52.甘肃省兰州市第一中学2020届高三9月月考数学（理）试题

兰州一中2019-2020-1学期高三9月月考试题

数   学（理）

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）

1.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为(　　)

  A.(0，1]           B.[1，＋∞)          C.(0，1)              D.(1，＋∞)

2.若复数满足,则的虚部为(     )

  A.            B.               C.               D.

3.已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则(   )

  A.2           B.        C.6     D.

4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在(　　)

  A.直线AC上   B.直线AB上   C.直线BC上   D.△ABC内部

5.已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)

  A.         B.       C.          D.

6.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查,为此将他们随机编号为,,…, ,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为,抽到的人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷,则抽到的人中,做问卷的人数为(    )

  A.7                    B.9                    C.10                   D.15

7.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数),骰子朝上的面的点数分别为,则的概率为(    )

  A.             B.                C.               D.

8.若实数x，y满足条件,则 的最大值为(　　)

  A.   B.    C. 1   D.2

9.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)

  A.             B.                  C.   D.

10.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为(　　)

  A.4   B.5   C.6   D.7

11.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)

A.(－1，1)      B.(－1，＋∞)    C.(－∞，－1)    D.(－∞，＋∞)

12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,若点是与在第一象限内的交点,且,设与的离心率分别为,则的取值范围是(   )

  A.           B.         C.          D.

二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）

13.计算：(2x＋)dx＝________.

14.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.

15.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________(用数字作答).

16.已知实数，若关于x的方程有三个不同的实根，则t的取值范围为____________．

三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)

17.(12分)已知向量函数

(1)求函数的单调增区间;

(2)当时,求函数值域.

18.(12分)在锐角中，为内角的对边，且满足．

（1）求角的大小;

（2）已知，边上的高，求的面积的值.

19. (10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),直线与曲线交于两点.

(1)求的长;

(2)在以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点的极坐标为,求点到线段中点的距离.

20.(10分)已知.

(1)当时,求的解集;

(2)若不存在实数,使成立,求的取值范围.

21.(12分)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0).

(1)令g(x)＝f ′(x)，求g(x)的单调区间;

(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.

22.(14分)已知函数

(1)若,求曲线在点处的切线方程;

(2)若在上恒成立,求实数的取值范围;

(3)若数列的前项和,,求证:数列的前项和 .

兰州一中2019-2020-1学期9月月考试题答案

数   学（理）

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）

1.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为(　B　)

  A.(0，1]           B.[1，＋∞)          C.(0，1)              D.(1，＋∞)

2.若复数满足,则的虚部为 (  B   )

  A.            B.               C.               D.

3.已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则( C  )

  A.2           B.        C.6     D.

4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在(　B　)

A.直线AC上   B.直线AB上   C.直线BC上   D.△ABC内部

5.已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　D　)

  A.         B.       C.          D.

6.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查,为此将他们随机编号为,,…, ,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为,抽到的人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷,则抽到的人中,做问卷的人数为(  A  )

  A.7                    B.9                    C.10                   D.15

7.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数),骰子朝上的面的点数分别为,则的概率为(  C  )

  A.             B.                C.               D.

8.若实数x，y满足条件,则 的最大值为(　D　)

  A.   B.    C. 1   D.2

9.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　B　)

  A.             B.                  C.   D.

10.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为(　C　)

  A.4   B.5   C.6   D.7

11.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　B　)

  A.(－1，1)      B.(－1，＋∞)    C.(－∞，－1)    D.(－∞，＋∞)

12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,若点是与在第一象限内的交点,且,设与的离心率分别为,则的取值范围是( D  )

  A.           B.         C.          D.

二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）

13.计算：(2x＋)dx＝________＋1._..

14.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为___－1..

15.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____10____(用数字作答).

16.已知实数，若关于x的方程有三个不同的实根，则t的取值范围为   __________．

三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)

17.(12分)已知向量函数

(1)求函数的单调增区间;

(2)当时,求函数值域

由得

2.由知在上单调递增

∴当时, ;

当时,

18.(12分)在锐角中，为内角的对边，且满足．

（1）求角的大小．

（2）已知，边上的高，求的面积的值．

（1）∵，

由正弦定理得，

∴，即.

∵且，∴，

∵，∴．

（2）∵，

代入，得

由余弦定理得，

代入，得，

解得或

又∵是锐角三角形  

∴，故，

∴

19.(10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),直线与曲线交于两点.

(1)求的长;

(2)在以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点的极坐标为,求点到线段中点的距离。

解:(1)由 (为参数),参数消去得, ,

代入曲线,消去整理得: ,

设,则,

所以.
(2)易得点在平面直角坐标系下的坐标为,

根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为.

所以由的几何意义可得点到的距离为.

20. （10分）已知.

(1)当时,求的解集;

(2)若不存在实数,使成立,求的取值范围.

解：(1)当时, ,则即,

当时,原不等式可化为,解得;

当时,原不等式可化为,解得,原不等式无解;

当时,原不等式可化为,解得.

综上可得,原不等式的解集为或.
(2)依题意得,对,都有,

则,

所以或,所以或 (舍去),所以.

21.(12分)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0).

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.

(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，

可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞).

所以g′(x)＝－2a＝.

又a>0，当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，

当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减.

∴函数y＝g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)由(1)知，f′(1)＝0.

①当0<a<时，>1，由(1)知f′(x)在内单调递增，

可得当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0.

所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增.

所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意.

②当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，

所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意.

③当a>时，0<<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

22.(14分)已知函数

(1)若,求曲线在点处的切线方程

(2)若在上恒成立,求实数的取值范围

(3)若数列的前项和,,求证:数列的前项和 

解 (1)因为,所以,,切点为.由,所以,所以曲线在处的切线方程为,即
(2)由 ,令,则 (当且仅当取等号).故在上为增函数.

①当时, ,故在上为增函数,所以恒成立,故符合题意;

②当时,由于,,根据零点存在定理,必存在,使得,由于在上为增函数,故当时, ,故在上为减函数, 所以当时, ,故在上不恒成立,所以不符合题意.综上所述,实数的取值范围为
(3)证明:由由2知当时, ,故当时, , 故,故.下面证明:

因为

而,

所以, ,即: