2021北京北师大实验中学初一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京北师大实验中学初一（下）期中数学（教师版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，探究题等内容，欢迎下载使用。

2021北京北师大实验中学初一（下）期中
数 学
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1. 4的平方根是( )
A. 2 B. ±2 C. 16 D. ±16
2. 下列各不等式中，能推出的是（ ）
A. B. C. D.
3. 实数，1.414，，﹣，π，，1.2，1.202120021200021…中无理数的个数为（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题中是真命题的是（ ）
①相等的角是对顶角．
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④
6. 如图，快艇从P处向正北方向航行到A处时，向左转航行到B处，再向右转继续航行，此时快艇航行的方向为（ ）

A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏东 D. 北偏西
7. 某公园里有一处长方形风景欣赏区，长140米，宽90米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），若小路的宽度忽略不计，则小路的总长约为（ ）米．

A. 230 B. 280 C. 320 D. 350
8. 如图，，则（ ）

A. B. C. D.
9. 某品牌手机的成本为每部2000元，售价为每部2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于12%，如果将这种品牌的手机打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（　　）．
A. 2800x≥2000×12%
B. 2800×-2000≥2000×12%
C. 2800×≥2000×12%
D. 2800x-2000≥2000×12%
10. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A. B.
C D.
二、填空题：（每小题2分，共20分）
11. 的立方根是__________．
12. 举例说明命题“如果，那么．”是假命题，______，______，______．
13. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为________．
14. 已知，则________．
15. 点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，且点A在x轴下方，则点A的坐标为________．
16. 若，则_______________________．
17. 平面直角坐标系中，点不可能在第______象限．
18. 关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为__________．
19. 如图是故宫部分建筑的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系．若慈宁宫的坐标为，紫禁城角楼的坐标为，那么太和殿的坐标为________．

20. 如果点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫作对称中心，此时，点M是线段PQ的中点．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），O（0，0），点P1，P2，P3，…中相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与P6点关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…且这些对称中心依次循环，已知点P1的坐标是（﹣1，2），则点P2的坐标为___，点P2021的坐标为___．

三、解答题（共50分）
21. 计算：
22. 按要求解下列不等式（组）．
（1）解关于x的不等式，并将解集用数轴表示出来．
（2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
23. 作图并回答问题：已知，如图，点P在∠AOB的边OA上．

（1）过点P作OA边的垂线l；
（2）过点P作OB边垂线段PD；
（3）过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得　 　，得此结论的依据是　 　．
24. 完成下面的解题过程．
已知：如图，，平分，求．

解：∵（对顶角相等）
又∵
∴
∴（ ）
∴（ ）
∵
∴
∵平分
∴_____=_____
∴______．
25. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．

（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点A经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，点B、C分别与点E、F对应，画出平移后的；
（3）在（2）条件下，在坐标轴上找到点Q，使得的面积与的面积相等，则的面积为_______，点Q的坐标为________．
26. 已知：如图，于点H，于点K，，求证：．

27. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：

甲型机器人
乙型机器人
购买单价（万元/台）
m
n
每小时拣快递数量（件）
1200
1000
（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？
28. 已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且＋|β﹣40|＝0

（1）α＝　 　，β＝　 　；直线AB与CD的位置关系是　 　；
（2）如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
四、探究题
29. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次操作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是_______．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_______．
30. 若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点，若A的解集中点是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，那么不等式B对于不等式组A________（填“是”或“否”）中点包含；
（2）已知关于x的不等式组Q：，以及不等式P：，若P对于不等式组Q中点包含，则a的取值范围是______．
（3）关于x的不等式组S：，以及不等式组T：，若不等式组T对于不等式组S中点包含，求m需要满足何种条件？
31. 在平面直角坐标系中，任意两点，定义：A，B的绝对距离是．
例如：如图1，，则的绝对距离，即线段与的和．

（1）已知：点，则P，Q的绝对距离_________．
（2）已知：点，若点满足，则在图2中画出所有符合这一条件的点X组成的图形．
（3）已知：，若点满足，则在图3中画出所有符合这一条件的点Y组成的图形．

（4）已知：，若点满足，则点Z的坐标为________．

参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1. 4的平方根是( )
A. 2 B. ±2 C. 16 D. ±16
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的意义求解即可，正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【详解】∵(±2)2=4,
∴4的平方根是±2,即.
故选B.
【点睛】本题考查了平方根的意义，如果个一个数x的平方等于a，即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根.
2. 下列各不等式中，能推出的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逆向利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】解：A、因为a-3＜b-3，
所以a＜b，故本选项不合题意；
B、因为-4a＜-4b，
所以a＞b，故本选项符合题意；
C、因为，
所以a＜b，故本选项不合题意；
D、因为a2＞b2，
所以|a|＞|b|，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3. 实数，1.414，，﹣，π，，1.2，1.202120021200021…中无理数的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】无理数是无限不循环小数，据此定义解题．
【详解】解：是分数，不是无理数；1.414，1.2，是有限小数，不是无理数；，π，1.202120021200021…是无理数；﹣，是整数，不是无理数；即无理数的个数是3个，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数与无理数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4. 利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示出即可判断出正确答案．
【详解】解：不等式组的解集为，
∵x可以取-1，故-1处是实心点且往左，x不可以取2，故2处是空心且往右，
∴原不等式组无解，
即在数轴上没有公共部分，故B、C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解数轴上空心点，实心点的含义是解题关键．
5. 下列命题中是真命题的是（ ）
①相等的角是对顶角．
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理一一判断即可．
【详解】解：①相等的角是对顶角．是假命题．
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．真命题．
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．假命题．
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．真命题．
故选：D．
【点睛】本题考查对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 如图，快艇从P处向正北方向航行到A处时，向左转航行到B处，再向右转继续航行，此时快艇航行的方向为（ ）

A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏东 D. 北偏西
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【详解】解：如图，
∵AP∥BC，
∴∠2=∠DAB=40°．
∴∠3=60°-40°=20°，
此时的航行方向为北偏东20°，
故选：C．

【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．
7. 某公园里有一处长方形风景欣赏区，长140米，宽90米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），若小路的宽度忽略不计，则小路的总长约为（ ）米．

A. 230 B. 280 C. 320 D. 350
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于AD+BC，求出答案即可．
【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于AD+BC，
∵四边形ABCD是矩形，长AB=140米，宽BC=AD=90米，
∴小路的总长约为140+90×2=320（米），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键．
8. 如图，，则（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线性质得出∠1=∠C=85°，根据三角形外角性质求出∠E即可．
【详解】解：∵AB∥CD，

∴∠1=∠C=85°，
∴∠E=∠1-∠A=85°-25°=60°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．
9. 某品牌手机的成本为每部2000元，售价为每部2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于12%，如果将这种品牌的手机打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（　　）．
A. 2800x≥2000×12%
B. 2800×-2000≥2000×12%
C. 2800×≥2000×12%
D. 2800x-2000≥2000×12%
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意，根据一元一次不等式的性质分析，即可得到答案．
【详解】如果将这种品牌手机打x折销售，根据题意得：2800×-2000≥2000×12%
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解．
10. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）=2可知|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．
【详解】解：∵f（x，y）=2，
∴|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|y|＜2．
①当|x|=2，|y|≤2时，点P满足x=2，-2≤y≤2或x=-2，-2≤y≤2，
在图象上，线段x=2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x=-2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的左边；
②当|y|=2，|x|＜2时，点P满足y=2，-2＜x＜2，或y=-2，-2＜x＜2，
在图象上，线段y=2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y=-2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的下边．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征．
二、填空题：（每小题2分，共20分）
11. 的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【详解】【分析】根据立方根的定义进行求解即可得.
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.
12. 举例说明命题“如果，那么．”是假命题，______，______，______．
【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. -2
【解析】
【分析】根据不等式的性质举反例说明即可．
【详解】解：a=1，b=2，c=-2，
则ac＞bc，a＜b，
故答案为：1，2，-2．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题．
13. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为________．
【答案】（3，-1）
【解析】
【分析】让纵坐标不变，横坐标互为相反数可得所求点的坐标．
【详解】解：∵-3的相反数为3，
∴所求点的横坐标为3，纵坐标为-1，
故答案为（3，-1）．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
14. 已知，则________．
【答案】0.4472
【解析】
【分析】首先把化为即，代入的值即可．
【详解】解：．
故答案为：0.4472．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，关键在于根据已知推出0.2的算术平方根．
15. 点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，且点A在x轴下方，则点A的坐标为________．
【答案】（-1，-3）或（1，-3）
【解析】
【分析】先判断出点A在第三象限或第四象限，再根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵点A在x轴的下方，
∴点A在第三象限或第四象限，
∵点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，
∴点A的横坐标为±1，纵坐标为-3，
∴点A的坐标是（-1，-3）或（1，-3）．
故答案为：（-1，-3）或（1，-3）．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
16. 若，则_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先由二次根式有意义可得从而依次求解的值，可得答案．
【详解】解：

解得：


故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
17. 在平面直角坐标系中，点不可能在第______象限．
【答案】一
【解析】
【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．
【详解】解：①m-3＞0，即m＞3时，-2m＜-6，
4-2m＜-2，
所以，点P（m-3，4-2m）在第四象限；
②m-3＜0，即m＜3时，-2m＞-6，
4-2m＞-2，
点P（m-3，4-2m）可以在第二或三象限，
综上所述，点P不可能在第一象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
18. 关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】表示出不等式的解集，根据解集中只有2个正整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：，解得
∵不等式只有2个正整数解
∴，解得
故答案：
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．
19. 如图是故宫部分建筑的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系．若慈宁宫的坐标为，紫禁城角楼的坐标为，那么太和殿的坐标为________．

【答案】直角坐标系见解析，（1，-1）．
【解析】
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出各点的坐标．
【详解】解：根据题意先确定原点的位置（如图），


∴太和殿的坐标为（1，-1），
故答案为（1，-1）．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
20. 如果点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫作对称中心，此时，点M是线段PQ的中点．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），O（0，0），点P1，P2，P3，…中相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与P6点关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…且这些对称中心依次循环，已知点P1的坐标是（﹣1，2），则点P2的坐标为___，点P2021的坐标为___．

【答案】 ①. （﹣1，﹣2） ②. （﹣1，4）
【解析】
【分析】探究规律，利用规律解题．
【详解】解：由题意得，
点P1的坐标是（﹣1，2），点P2的坐标为（﹣1，﹣2），点P3的坐标为（1，4），点P4的坐标为（﹣1，-4），点P5的坐标为（﹣1，4），点P6的坐标为（1，-2），点P7的坐标为（﹣1，2），点P8的坐标为（﹣1，﹣2），点P9的坐标为（1，4），点P10的坐标为（﹣1，-4），点P11的坐标为（-1，4），点P12的坐标为（1，-2），…
由此可知，6次一个循环，
∵2021÷6=336…5
点P2021的坐标与点P5的坐标相同，为（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，规律型问题，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（共50分）
21. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
=
=
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22. 按要求解下列不等式（组）．
（1）解关于x的不等式，并将解集用数轴表示出来．
（2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）x≥，数轴见解析；（2）-3＜x≤1，数轴见解析，整数解是-2，-1，0，1
【解析】
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1），
去分母得：6-2（2x-1）≤3（1+x），
去括号得：6-4x+2≤3+3x，
移项得：-4x-3x≤3-6-2，
合并同类项得：-7x≤-5，
系数化成1得：x≥，
在数轴上表示为：

（2），
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞-3，
所以不等式组的解集是-3＜x≤1，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
所以不等式组的整数解是-2，-1，0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，不等式组的整数解等知识点，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
23. 作图并回答问题：已知，如图，点P在∠AOB的边OA上．

（1）过点P作OA边的垂线l；
（2）过点P作OB边的垂线段PD；
（3）过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得　 　，得此结论的依据是　 　．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）画图见解析，OE>OP> PD．
【解析】
【分析】（1）过点P作OA的垂线l；
（2）过点P作OB边的垂线，连接点P与垂足D就是垂线段PD；
（3）过点O作一个角等于∠ODP，得到PD的平行线交l于点E，再根据垂线段最短原理解题．
【小问1详解】
解：如图，直线l就是所求作的垂线l；
【小问2详解】
如图，线段PD就是所求作的垂线段PD；
【小问3详解】
如图，点E就是所求作的点，根据垂线段最短原理得到OE>OP> PD；
故答案为：OE>OP> PD；垂线段最短．

【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，垂线段最短等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24. 完成下面的解题过程．
已知：如图，，平分，求．

解：∵（对顶角相等）
又∵
∴
∴（ ）
∴（ ）
∵
∴
∵平分
∴_____=_____
∴______．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，先由同位角相等，两直线平行证AB∥CD，再由两直线平行，同旁内角互补得∠BMN+∠3=180°，再根据角平分线的定义进行推理即可求出∠3．
【详解】解：∵∠1=∠AME（对顶角相等），
又∵∠1=∠2=40°，
∴∠2=∠AME．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠BMN+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠1+∠BME=180°，
∴∠BME=140°．
∵MN平分∠BME，
∴∠BMN=∠BME=70°，
∴∠3=110°．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理，认真推敲，逐步推理是解题关键．
25. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．

（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点A经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，点B、C分别与点E、F对应，画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上找到点Q，使得的面积与的面积相等，则的面积为_______，点Q的坐标为________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10，（0，1）或（0，-7）
【解析】
【分析】（1）根据三个点的坐标作图即可；
（2）将点B、C分别向右平移5格、向下平移3格得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据三角形的面积公式计算可得△ABC的面积，由S△ABC=S△DEF，而△DEF与△DFQ共底知点Q不可能在x轴上，且点Q在平行于DF、到DF的距离为4个单位长度的直线上，据此求解即可．
详解】解：（1）如图所示；

（2）如图所示，△DEF即为所求．
（3）∵S△ABC=S△DEF=×5×4=10，而△DEF与△DFQ共底，
∴点Q不可能在x轴上，且点Q在平行于DF、到DF的距离为4个单位长度的直线上，
∴点Q坐标为（0，1）、（0，-7），
故答案为：10，（0，1）、（0，-7）．
【点睛】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
26. 已知：如图，于点H，于点K，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先证得AE∥GF，由平行线的性质得到∠1=∠A，进而证得∠2=∠A，由平行线的判定定理得到AB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵AE⊥BC于点H，FG⊥BC于点K，
∴AE∥GF，
∴∠1=∠A，
∵∠2=∠1，
∴∠2=∠A，
∴AB∥CD，
∴∠CDB+∠ABD=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．解题的关键熟练掌握平行线的性质和判定，能正确运用定理进行推理、计算是解此题的关键．
27. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：

甲型机器人
乙型机器人
购买单价（万元/台）
m
n
每小时拣快递数量（件）
1200
1000
（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？
【答案】（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元和购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元，列出方程组，进行求解即可；
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据两种型号的机器人共8台，购买总费用不超过41万元和总和不少于8300件，列出不等式组，求出a的取值范围，再利用一次函数找到费用最低值．
详解】解：（1）根据题意得：
，
解得：，
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元．
（2）设该公可购买甲型机器人台，乙型机器人台，根据题意得：
，
解得：，
为正整数，
的取值为2，3，4，
该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台，
当a=2时，费用为2×6+6×4=36万元，
当a=3时，费用为3×6+5×4=38万元，
当a=4时，费用为4×6+4×4=40万元，
∴当时，费用最小，且为36万元，
该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的关系是解决问题的关键．
28. 已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且＋|β﹣40|＝0

（1）α＝　 　，β＝　 　；直线AB与CD位置关系是　 　；
（2）如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）40，40，平行；
（2）∠GHF+∠FMN =180°；证明见解析；
（3）不变，2
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质求出α、β，再根据角平分线的性质和平行线的判定得出AB平行于CD；
（2）根据AB∥CD得出∠BMN＝∠PNF，由∠MGH＝∠PNF可得∠MGH＝∠BMN，可证MN∥GH，利用平行线的性质可证∠FMN=∠GHF；
（3）作QU∥AB，PI∥AB，可证，，再根据角平分线的性质可得．
【小问1详解】
解：∵＋|β﹣40|＝0，
∴，β﹣40＝0，
∴，β＝40，
∵∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，
∴∠PFM＝∠NFM＝40°，
∴∠EFM＝∠NFM，
∴AB∥CD，
故答案为：40，40，平行．
【小问2详解】
解：∠GHF+∠FMN =180°；
证明：∵AB∥CD，
∴∠BMN＝∠PNF，
∵∠MGH＝∠PNF，
∴∠MGH＝∠BMN，
∴MN∥GH，
∴∠FMN=∠GHM，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠GHF+∠FMN =180°．
【小问3详解】
解：不变；
作QU∥AB，PI∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥QU∥PI ，
∴∠UQM1＝∠QM1B，∠UQF＝∠QFN，∠IPM1＝∠PM1B，∠IPF＝∠PFN，
∴，，
∵∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，
∴，，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理和证明．
四、探究题
29. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次操作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是_______．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_______．
【答案】（1）3，1；（2）4≤m＜16；（3）255
【解析】
【分析】（1）根据[a]的含义和无理数的估计可求．
（2）根据[a]的含义倒推m的范围．
（3）根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【详解】解：（1）．
200进行第一次操作：，
第二次操作后：．
第三次操作后：．
故答案为：3，1．
（2）
．
．
．
操作两次．
．
．
．
故答案为：．
（3）设这个数是，

．
．
．
．
．
次操作，故．
．
是整数．
的最大值为255．
故答案为：255．
【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．
30. 若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点，若A的解集中点是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，那么不等式B对于不等式组A________（填“是”或“否”）中点包含；
（2）已知关于x的不等式组Q：，以及不等式P：，若P对于不等式组Q中点包含，则a的取值范围是______．
（3）关于x的不等式组S：，以及不等式组T：，若不等式组T对于不等式组S中点包含，求m需要满足何种条件？
【答案】（1）是；（2）a≥-2.5；（3）-6＜m＜
【解析】
【分析】（1）求得不等式组的解集中点，根据新定义判断即可；
（2）求得不等式组的解集中点，代入不等式计算即可求出值；
（3）求得不等式组的解集中点，代入不等式组，计算求出的取值即可．
【详解】解：（1）由解得，，
解集中点为，
不等式，
不等式对于不等式组是中点包含，
故答案为：是；
（2）不等式组的解集为，
解集中点为，
对于不等式组中点包含，
代入得，
解得，
故答案为；
（3）不等式组的解集为：且，
且，
解集中点为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
31. 在平面直角坐标系中，任意两点，定义：A，B的绝对距离是．
例如：如图1，，则的绝对距离，即线段与的和．

（1）已知：点，则P，Q的绝对距离_________．
（2）已知：点，若点满足，则在图2中画出所有符合这一条件的点X组成的图形．
（3）已知：，若点满足，则在图3中画出所有符合这一条件的点Y组成的图形．

（4）已知：，若点满足，则点Z的坐标为________．
【答案】（1）17；（2）见解析；（3）见解析；（4）（1，-2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对距离的定义，解决问题即可．
（2）根据绝对距离的定义得到，可判断所有符合这一条件的点X组成的图形是直线MN（线段PQ的垂直平分线）．
（3）根据绝对距离的定义得到，分情况去绝对值得到结果，则折线PM→MN→NQ即为所求作．
（4）根据要求画出图形即可．
【详解】解：（1）由题意，P，Q的绝对距离dPQ=|-3-1|+|7-（-6）|=17，
故答案为：17．
（2）∵，，
∴，
即，
即，
∴如图2中，所有符合这一条件的点X组成的图形是直线MN（线段PQ的垂直平分线）．

（3）∵，，
∴，
即，
分，，；
，，共9种情况，
当，时，
，
化简得：；
同理：
当，时，有；
当，时，有；
∴如图3中，折线PM→MN→NQ即为所求作，
其中M，N，PM∥NQ∥y轴．

（4）如图，满足条件的点R（1，-2）．

故答案为：（1，-2）．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了绝对距离的定义，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．