元，列不等式求出x的最大整数解即可．
试题解析：（1）设每个篮球x元，每个足球y元，
由题意得，，
解得：，
答：每个篮球80元，每个足球50元；
（2）设买m个篮球，则购买（60-m）个足球，
由题意得，80，m+50（60-m）≤4000，
解得：m≤33，
∵m为整数，
∴m最大取33，
答：最多可以买33个篮球．
考点：1.一元一次不等式的应用；2.二元一次方程组的应用．
27. 已知：射线AB∥射线CD，点P是平面内一点，连接PA，PC，射线AE平分∠PAB，射线CF平分∠PCD．
（1）如图1，若点P在线段AC上，求证：AE∥CF；
（2）若点P在线段AB所在直线的上方，且射线AE所在的直线与射线CF所在的直线相交于点Q．直接用等式表示∠APC与∠AQC的数量关系　 　．

【答案】（1）见解析；（2）∠APC + 2∠AQC = 180°或 2∠AQC - ∠APC = 180°
【解析】
【分析】（1）根据平行线和角平分线的性质进行求解即可；
（2）设PC与AB交于M，与AE交于N，然后分当点Q在射线AE上时，和当点Q在射线AE的反向延长线上时，两种情况讨论求解即可.
【详解】解：（1）若点P在线段AC上，
射线AB//射线CD，
（两直线平行，内错角相等）
射线AE平分∠PAB，射线CF平分∠PCD，
，（角平分线定义）

AE//CF（内错角相等，两直线平行）
（2）设PC与AB交于M，与AE交于N，
∵AB//CD，
∴∠AMP=∠DCP，
∵AE平分∠PAB，CF平分∠PCD，
，，
∴，
当点Q在射线AE上时，
∠AQC=∠ANC+∠PCF
（180°-∠APC），
∴ 2∠AQC - ∠APC = 180°；

当点Q在射线AE反向延长线上时，
∵∠AQC+∠ANC+∠PCF=180°，
∴∠AQC=180°-∠ANC-∠PCF=180°--，
=180°-=180°-∠APC-（180°-∠APC），
∴∠APC + 2∠AQC = 180°；
∴综上所述，∠APC + 2∠AQC = 180°或2∠AQC - ∠APC = 180°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28. 定义：已知点，若点，我们称点是点的关联点．如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，其对应的关联点分别为点、点．

（1）当时，写出点、点的坐标：________、_________；
（2）求当为何值时，线段上的点都在第二象限；
（3）点是平面直角坐标系内一点．
①当点在轴上且三角形的面积是三角形的面积的2倍时，求点的坐标；
②当时，若点在直线之间(含在这两条直线上)，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②．
【解析】
【分析】（1）根据关联点的定义进行运算即可得到；
（2）由定义可知，，根据C、D的位置可以得出CD与平行且点在点的右从而列出不等式，进而得到t的取值范围；
（3）①由,可得点到的距离等于点到的距离的2倍,可分两种情况：当点在直线和之间时,点到的距离为2,可得P点坐标,当点在直线上方时,同理可得P点坐标；
②当点P在AC上时，连接AP并延长，此时C点坐标为（0，3），可求此时t的值；当点P在BD上时，连接BP并延长，此时D点坐标为（-2，3），可求此时t的值，进而得到t的取值范围.
【详解】（1）
（2）由定义可知，,
的纵坐标相同,
与平行且点在点的右侧,
,
解得：,
（3）①由坐标特征可知，与平行且相等,

点到的距离等于点到的距离的2倍,
(i)当点在直线和之间时,
点到的距离为2,
,
(ii)当点在直线上方时,
同理，;
② .
当点P在AC上时，连接AP并延长，此时C点坐标为（0，3），
∵，
∴t=-1；
当点P在BD上时，连接BP并延长，此时D点坐标为（-2，3），
∵，
∴t=-5，
∴t的取值范围为：.
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标变化，掌握变化规律是解题的关键.